如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由.
22.某水果经销商销售一种水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，月销售量将减少400千克.现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元，同时又要价格尽可能的低，那么每千克应涨价多少元？
23.先阅读，再填空解答：
方程X?
-3x-4=0的扌艮是：
X1=-1,X2=4,贝Uxi+X2=3,XjX2=-4；
方程3x2+10x+8=0的根是:
X]=-2,x=,则X]+X2=-丄2，xiX2=-^-.
2333
（1）方程2x2+x-3=0的根是：
X1=,X2=，则X1+X2=,XjX2=；
（2）若xi，X2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a定0,且a,b,c为常数）的两个实
数根，那么X1+X2，X1X2与系数a,b,C的关系是：
X]+X2=,X[X2=;
（3）如果X],X2是方程x2+x・3=0的两个根，根据
（2）所得结论，求X12+x22的值.
24.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售岀500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，口销售量将减少20千克.现该筒场要保证每天盈利6000元，同吋又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
25.小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入.若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率.
26.已知：
关于x的方程（a2-1）（^-）2-（2a+7）（^—）+ii=o有实根.
x_1x_1
（1）求a取值范围；
X1X9Q
（2）若原方程的两个实数根为XI，X2,且一J+—二吕，求a的值.
X1-1Xn~111
27.已知AABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程J-（2k+3）x+Q+3k+2=0的两个实数根，
（1）求证：
无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）k为何值时，AABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）k为何值时，AABC是等腰三角形，并求AABC的周长.
28.如图，有一长方形的地，该地块长为x米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：
甲、乙、丙.甲和乙为正方形.现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司.若已知丙地的血积为3200平方米，你能算出x的值吗？
甲
乙
丙
29.
某种产品的年产量不超过1000t,该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图
（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）Z间的函数关系如图
（2）.若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？
（毛
2016年12月15日小北的初中数学一元二次方程培优组卷
参考答案与试题解析
1.选择题（共1小题）
1.（2012•浙江校级自主招生）满足（n2-n-1）n'2=1的整数n有儿个（）
A.4个B.3个C.2个D.1个
【考点】一元二次方程的解；零指数:
【专题】计算题.
【分析】因为1的任何次幕为1,-1的偶次幕为1,非0数的0次幕为1,所以应分三种情况讨论n的值.
【解答】解：
（l）i?
-n-l=l,解得：
n=2或n=-1；
⑵（n2-n-l=-l^解得：
冋；
[n+2为偶数
（3）Jn2一解得：
n=・2.
（n+2二0
故选：
A.
【点评】本题比较复杂，解答此题时要注意1的任何次幕为1,・1的偶次幕为1,非0数的0次幕为1,三种情况，不要漏解.
2.填空题（共1小题）
2.（2016*磴口县校级二模）若（x'+y?
）2-5（x2+y2）-6=0,贝0x2+y2=6.
【考点】换元法解一元二次方程.
【专题】换元法.
【分析】设x2+y2=t.则原方程转化为关于t的一元二次方程t2-5t-6=0,即（t-6）（t+1）=0；然后解关于t的方程即可.
【解答】解：
设x2+y2=t（t$0）.则
t2-5t-6=0,即（t-6）（t+1）=0,
解得，t=6或t=-1（不合题意，舍去）；故x2+y2=6.
故答案是：
6.
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程.解答该题时，注意x2+y2=t中的t的取值范圉:
t>0.
3.解答题（共27小题）
3.已知x°-5x'+8x?
-5x十1=0,求的值.
x
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】计算题；整体思想.
【分析】通过观察可看到方程中各项系数关于中间项对称，xHO,在方程两边同除以X?
可得到一个以X』为整体的一元二次方程，可求解.
【解答】解：
设通过观察可看到方程中各项系数关于中间项对称，XH0,在方程两边同除以得（x2+47>-5（x+丄）+8=0
__2Y
【点评】本题的关键是找到题目的特点各项系数关于中间项对称以及把x+丄看作一个整体
X
求解.
4.解方程：
-3+”5x-19-V2x+8-0
【考点】无理方程.
【专题】计算题.
【分析】先把方程移项，然后两边平方化为一元二次方程，检验根后即可得出答案.
【解答】解：
移项得-3--#5x-19,
两边平方后整理得：
#（3x-3）阪面=12,
再两边平方后整理得x2+3x-28=0,
所以xi=4,X2=-7.
经检验知，X2=・7为增根，
所以原方程的根为x=4.
说明用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程屮的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.
【点评】本题考查了无理方程，属于基础题，关键是注意用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程屮的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.
5.如果实数a,b,c满足a=2b+V2，且ab+返『+丄二°,那么丛的值是多少？
24a
【考点】根的判别式；非负数的性质：
偶次方.
【分析】将a=2b+伍代入丄二0中，利用配方法将等式变形为两个非负数的和为0
24U
的形式，利用几个非负数的和为0,这几个非负数都为0,即可得出答案.
【解答】解:
将a=2b"勺代入ab+勺3?
