A-2B.—3C.-4D.-5
10.若宜线x-y=2被圆（x-a）2+y2=4所截得的弦长为2血，则实数a的值为（）
A.-1或、行B.1或3C.-2或6D.0或4
11•已知函数fl（X）=a',f2（.r）=x\f3（x）=\ogax（其中a>0,且aH）,在同一坐标
系中画出其中两个函数在第一象限内的图像，其中正确的是
12.函数/（x）=logfl（x3-^v）@>0卫工1）在区间—内单调递增，则a的取
值范围
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
将答案填在题中横线上。
13.已知:
Ia1=3Jb1=2,=60\WOI2a+b1=。
14•分别在区间［1,6］和［1,4］内任取个实数，依次记为x和厂则x>y的概率为
15.已知b>0,直线b2x+y+\=0与ax-（b2+4）y+2=0互相垂直，则ab的最小值为
16•观察下列式子：
1+亠＜2，1+丄+二＜2」+]+丄+2＜】,……,根据以上式子
2，22・3-32-3-4*4
可以猜想」+丄+丄+…+；
22322010-
3.解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程。
）
17.（本小题满分12分）已知函数
/（x）=sin（x+"）+VJcos（x-a）,其中＜兀,且对于任意实数x,f（x）=/（-x）恒成立。
（1）求d的值；
（2）求函数的最大值和单调递增区间。
18.（本小题满分12分）
已知：
数列｛an｝的前〃项和为»,吗=3且当打＞2neg满足S心是与一3的等差中项。
（1）求“29“3*“4»
（2）求数列｛£｝的通项公式。
19.（本小题满分12分）某项考试按科目爪科目B依次进行，只有当科
目A成绩合格时，才可以继续参加科目B的考试。
每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，己知他
21
每次考科目A成绩合格的概率均为一，每次考科目B成绩合格的概率均为一。
假设他
32
在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的
次数为X。
（1）求X的分布列和均值；
（2）求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
20.（本题满分共12分）
下图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA=SC,
M、N分别为A3、S〃的中点.
（I）求证：
AC丄S3；
21・（本题满分12分）
已知函数f（x）=-x'+ax2-bx
3
（1）若.V=/（A）图象上的点（1,—=）处的切线斜率为—4,求,y=/（x）的极大值;
（2）若y=/（a）在区间［-1,2］上是单调减函数，求a+b的最小值.
22.（本题满分14分）
抛物线D以双曲线C:
8y2-8x2=1的焦点F（O,c）,（c>0）为焦点.
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线l.y=x-1上的动点P作抛物线D的两条切线,切点为A,B.求
证：
直线AB过定点Q,并求出Q的坐标；
（3）在
（2）的条件下,若直线PQ交抛物线D于M,N两点，求证：
|PM|-|QN|=|QM|-|PN|
参考答案及评分标准
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1—5ACDBB6—10ADDBD11—12BB
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分
l4019
13.2（314.15.416.
2010
三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：
（1）由己知得f（x）=
即sin（x+a）+y/3cos（x-a）=sin（-x+a）+y[3cos（-x—a）.
2sinxcos“=一2V5sinxsina,（cosa+V^sina）sinx=a.
所以cosd+、/Jsina=0,于是Uma=-—・4分
3
又因为0Sgv龙,所以a=—5分
6
（1）f（x）=sin（x+^）+、/5cosa-^）
66
・5龙.5/rnr5兀rr..5龙
=sinxcos——+cosxsin——+cosxcos——+Q3sinxsin——
6666
=-cosx・8分
由此可知，函数/（x）的最大值为1。
10分
单调递增区间为：
［2k兀2k兀+兀］伙已Z）.12分
18.解：
（1）由题知，S心是绻与一3的等差中项。
・•・2S-=勺一3即©=2S心+3®>2/e2）
偽=2S］+3=2q+3=9
a3=2S2+3=2（q+勺）+3=27
a4=2S3+3=2（q+a2+色）+3=816分
（2）由题知an=25„_,+3（n>2,neN*）①
q屮=2S〃+3（“NJ②7分
②一®得仏】一an=2（»-S_J=2an
即仏i=3©（/?
