年高考数学试题及其参考答案.doc

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1986年高考数学试题及其参考答案

（理工农医类）

一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

（1）在下列各数中,已表示成三角形式的复数是

【】

（2）函数y=（0.2）-x+1的反函数是

（A）y=log5x+1 （B）y=logx5+1

（C）y=log5（x-1） （D）y=log5x-1

【】

（A）一条平行于x轴的直线 （B）一条垂直于x轴的直线

（C）一个圆 （D）一条抛物线

【】

【】

（5）给出20个数

87 91 94 88 93 91 89 87 92 86

90 92 88 90 91 86 89 92 95 88

它们的和是

（A）1789 （B）1799

（C）1879 （D）1899

【】

（6）设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的

（A）充分条件 （B）必要条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件

【】

（7）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有

（A）D=E （B）D=F

（C）E=F （D）D=E=F

【】

（8）在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S—EFG中必有

（A）SG⊥△EFG所在平面 （B）SD⊥△EFG所在平面

（C）GF⊥△SEF所在平面 （D）GD⊥△SEF所在平面

【】

（9）在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是

【】

（10）当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是

【】

二、只要求直接写出结果.

（3）在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0,0）、（1,0）、（2,1）及（0,3）,求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.

三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点.

求证:

平面PAC垂直于平面PBC.

四、当sin2x>0时,求不等式log0.5（x2-2x-15）>log0.5（x+13）的解集.

五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B.试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C,使∠ACB取得最大值.

六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:

七、过点M（-1,0）的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:

线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

九、（附加题不计入总分）

（1）求y=xarctgx2的导数.

1986年试题（理工农医类）答案

一、本题考查基本概念和基本运算.

（1）B;

（2）C; （3）B; （4）A; （5）B;

（6）D; （7）A; （8）A; （9）D; （10）C.

二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.

三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.

证明:

设圆O所在平面为α.

由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,

因此PA⊥BC.

因此∠BCA是直角,

因此BC⊥AC.

而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,

因此BC⊥△PAC所在平面.

从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.

四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.

解:

满足sin2x>0的x取值范围是

而由log0.5（x2-2x-15）>log0.5（x+13）以及对数函数的定义域及性质得到

x2-2x-15

x2-2x-15>0, ③

x+13>0,④

解不等式②得:

-4

解不等式③及④得

-135. ⑥

综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为

（-π,-3）∪（2π,7）.

五、本题主要考查三角函数、函数最大（小）值知识及分析问题的能力.

解:

设点A的坐标为（0,a）、点B的坐标为（0,b）,00.

记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.

六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.

解法一:

因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,

A∪B元素的个数是12+12-4=20.

解法二:

由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.

七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.

解:

由已知条件可知,直线l1的方程是

y=k（x+1）, ①

把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到

k2x2+（2k2-4）x+k2=0, ②

因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:

（2k2-4）2-4k2·k2>0, ③

及 k≠0. ④

解出③与④得到 k∈（-1,0）∪（0,1）.

今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得

定义域是 （-1,0）∪（0,1）.

注:

可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f（k）的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.

八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.

证明:

首先,

由于x1>0,由数列{xn}的定义可知

xn>0,（n=1,2…）

那么当n=k+1时

从而对一切自然数n都有xn+1>xn.

（ii）若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有xn+1

九、（附加题,不计入总分）本题主要考查导数的运算及几何意义.

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