+丄二°得：
24
ab+2/lc2+^=（2b+V2）b+返『+丄
=[（V2b）?
+2（V2b）•丄+（丄）2]+2/i€2
222
=（V2b+—）2+^-c2=0,
22
・：
c=0,b=-—,
2V2
・••建0.
a
【点评】此题考查了配方法在等式变形屮的运用，非负数的性质，关键是通过配方求出c、b的值.
6.满足（X-3）2+（y-3）2=6的所有实数对（x,y）中，乞的最大值是多少？
X
【考点】根的判别式.
【专题】计算题；函数思想.
【分析】设丫=1伏，根据直线丫=1©与圆（x-3）2+（y-3）2=6相切时k有最大值和最小值,把尸kx代入（x-3）2+（y-3）2=6,得到关于x的一元二次方程，令△=（）,得到关于k的一元二次方程，然后解方程，最大解为所求.
【解答】解：
设丫=1<乂，则直线y=kx与圆（x-3）2+（y-3）?
=6相切时k有最大值和最小值，
把丫=1«代入（x-3）2+（y-3）2=6,得（l+k?
）x2-6（k+1）x+12=0,
•••△=36（k+1）—4X12X（1+k2）=0,即k2-6k+l=0,
解此方程得，k=3+2V2或3・2伍.
所以艺=k的最大值是3+2迈.
X
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（aHO,a,b,c为常数）根的判别式.当厶>0,方程有两个不相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△<（）,方程没有实数根.同时考查了运用△解决函数图象交点的个数问题和一元二次方程的解法.
7.a,b为两个不相等且都不为零的数，同时有a2+pa+q=0,b2+pb+q=O,求丄』的值.
ab
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解.
【专题】计算题.
【分析】由一元二次方程的解的定义可以知道，a,b是方程x2+px+q=0的两个根，再由根与系数的关系，得到a+b和ab的值，代入代数式求出代数式的值.
【解答】解：
因为a,b同时满足a2+pa+q=0,b2+pb+q=O,
所以a,b是方程x2+px+q=O的两个根.
根据根与系数的关系有：
a+b=-p,ab=q
・14.1-a+b_.p
.•—‘—•
ababq
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意可以知道a,b是方程x2+px+q=0的两个根，由根与系数的关系，可以得到a+b和ab的值，代入代数式求出代数式的值.
2
8.（2013・重庆模拟）先化简，再求值：
（巳_冬）三◎:
2計1_声,其中a是方程
已+1a2-1
一“*二0的解・
【考点】一元二次方程的解；分式的化简求值.
【专题】计算题；压轴题.
【分析】根据题意先解方程求出a的值，然后把代数式化简，再把a的值代入即可.
【解答】解：
Ta是方程/-只-上二0的解，
2
/.a2-a-上=0,
2
解方程得：
a二丄兰堂，
2
-a2
s+1a2-1
fa（a+l）-2a）.（a-1）22
={}-a
a+l（a+1）（a~1）
a_a.a-12
a+la+l
」G-1）x』L・a2
a+la-1
=a-a2,
当J码,原式=]+皿（1-*皿）=1+应1-底-1;
222222
当J"时,原式上塑（1・1"）-I,
222222
・・・代数式的值为-上.
2
【点评】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值.
9.（2010*山东模拟）己知xi、X2是方程4x?
-（3m-5）x-6m2=0的两根，且|—|=—,
求m的值.
【考点】根与系数的关系；根的判别式.
【专题】压轴题.
【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根Z和与两根Z积用m表示的形式，也可以根据两根之积得到X1X2W0,从而可以去掉已知等式的绝对值符号，然后结合根与系数的关系即可求出m的值.
【解答】解：
Ta=4,b=5-3m,c=-6m2,
・・・△=（5-3m）2+4X4X6m2=（5-3m）2+96m2,
V5-3m=0与m=0不能同时成立.
△=（5-3m）2+96m2>0
则：
X1X2WO,
又;即寻
.xl__3
•■——
x22
3in一5
•n9—
__3m2
严1七-一丁〜
・一3
・・口-可七，
_33in-5
-寿七+七二「一
•4
_3__3mz
T2Px2-丁
解得：
mi=l,m2=5.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形
相结合解题是一种经常使用的解题方法.
10.（2014・大庆校级模拟）已知一元二次方程2x2-6x-1=0的两实数根为xi、x2,不解方
程，求代数式△+乂的值.
x2X1
【考点】根与系数的关系.
【专题】计算题；压轴题.
【分析】首先将所求的代数式转化为含有X1+X2、X1・X2的形式，然后利用根与系数的关系求得X1+X2、X]・X2的值，最后将其代入所求的代数式并求值即可.
2-（2分）
【解答】解：
由韦达定理得，Xl+X2=3・..（1分）
（X1+X9）~2x1wX9
=—!
...（4分）
x/x2
32-2X（-±）
—...（5分）
"T
=-20....（6分）
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
11.（2011-西城区一模）已知关于x的一元二次方程8/+"+丄二0（8尹0）有两个相等的
乙
ab2
实数根，求严的值.
