三角形与全等三角形.docx

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三角形与全等三角形

第十七讲三角形与全等三角形

【基础知识回顾】

三角形的概念：

1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形

2、三角形的基本元素：

三角形有条边个顶点个内角

二、三角形的分类：

按边可分为三角形和三角形，按角可分为三角形三角形三角形

【名师提醒：

等边三角形属于特殊的三角形，锐角三角形和钝角三角形有事称为三角形】

三、三角形的性质：

1、三角形的内角和是三角形的任意一个外角和它不相得两个内角的和三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角

2、三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边

3、三角形具有性

【名师提醒：

1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角，三角形有个外角，三角形的外角和事，是其中各外角的和

2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度间不等关系的主要依据】

四、三角形中的主要线段：

1、角平分线：

三角形的三条角平分线都在三角形部且交于一点，这些是三角形的心它到得距离相等

2、中线：

三角形的三条中线都在三角形部，且交于一点

3、高线：

不同三角形的三条高线位置不同，锐角三角形三条高都连三角形直角三角形有一条高线在部，另两条河重合，钝角三角形有一条高线在三角形部，两条在三角形部

4、中位线：

连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。

定理：

三角形的中位线第三边且等于第三边的

【名师提醒：

三角形的平分线、中线、高线、中位线都是且都有条】

五、全等三角形的概念和性质：

1、的两个三角形叫做全等三角形

2、性质：

全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应

【名师提醒：

全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】

一、全等三角形的判定：

1、一般三角形的全等判定方法：

①边角边，简记为②角边角：

简记为③角角边：

简记为④边边边：

简记为

2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用来判定

【名师提醒：

1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的

2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】

【重点考点例析】

考点一：

三角形内角、外角的应用

例1（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）

A．360°B．250°C．180°D．140°

思路分析：

先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．

解：

∵∠1、∠2是△CDE的外角，

∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，

即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．

故选B．

点评：

此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．

对应训练

1．（2012•泉州）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1=°．

1．80

分析：

先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据对顶角相等求出∠1的度数即可．

解：

∵△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，

∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°，

∴∠1=∠ACB=80°．

故答案为：

80．

点评：

本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是180°．

考点二：

三角形三边关系

例2（2012•泸州）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（　　）

A．13B．11C．11或13D．12或15

2．分析：

首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．

解：

由方程x2-6x+8=0，得：

解得x1=2或x2=4，

当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；

当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．

故选A．

点评：

考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．

对应训练

1．（2012•义乌市）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（　　）

A．2B．3C．4D．8

思路分析：

根据三角形三边关系，可令第三边为X，则5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．

解：

由题意，令第三边为X，则5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，

∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6．

∴三角形的三边长可以为3、5、4．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．

考点三：

三角形全等的判定

例3（2012•乐山）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四边形CEDF不可能为正方形；

③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；

④点C到线段EF的最大距离为

．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

思路分析：

①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；

②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；

③由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；

④△DEF是等腰直角三角形DE=

EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2

，此时点C到线段EF的最大距离．

解：

①如图，连接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；

∵AE=CF，

∴△ADE≌△CDF；

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；

②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；

③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，

可以利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；

④△DEF是等腰直角三角形DE=

EF，

当EF∥AB时，即EF取最小值2

，此时点C到线段EF的最大距离为

．故此选项正确；

故正确的有2个，

故选：

B．

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．

例4（2012•珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．

求证：

（1）△ADA′≌△CDE；

（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．

思路分析：

（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED；

（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，进而得到点E也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线．

证明：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∴∠A′DE=90°，

根据旋转的方法可得：

∠EA′D=45°，，

∴∠A′ED=45°，

∴A′D=DE，

在△AA′D和△CED中：

AD=CD，∠ADA′=∠EDC，A′D=ED，

∴△AA′D≌△CED（SAS）；

（2）∵AC=A′C，

∴点C在AA′的垂直平分线上，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠CAE=45°，

∵AC=A′C，CD=CB′，

∴AB′=A′D，

在△AEB′和△A′ED中：

∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，

∴△AEB′≌△A′ED，

∴AE=A′E，

∴点E也在AA′的垂直平分线上，

∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．

点评：

此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：

正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段．

对应训练

3．（2012•鸡西）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：

①（BE+CF）=

BC；②S△AEF≤

S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．分析：

先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=

BC，从而判断①；

设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出S△AEF=-

（x-

a）2+

a2，

S△ABC=

×

a2=

a2，再根据二次函数的性质即可判断②；

由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为

a，而AD=

a，所以EF≥AD，从而④错误；

先得出S四边形AEDF=S△ADC=

AD，再由EF≥AD得到AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF，所以③错误；

如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤．

解：

∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，

∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，

∵∠MDN=90°，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△AED与△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF，

