人教版九年级数学上册单元测试定心卷第21章 《一元二次方程》含答案.docx

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人教版九年级数学上册单元测试定心卷第21章《一元二次方程》含答案

单元测试定心卷：

第21章《一元二次方程》

时间：

100分钟满分：

100分

班级：

_______姓名：

________得分:

_______

一．选择题（每题3分，共30分）

1．下列是一元二次方程的是（　　）

A．2x+1＝0B．x2+2x+3＝0C．y2+x＝1D．

2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（5m﹣6）x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（　　）

A．2B．3C．2或3D．﹣2或﹣3

3．一元二次方程3x2﹣8x﹣a＝0有一个根是x＝3，则a的值及方程的另一个根是（　　）

A．a＝3，x＝1B．a＝3，x＝﹣

C．a＝﹣3，x＝﹣

D．a＝﹣1，x＝﹣3

4．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

5．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．下面是甲、乙两位同学的做法：

甲：

如图1，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB，类似地，在AB上折出点M使AM＝AF．此时，AM的长度可以用来表示方程x2+x﹣1＝0的一个正根；

乙：

如图2，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，折出点D的新位置P，因而AD＝AP．此时，DN的长度可以用来表示方程x2+x﹣1＝0的一个正根；

甲、乙两人的做法和结果（　　）

A．甲对，乙错B．乙对，甲错C．甲乙都对D．甲乙都错

6．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则

＝（　　）

A．3B．﹣3C．

D．﹣

7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）

A．11B．12C．11或12D．15

8．某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　）

A．（30﹣x）（20﹣x）＝

×20×30

B．（30﹣2x）（20﹣x）＝

×20×30

C．30x+2×20x＝

×20×30

D．（30﹣2x）（20﹣x）＝

×20×30

9．已知关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　）

A．1B．﹣3C．1或﹣3D．以上均不对

10．有两个一元二次方程M：

ax2+bx+c＝0，N：

cx2+bx+a＝0，其中a•c≠0，a≠c，下列四个结论：

①如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根

②如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数

③如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根必是1

④如果M的两根符号相同，那么N的两根符号也相同

其中正确的是（　　）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

二．填空题（每题4分，共20分）

11．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：

a2﹣3a+

＝　　．

12．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　　．

13．若α，β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为　　．

14．某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为x，根据题意列出方程为　　．

15．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足3x1＝|x2|+2，则m的值为　　

三．解答题（每题10分，共50分）

16．用适当的方法解方程：

（1）x2﹣4x﹣5＝0；

（2）y（y﹣7）＝14﹣2y；

（3）2x2﹣3x﹣1＝0．

17．阅读下列材料

利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．

例如：

x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．

（1）填空：

将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系．

∵x2﹣2x+3＝（x﹣　　）2+　　．

所以x2﹣2x+3　　0（填“＞”、“＜”、“＝”）

（2）如图①所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图②所示的长方形边长分别是5a、a+5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）

（3）比较

（2）中S1与S2的大小，并说明理由．

18．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩．

（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；

（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？

19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

20．杭州联华超市经销甲、乙两种商品．现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

（2）该超市平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使超市每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？