（a-l）'+（b+l）（b-1）
【考点】根的判别式；分式的化简求值.
【专题】压轴题；判别式法.
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=（）,据此可求出b2=2a的值;ab2
然后将其代入化简后的严，并求值即可.
（a-l）'+（b+l）（b-1）
【解答】解：
由题意，△二/-4&X丄二护-二0.（1分）
2
b2=2a.（2分）
・・・原式二——圧=—（3分）
a2-2a+l+b2-1
J2a2+b2-2a
9用2
・・・原式=今-二2・（5分）
a
【点评】本题考查了根的判别式与分式的化简求值.本题利用一元二次方程ax2+bx+c=0（aHO,a,b,c为常数）的根的判别式△=（）,方程有两个相等的实数根.
12.
Xi*X2・
（2014・番禺区校级模拟）已知关于x的方程x?
+2（k-3）x+k2=O有两个实数根
（1）求k的取值范围；
（2）若|xi+x2・9|=X]X2,求k的值.
【考点】根的判别式；根与系数的关系.
【专题】压轴题.
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式△=b2・4ac>0来求k的取值范围；
（2）利用韦达定理求的关于k的一元二次方程|2k+3|=k2；然后根据
（1）的k的取值范围,需要对其分类讨论：
①当2k+3M0,即■丄时，2k+3=k2,通过解方程求的k的值即可;
2
②当2k+3V0,即kC-丄时，-2k-3=l?
通过解方程求的k的值即可.
2
【解答】解：
（1）根据题意，得△$（）,
即[2（k-3）]2-4k2^0,
解得，kw2
2
（2）根据韦达定理，得xi+x2=-2（k-3）,xiX2=k2,・••由|x】+X2-9|=X]X2，得|・2（k・3）-9|=k2,即|2k+3|=kS以下分两种情况讨论：
①当2k+3N0,即时，2k+3=k2,
2
即k2-2k-3=0,解得，ki=-1,k2=3；又由
（1）知，kw3,
2
k2=3不合题意，舍去,即ki=-1；
即k2+2k+3=0,此方程无实数解.
综合①②可知，k=-1.
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系.一元二次方稈根的情况与判别式△的关系：
（1）A>0<4方程有两个不相等的实数根;
（2）A=0^方程有两个相等的实数根；
（3）A<0<4方程没有实数根.
13.若a,b,c为Z\ABC的三边，且关于x的方程:
4x2+4（a2+b2+c2）x+3（a2b2+b2c2+c2a2）=0有两个相等的实数根，试证AABC是等边三角形.
【考点】根的判别式；因式分解的应用.
【分析】由方程有两个相等的实数根，得△="（a2+b2+c2）2-4X4X3（a2b2+b2c2+c2a2）=0,得a4+b4+c4・a%?
・a2c2-川『=0,两边乘以2,然后进行配方得，（a?
・b2）2+（b2-c2）2+（c2-a2）2=0,所以有a=b=c,即Z^ABC是等边三角形.
【解答】证明：
由题得,△=16（a2+b2+c2）j4X4X3（a2b2+b2c2+c2a2）=0,所以有,a4+b4+c°-a2b2-a2c2-b2c2=0,2（a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2）=0,得到（a?
-b2）2+（b2-c2）2+（c2・a2）2=0,
所以a2-b2=0且b?
・c2=0且『-a2=0,即有a=b=c・
所以AABC是等边三角形.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式.当厶〉。
时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当△<（）,没有实数根.也考查了因式分解的能力和几个非负数的和为0的性质.
14.解下列方程：
（\）x'+x+l2x?
+x+219
（2）
x2+lx2+x+l6
2+llx-8'x2+2x-8+x2-13x-8"0,
（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；
【考点】高次方程；换元法解分式方程.
【专题】计算题；换元法.
【分析]
（1）由于2f+x+2—（”+x+[）+（x2+l）十汀1,此时发现两个分式具备x2+x+lx2+x+lx2+x+l
倒数关系,
设y_X2：
x+l,则原方程另一个分式为1+丄，可用换元法转化为关于y的分式方程.先求X2+ly
y,再求x.结果需检验.
（2）观察发现方程左边三个分式的分母都是关于未知数x的二次三项式，且二次项都是x2,常数项都是・8,设y=x2+2x・8,可用换元法转化为关于y的分式方程.先求y,再求x.结果需检验.
（3）先运用乘法交换律与结合律将（x+1）与（x+4）相乘，（x+2）与（x+3）相乘，再设
x+5x+4=y,
则原方程化为y2+2y-120=0.用换元法解一元二次方程先求y,再求x.
【解答】解：
（1）原方程可变形为X2严+1+1+广1-竺,
x+1x+x+l6
x'+x+l+x'+l_13
x2+lx2+x+l6
令y=x2：
x+l”,则原方程可变为y+亘旦,
x2+iy6
解得yi—»Y2~.
乙0
当yi=-时，牛+1解得x=i；
2x'+l2
经检验：
x=l或一3土妬都是原方
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