>eN*）③10分
•.•a2=3®也满足③式即%=3“”（neN*）
•••{£}是以3为首项，3为公比的等比数列。
4=3"（”eNJ12分
19.解：
（1）设该同学“第一次考科目A成绩合格”为事件A,“科目A补考后成
绩合格”为事件B,“第一次考科目B成绩合格”为事件B““科目B补考后成绩合格”为事件仏。
由题意知，X可能取得的值为：
2,3,42分
P（X=2）=P（A1B1）+P（A,A2）
21114
=—x—+-x-=—・
32339
p（x=3）=P（A,瓦BJ+P（A,B{B2）+P（AxA2B^
2112111214
=—x—x—+—x—x—+—x—x—=—・
3223223329
P（X=4）=P（Xa2B,B2）+P丽2dBJ
121112111
=-X—X—X-+-X—X—X—=-・
332233229
X的分布列为
X
2
3
4
P
4
4
1
9
9
9
4418
故EX=2x—+3x—+4x—=—8分
9993
（2）设“该同学在这项考试中获得合格证书”为事件C
则P（C）=P（AlBl）+P（A,B出2）+P（AtA2B[）+A2B2）
212111212112
=—X—+—X—X—+-X—X—+—x-x—=—
323223323223
2
故该同学在这项考试中获得合格证书的概率为亍12分
20.解：
由题意知：
SA=SC=2羽,侧面S4C丄底面ABCf
底面AABC为正三角形2分
（I）取AC的中点O,连结OSQB.
因为sa=sc,ab=bc9
所以AC丄SO.AC丄OB.
所以AC丄平面OS3.
所以AC丄SB4分
（H）如图所示建立空间直角坐标系O-小乙
则A（2Q0）,3（0,2巧,0）,C（-2A0XS（0Q2、/I）,M（1,、/5,0）,N（0,、/!
、◎）.
AC=（-4,0,0）,前=（0,2苗,-2返）.CM=（3,馅,0）,顾=（—1,0小②
设n=（a;”z）为平面CM7V的一个法向量,
又由上可得CB=（2,2、/l0）,页=（2,、/§,血）.
设川=（ag为平面N3C的法向量，
m・CB=2a+2<3Z?
=0
___r，得n+、氐=0.
m-CN=2a+y[3b+j2c=0
—m-n—2—2+1y/33
所以g心而
3x
3
12分
所以二面角M-NC-B的余弦值为计・••…
21・解：
（1）IffM=x2+2ax-b9由题意可知：
广
（1）=7且/
（1）=
l+2a-b=-4厂/_
3分
■1/11解得:
二
b3
/.f（x）=x3-x2-3x
/'（x）=x2_2兀_3=（牙+l）（x_3）
令广M=09得Xj=-l,x2=3
由此可知：
（一8,-1）
-1
（-1,3）
3
（3,+◎
rw
+
0
—
0
+
fM
7
g极大专
、
/W极小
7
.••当X=_l时，y（x）取极大值*6分
⑵Vy=f（x）在区间［72］上是单调减函数,
所以F（0,»,抛物线D的标准方程为J=2y
⑵设A（x},XB（x2.y2XP（x0,x0-1）,
由2=2”得），=a■•因此ylv=M=%］
抛物线D在点A处的切线方程为y-y}=x{（x一州）,即y=坷％-兀4分
而A点处的切线过点P（x0.x0-1）,所以xQ-l=xlxQ-y},
同理，（x2-l）x0+l-y2=0.
可见，点A,B在•直线（兀一1）勺+1—卩=0上・
令x_1=0,1_y=0,解得x=y=1
所以，直线AB过定点Q（1,1）
（3）设一1）/“（＜¥3*3），"（心宀），
宜线PQ的方程为y=⑺匸打二I（x—1）+1,即y=也三兀+
心一1
xo一21
y=x+
儿-1心-1,消去”
X2=2”
由韦达定理.X3+x4="（A，）2）.x3x4=-
X。
_1X。
一1
而I加丨・IQN1=10MI・IPN\o
IPMI
\PN\
\QMI
IQNI
o—=
些_心x4-1
O（兀3-“0）（兀4一1）=（“4一％）（1_勺）
O2兀3兀4一（兀3+兀4）一Xu（X3+X4）+2%0=0（*）
12分
将―泻卞宀倉代入方程（皿左边，得
（*）的左边=-—_—辿二212）+2氐
X（）_]X（）_]Xo-1
—4—2xq+4—2xj+4a'q+2xj—2心
xo-1
=0.
因而有|PM|-|QN|=|QM|•|PN|・14分
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