三角形.docx

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三角形

三角形

一.中考要求:

1.基本要求:

了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：

理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心

2.略高要求:

会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题

3.基本要求:

了解多边形与正多边形的概念；了解多边形的内角和及外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系

4.略高要求:

会用多边形的内角和和外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行镶嵌设计；依据图形条件分解与拼接简单图形．

二.考点知识梳理:

1.三角形的有关概念:

1三角形

2三角形中的三条重要线段

2.三角形的三边关系:

1三角形的两边之和大于第三边

2三角形的两边之差小于第三边

3.三角形的内.外角的关系

1三角形的内角和大于第三边

2直角三角形的两个锐角互余

3三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和

4三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

5三角形的外角和为360度

4.三角形的分类

5.三角形内角和

的几种证明方法：

①添加平行线法：

②帕斯卡（法国数学家）折纸法：

③更具动手可行性的剪角法：

（不严密）把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．

三角形外角和

的证明法：

6.多边形及其内角和

①基本概念

⑴多边形的定义：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．

⑵多边形的边：

组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

⑶多边形的顶点：

每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．

⑷多边形的对角线：

在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

⑸多边形的内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．

⑹多边形的外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．

⑺正多边形：

各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．

⑻凸多边形：

如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．

②基本性质

⑴稳定性．

⑵内角和与外角和定理．

如下图，

边形的内角和为

，多边形的外角和都是

．

⑶

边形的对角线：

一个顶点有

条对角线，共有

条对角线．

⑷不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于

．

三.例题精讲

1.与三角形有关的线段

例1下列各组线段能组成一个三角形的是（）．

（A）3cm，3cm，6cm（B）2cm，3cm，6cm（C）5cm，8cm，12cm（D）4cm，7cm，11cm

例2有两根长分别为50cm，35cm的木条，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（）．

（A）0.85m长的木条（B）0.15m长的木条（C）1m长的木条（D）0.5m长的木条

例3从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是（）．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

例4若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是（）．

（A）6＜l＜15（B）6＜l＜16（C）11＜l＜13（D）10＜l＜16

例5.

（1）一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．

（2）已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．

（3）一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长．

（4）有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．

例6．

（1）若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．

（2）若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．

（3）若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．（4）等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．

例7等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．

例8．已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点．

（1）通过度量AB、CD、DB的长度，确定AB与

的大小关系.

（2）试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．

例9．已知：

如图，P是△ABC内一点．请想一个办法说明AB＋AC＞PB＋PC．

例10．如图，D、E是△ABC内的两点，求证：

AB＋AC＞BD＋DE＋EC．

例11．

（1）分别画出△ABC的三条高AD、BE、CF．

（∠A为锐角）（∠A为直角）（∠A为钝角）

（2）这三条高AD、BE、CF所在的直线有怎样的位置关系?

例12．

（1）分别画出△ABC的三条中线AD、BE、CF．

（2）这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?

（3）设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?

例13．

（1）分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.

（2）这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?

（3）设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?

例14．已知：

△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．

例15．

（1）如果将一个三角形的三边的长确定，那么这个三角形的形状和大小就不会改变了，三角形的这个性质叫做________________________.

（2）四边形是否具有这种性质?

例16．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分（以下两问要求各画三个示意图）

（1）已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形．

（2）已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．

例17．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．

2.与三角形有关的角

例18．

（1）已知：

如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，

求：

∠1＋∠2＋∠3．

（2）结论：

三角形的外角和等于______．

例19．已知：

如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．

例20．已知：

如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．

例21．依据题设，写出结论，想一想，为什么?

已知：

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：

（1）∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；

（2）若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．

例22．填空：

（1）△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．

（2）△ABC中，若∠A:

∠B:

∠C＝2:

3:

5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

（3）△ABC中，若∠A:

∠B:

∠C＝1:

2:

3，则它们的相应邻补角的比为______.

（4）如右图，直线a∥b，则∠A＝______度．

（5）已知：

如左图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．

（6）已知：

如右图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．

（7）已知：

如左图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______

（8）在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

例23．已知：

如右图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．

例24．已知：

如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．

（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．

（2）试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?