在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=

．

故①正确；

设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．

∵S△AEF=

AE•AF=

x（a-x）=-

（x-

a）2+

a2，

∴当x=

a时，S△AEF有最大值

a2，

又∵

S△ABC=

×

a2=

a2，

∴S△AEF≤

S△ABC．

故②正确；

EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-

a）2+12a2，

∴当x=

a时，EF2取得最小值

a2，

∴EF≥

a（等号当且仅当x=

a时成立），

而AD=

a，∴EF≥AD．

故④错误；

由①的证明知△AED≌△CFD，

∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=12AD2，

∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF

故③错误；

当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．

故⑤正确．

综上所述，正确的有：

①②⑤，共3个．

故选C．点评：

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．

4．（2012•肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．

求证：

（1）BC=AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

4．分析：

（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD，

（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．

证明：

（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴△ABC与△BAD是直角三角形，

在△ABC和△BAD中，

∵AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠ADB，

∴△ABC≌△BAD，

∴BC=AD，

（2）∵△ABC≌△BAD，

∴∠CAB=∠DBA，

∴OA=OB，

∴△OAB是等腰三角形．

点评：

本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．

考点四：

全等三角形开放性问题

例5（2012•义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．

思路分析：

由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：

DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；

解：

（1）添加的条件是：

DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．

（2）证明：

在△BDF和△CDE中

∵

，

∴△BDF≌△CDE．

点评：

三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

对应训练

5．（2012•衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．

5．分析：

首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根据两直线平行，内错角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上条件EF=BC即可利用SAS证明△ABC≌△DEF．

解：

补充条件：

EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：

∵AF=DC，

∴AF+FC=DC+FC，

即：

AC=DF，

∵BC∥EF，

∴∠EFD=∠BCA，

在△EFD和△BCA中，EF=BC∠EFD=∠BCAEF=BC，

∴△EFD≌△BCA（SAS）．

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：

SSS、SAS、ASA、AAS，HL．

【聚焦山东中考】

1.（2012•烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度．

1.85

分析：

先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．解答：

解：

∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，

∴∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°，

∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°．

故答案为：

85．点评：

本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

2．（2012•聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（　　）

A．75°B．90°C．105°D．120°

2．分析：

先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．解答：

解：

∵图中是一副直角三角板，

∴∠BAE=45°，∠E=30°，

∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°，

∴∠α=105°．

故选C．

点评：

本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

3．（2012•德州）不一定在三角形内部的线段是（　　）

A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线

3．分析：

根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．解答：

解：

因为在三角形中，

它的中线、角平分线一定在三角形的内部，

而钝角三角形的高在三角形的外部．

故选C．

点评：

本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答．

4．（2012•济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（　　）

A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等

4．分析：

连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．

解：

如图，连接NC，MC，

在△ONC和△OMC中

，

∴△ONC≌△OMC（SSS），

∴∠AOC=∠BOC，

故选A．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．

5．（2012•滨州）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=．

5．40°

分析：

先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．

解：

∵AB=AD，∠BAD=20°，

∴∠B=

=80°，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，

∵AD=DC，

∴∠C=

=40°．

点评：

本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．

6．（2012•潍坊）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）

6．∠BDE=∠BAC

分析：

根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“角边角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可．

解：

∵∠ABD=∠CBE，

∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，

即∠ABC=∠DBE，

∵AB=DB，

∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC，

②用“边角边”，需添加BE=BC，

③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．

故答案为：

∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）

点评：

本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出的地方．

7．（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．

7．3

分析：

根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC-CE，代入数据计算即可得解．

解：

∵∠ACB=90°，

∴∠ECF+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠BCD+∠B=90°，

∴∠ECF=∠B，

在△ABC和△FEC中，∠ECF=∠BEC=BC∠ACB=∠FEC=90°，

∴△ABC≌△FEC（ASA），

∴AC=EF，

∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm，

∴AE=5-2=3cm．

故答案为：

3．点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．

8．（2012•济宁）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=．

8．

分析：

根据等边三角形性质和三线合一定理求出∠BAF=30°，推出AB=AE，根据SAS证△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．解答：

解：

∵△ABC是等边三角形，

∠ABC=60°，AB=BC，

∵BF⊥AC，

∴∠ABF=

∠ABC=30°，

∵AB=AC，AE=AC，

∴AB=AE，

∵AO平分∠BAE，

∴∠BAO=∠EAO，

∵在△BAO和△EAO中

∵AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，

∴△BAO≌△EAO，

∴∠AEO=∠ABO=30°，

∴tan∠AEO=tan30°=

，

故答案为：

．点评：

本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点的应用，关键是证出∠AEO=∠ABO，题目比较典型，难度适中．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（　　）

A．40°B．45°C．50°D．55°

1．分析：

首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．

解：

∵∠B=67°，∠C=33°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠CAD=

∠BAC=

×80°=40°

故选A．

点评：

本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．

2．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）

A．150°B．210°C．105°D．75°

2．分析：

先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．

解：

∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，

∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．

故选A．

点评：

本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3．（2012•漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．45°B．60°C．75°D．90°

3．分析：

根据直角三角形的两锐角互余求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

解：

如图，∠1=90°-60°=30°，

所以，∠α=45°+30°=75°．

故选C．

点评：

本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

4．（2012•广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（　　）

A．5B．6C．11D．16

4．分析：

设此三角