小学奥数面积计算(综合题型)文档格式.doc
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例2右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.
BC＝2＋4＋2＝8.
三角形ABC面积=8×
4÷
2＝16.
我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.
三角形DFE面积=16÷
4＝4.
例3右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.
ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.
而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是
FE×
BE÷
2，
它恰好是长方形ABEF面积的一半.
同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.
因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是
20×
12÷
2＝120.
通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.
例4右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？
把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.
对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此
面积=4×
10÷
2＝20.
对三角形ADC来说，DC是底边，高是8，因此
面积=7×
8÷
2＝28.
四边形ABCD面积=20＋28＝48.
这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.
例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.
要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积
三角形ABE面积=3×
6×
2＝9.
三角形BCF面积=6×
（6-2）÷
2＝12.
三角形DEF面积=2×
（6-3）÷
2＝3.
我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：
三角形BEF面积=6×
6-9-12-3＝12.
例6在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积.
四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.
把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是7×
2÷
2＝7.
因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是7÷
2＝3.5.
因为BE＝8是CE＝2的4倍，三角形MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是
3.5×
4＝14.
长方形ABCD面积=7×
（8＋2）=70.
四边形ABMD面积=70-7-14＝49.
二、有关正方形的问题
先从等腰直角三角形讲起.
一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.
两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.
一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是
直角边长的平方÷
当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是
斜边的平方÷
4
例7右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.
从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×
2＝32.
这一个图形的面积是
32＋16＋8＋4＋2＋1＝63.
例8如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？
为了说明的方便，在图上标上英文字母D，E，F，G.
三角形ABC的面积=2×
2＝2.
三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.
三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形ADE面积=ABC面积×
2＝4.
三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷
2＝1.
阴影部分的总面积是4＋1＝5.
例9如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：
角B和D是直角，角A是45°
.求这个四边形的面积.
这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.
因为
A是45°
，角D是90°
，角E是
180°
-45°
-90°
＝45°
，
所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.
四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即
7×
7÷
2-3×
3÷
2＝20.
这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角A是45°
，这一条件还用得上吗？
图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°
和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.
现在我们转向正方形的问题.
例10在右图11×
15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？
长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.
长-宽=15-11＝4
是“三”正方形的边长.
宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此
中间小正方形边长=11-4×
2＝3.
中间小正方形面积=3×
3＝9.
如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.
例11从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.
剩下的长方形土地，我们已知道
长-宽=1（米）.
还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？
如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.
我们把长和宽拼在一起，如右图.
从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.
可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.
现在，我们就可以算出大正方形面积：
15.75×
4+1×
1＝64（平方米）.
64是8×
8，大正方形边长是8米，也就是说长方形的
长+宽=8（米）.
因此
长=（8＋1）÷
2＝4.5（米）.
宽=8-4.5＝3.5（米）.
那么划出的长方形面积是
4.5×
1＝4.5（平方米）.
例12如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部分）的面积.
四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此
四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×
大正方形边长÷
2
三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此
三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×
四边形AECD与三角形ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有
阴影部分面积=三角形ECG面积
=小正方形面积的一半
=6×
6÷
2＝18.
十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.
三、其他的面积
这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.
例13画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.
直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.
周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是
4×
4-3-5-1.5＝6.5.
例6与本题在解题思路上是完全类同的.
例14下图中ABCD是6×
8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.
三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此
三角形AEF面积＝（三角形AEB面积）-（三角形AFB面积）
＝8×
2-4×
＝8.
这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.
例15下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？
我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×
高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与10×
2的长方形面积相等.
可以设想，把这个平行四边形换成10×
2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此
草地面积=（16-2）×
（10-2）＝112.
例16右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.
实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.
阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于
梯形ABCD面积=（8＋8-3）×
5÷
2＝32.5.
上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.
例17下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知AF，FE，EC都等于3，CB，BD都等于4.求这个图形的面积.
两个直角三角形的面积是很容易求出的.
三角形ABC面积=（3＋3＋3）×
三角形CDE面积=（4＋4）×
3÷
2＝12.
这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.
因为AF＝FE＝EC＝3，所以AGF，FGE，EGC是三个面积相等的三角形.
因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.
2×
三角形DEC面积
=2×
2×
（三角形GBC面积）＋2×
（三角形GCE面积）.
三角形ABC面积
=（三角形GBC面积）＋3×
（三角形GCE面积）.
四边形BCEG面积
=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）
=（2×
12＋18）÷
5
＝8.4.
所求图形面积=12＋18-8.4＝21.6.
例18如下页左图，ABCG是4×
7长方形，DEFG是2×
10长方形.求三角形BCM与三角形DEM面积之差.
三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.
（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）
=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和
=（7＋10）×
（4＋2）÷
2-（4×
7＋2×
10）
=3.
例19上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少？
解：
所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此
（三角形ABC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）
＝（长方形面积）＋（阴影部分面积）.
三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；
三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有
阴影部分面积=13＋49＋35＝97.
例题1。
18－1
A
B
C
F
E
D
已知图18－1中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=BC，求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=BC，所以S△BDF＝2S△DCF。
又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5S△DCF。
由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷
5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×
2＝3.2（平方厘米）。
练习1
1、如图18－2所示，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。
求阴影部分的面积。
2、如图18－3所示，AE=ED，DC＝BD，S△ABC＝21平方厘米。
3、如图18－4所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
18－4
18－3
18－2
例题2。
两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？
O
6
12
18－5
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：
BO＝2DO；
从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：
S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。
所以△AOD的面积为6÷
2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷
答：
△AOD的面积是3。
练习2
1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图18－6所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？
2、已知AO＝OC，求梯形ABCD的面积（如图18－7所示）。
3、已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。
求梯形ABCD的面积。
（如图18－8所示）。
8
18－8
18－7
18－6
例题3。
四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图18－9所示）。
18－9
【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。
同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。
由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×
3＝45（平方厘米）
答：
四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3
1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图18－10）。
2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图18－11所示）。
3、如图18－12所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。
G
·
18－12
18－11
18－10
例题4。
如图18－13所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。
那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
18－13
【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。
根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；
S△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。
所以，
S△CDO＝4÷
2＝2（平方厘米）S△DAB＝4×
3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：
梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4
1、如图18－14所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。
求梯形面积。
2、已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。
求梯形的面积（如图18－15所示）。
3、已知S△AOB＝6平方厘米。
OC＝3AO，求梯形的面积（如图18－16所示）。
18－16
18－15
18－14
例题5。
如图18－17所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。
18－17
【思路导航】连接AE。
仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出：
三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷
2）＝8。
用8减去3得到三角形ABE的面积为5。
同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。
因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷
2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
练习5
1、如图18－18所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。
2、如图18－19所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，
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