说明理由．

例25．已知：

如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．

（1）若∠A＝46°，求∠BOC；

（2）若∠A＝n°，求∠BOC；

（3）若∠BOC＝148°，利用第

（2）题的结论求∠A．

例26．已知：

如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．

（1）若∠A＝46°，求∠BOC；

（2）若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．

例27．类比第10、11题，若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．

例28．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3:

2，求∠CAB的度数．

例29．如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．

3.多边形的内角和与外角和

例30．若一个正多边形的内角和2340°，则边数为______．它的外角等于______．

例31．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的内角和等于______．

例32．多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数为______，对角线条数为______．

例33．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为______度．

例34．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是（）.

（A）四边形（B）五边形（C）六边形（D）七边形

例35一个多边形的边数增加，它的内角和也随着增加，而它的外角和（）．

（A）随着增加（B）随着减少（C）保持不变（D）无法确定

例36若一个多边形从一个顶点，只可以引三条对角线，则它是（）边形．

（A）五（B）六（C）七（D）八

例37如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和增加（）．

（A）0°（B）90°（C）180°（D）360°

例38如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中（）．

（A）只有一个直角（B）只有一个锐角（C）有两个直角（D）有两个钝角

例39在一个四边形中，如果有两个内角是直角，那么另外两个内角（）．

（A）都是钝角（B）都是锐角（C）一个是锐角，一个是直角（D）互为补角

例40．已知：

如图四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于E，∠BCD的平分线CF交AB于F，BE、CF相交于O，∠A＝124°，∠D＝100°．求∠BOF的度数．

例41．

（1）已知：

如图1，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6___________．

（2）已知：

如图2，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8____________．

例42．如图，在图

（1）中，猜想：

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______度．请说明你猜想的理由．

如果把图1成为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图2称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H；

则2环四边形的内角和为_____________________________________度；

2环五边形的内角和为________________________________________度；

2环n边形的内角和为________________________________________度．

例43．一张长方形的桌面，减去一个角后，求剩下的部分的多边形的内角和．

例44．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．

例45．如果一个凸多边形除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数．

例46．小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗?

若能，当他走回点A时共走了多少米?

若不能，写出理由．

5.多边形的对角线

例47请你分别在下列多变形的同一顶点出发画对角线：

想一想，依此规律可以把10边形分成

个三角形．

例48观察下面图形，并回答回答

（1）四边形有（）条对角线；五边形有（）条对角线；六边形有（）条对角线．

（2）根据规律七边形有（）条对角线；n边形有（）条对角线．

例49一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形是边形．

例50一个凸边形的每一个内角等于

那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是

6.镶嵌

例51下列正多边形中，与正三角形同时使用，能进行密铺的是（　　）

A．正十二边形B．正十边形C．正八边形D．正五边形

例52为了美化城市，建设中的某小广场准备用边长相等的正方形和正八边形两种地砖镶嵌地面，在每一个顶点周围，正方形、正八边形地砖的块数分别是（　　）

A．1,2B．2,1C．2,3D．3,2

例53如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（　　）

A．3B．4C．5D．6

例54一幅美丽的图案，在其顶点处由四个正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则另一个为（　　）

A．正六边形B．正五边形C．正四边形D．正三角形

例55如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（　　）

A．2008B．2009C．2010D．2011

例56如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中第1个黑色

形由3个正方形组成，第2个黑色

形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色

形的正方形个数是（　　）

A．22B．23C．24D．25

例57

（1）如图①，任意画一个五角星，求

度数

（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角星，求

度数．

（3）如图③，用“一笔画”方法画成的

角形

，且

……

是凸

边形，求

度数．

四．课堂总结：

五．课后作业

一、选择题：

1．如右图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为（）．

（A）120°（B）100°（C）140°（D）90°

2．如左图，四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，则∠EDC的度数为（）．

（A）42°（B）60°（C）78°（D）80°

3．已知△ABC的一个内角是40°，∠A＝∠B，那么∠C的外角的大小是（）．

（A）140°（B）80°或100°（C）100°或140°（D）80°或140°

4．上午9时，一艘船从A处出发以20海里／时的速度向正北航行，11时到达B处，若在A处测得灯塔C在北偏西34°，且

则灯塔C应在B处的（）．

（A）北偏西68°（B）南偏西85°（C）北偏西85°（D）南偏西68°

5．在△ABC中，若∠A∶∠B＝5∶7，∠C－∠A＝10°，则∠C等于（）．

（A）75°（B）60°（C）50°（D）40°

6．在△ABC中，若AB＝3，BC＝1－2x，CA＝8，则x的取值范围是（）．

（A）0＜x＜2（B）－5＜x＜－2（C）－2＜x＜5（D）x＜－5或x＞2

7．在△ABC中，若AB＝AC，其周长为12，则AB的取值范围是（）．

（A）AB＞6（B）AB＜3（C）4＜AB＜7（D）3＜AB＜6

8．若一个多边形的内角和是其外角和的二倍，则它的边数是（）．

（A）四（B）五（C）六（D）七

9．下列命题中，结论正确的是（）．

①外角和大于内角和的多边形只有三角形．

②一个三角形的内角中，至少有一个不小于60°．

③三角形的一个外角大于它的任何一个内角．

④多边形的边数增加时，其内角和随着增加，外角和不变．

（A）①②③④（B）①②④（C）①③④（D）①④

10．若一个正多边形的每个内角与它相邻的外角的差为100°，则这个正多边形的边数是（）

（A）七（B）八（C）九（D）十

11．在下面四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是（）．

12．如右图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．你发现的规律是（）.

（A）∠A＝∠1＋∠2（B）2∠A＝∠1＋∠2

（C）3∠A＝2∠1＋∠2（D）3∠A＝2（∠1＋∠2）

二、填空题：

13．如左图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点E、F，EG是∠FED的平分线，交AB于点G．若∠QED＝40°，那么∠EGB等于______．

14．若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形共有____条对角线.

15．把“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：

__________________________________________________________________.

16．把一幅三角板按如右图方式放置，则两条斜边所形成的钝角

＝______度．

17．如左图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝______.

18．下列各命题中：

①对顶角一定相等；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③若∠A＝∠B，∠B＝∠C，则∠A＝∠C，④同角的补角相等；⑤若∠AOB＋∠BOC＝180°；则∠AOB与∠BOC互为邻补角．其中错误的命题是______（填序号）

19．如右图，长方形的长和宽分别为2cm和1cm，则图中由弧AB、弧CD和AC、BD围成的阴影部分的面积为_______.

20．一个广场面的一部分如右图所示，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成．从里往外共12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外界都围成一个多边形．若中央正六边形地砖的边长是0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是______米．

三、解答题：

21．已知：

钝角△ABC．分别画出AC边上的高BD、BC边上的中线AE及△ABC中∠ACB的平分线CF．

22．已知：

如图，AB∥DE，∠1＝∠2，AC平分∠BAD，求证：

AD∥BC．

23．已知：

在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，CD⊥AC交AB于D，∠BCD＝∠A，求∠BEA的度数．

24．已知：

如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且∠C－∠B＝20°，∠EOF－∠A＝70°，求∠C的度数．

25．三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题．

（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；

（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图，现被两条中线分成4块，则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊?

四、探究题

26．已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于G1、G2、G3，…、Gn－1，试猜想：

∠BGn－1C与∠A的关系．（其中n≥2的整数）

可以得到：

当n＝2时，如图1，∠BG1C＝______，当n＝3时，如图2，∠BG2C＝______，…………

猜想：

∠BGn－1C＝______．

【例1】我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里角平面密铺（镶嵌）。

某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：

如果用

个正三角形、

个正六边形进行平面密铺，可得

，化简得

，因为

、

都是正整数，所以只有当

，

或

，

时上式才成立，即

个正三角形和

个正六边形或

个正三角形和

个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图

⑴请你依照上面的方法研究用边长相等的

个正三角形和

个正方形进行平面密铺的情形，并按照图示中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图（只要画出一种图形即可）

⑵如用形状、大小相同的（如方格纸中）的三角形，能进行平面密铺吗？

若能，请再方格纸中画出密铺的设计图