参考答案

一．选择题

1．解：

A、2x+1＝0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程；

B、x2+2x+3＝0，是一元二次方程；

C、y2+x＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程；

D、

＝1，不是整式方程，所以不是一元二次方程；

故选：

B．

2．解：

∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（5m﹣6）x+m2＝0的两个不相等的实根，

∴x1+x2＝5m﹣6，△＝[﹣（5m﹣6）]2﹣4m2＞0，

解得m＜

或m＞2，

∵x1+x2＝m2，

∴5m﹣6＝m2，

解得m＝2（舍）或m＝3，

故选：

B．

3．解：

∵一元二次方程3x2﹣8x﹣a＝0有一个根是x＝3，

∴3×32﹣8×3﹣a＝0，

解得a＝3；

设方程的另一个根为x2，

则x2+3＝

，

解得：

x2＝﹣

．

故选：

B．

4．解：

由题意可知：

△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，

故选：

B．

5．解：

如图1，设AF＝AM＝x，

∵EF＝EB＝

，

∴AE＝AF+EF＝x+

，

在Rt△ABE中，根据勾股定理，得

AE2＝AB2+BE2，

∴（x+

）2＝12+

，

∴x2+x﹣1＝0，

∴AM的长度是方程x2+x﹣1＝0的一个正根；

如图2，连接NH，

设ND＝x，

由折叠可知：

DN＝NP＝x，则NC＝1﹣x，

∵AD＝AP＝AB＝1，CH＝BH＝

，

∴AH＝

＝

，

∴PH＝AH﹣AP＝

﹣1，

∵∠NPH＝∠D＝∠C＝90°，

∴NP2+PH2＝CN2+CH2，

∴x2+（

﹣1）2＝（1﹣x）2+（

）2，

解得x＝

，

即DN＝

，

∵方程x2+x﹣1＝0的一个正根为x＝

，

∴DN的长度可以用来表示方程x2+x﹣1＝0的一个正根．

所以甲、乙两人的做法和结果都正确．

故选：

C．

6．解：

根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，

所以

＝

．

故选：

B．

7．解：

x2﹣5x+6＝0，

（x﹣2）（x﹣3）＝0，

x﹣2＝0，x﹣3＝0，

x1＝2，x2＝3，

根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，

①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；

②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；

故选：

C．

8．解：

设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝

×20×30，

故选：

B．

9．解：

∵关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0，

∴（m+3）×02+0+m2+2m﹣3＝0，

即m2+2m﹣3＝0，

解得：

m＝1或﹣3．

又关于x的方程的另一根不为0，

所以△＞0，

即1﹣4（m+3）（m2+2m﹣3）＞0，

解得：

m∈（﹣∞，+∞），当m＝﹣3时，m+3＝0，此方程不可能有两根，

故选：

A．

10．解：

若M有两个相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＝0，所以方程cx2+bx+a＝0也有两个相等实数根，所以①正确；

设方程M：

ax2+bx+c＝0为t，把x＝t代入得at2+bt+c＝0，所以c•（

）2+b•

+a＝0，则

为方程cx2+bx+a＝0的根，所以②正确；

设相同的根为m，则am2+bm+c＝0，cm2+bm+a＝0，两式相减得到（a﹣c）m2＝a﹣c，则m2＝1，m＝±1，所以③错误；

方程M的两根之积为

；方程N的两根之积为

，如果M的两根符号相同，则a、c同号，所以N的两根符号也相同，所以④正确．

故选：

B．

二．填空题（共5小题）

11．解：

∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，

∴a2﹣3a+1＝0，

则a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，

所以原式＝﹣1+1＝0，

故答案为：

0．

12．解：

由已知得：

△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，

解得：

m＞﹣4．

故答案为：

m＞﹣4．

13．解：

∵α为2x2﹣5x﹣1＝0的实数根，

∴2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，

∴2α2+3αβ+5β＝5α+1+3αβ+5β＝5（α+β）+3αβ+1，

∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，

∴α+β＝

，αβ＝﹣

，

∴2α2+3αβ+5β＝5×

+3×（﹣

）+1＝12．

故答案为：

12．

14．解：

设平均每次降低的百分率为x，

根据题意得：

40（1﹣x）2＝25.6．

故答案是：

40（1﹣x）2＝25.6．

15．解：

∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，

∴△＝（﹣6）2﹣4（m+4）＝20﹣4m≥0，

解得：

m≤5，

∴m的取值范围为m≤5．

∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，

∴x1+x2＝6①，x1•x2＝m+4②．

∵3x1＝|x2|+2，

当x2≥0时，有3x1＝x2+2③，

联立①③解得：

x1＝2，x2＝4，

∴8＝m+4，m＝4；

当x2＜0时，有3x1＝﹣x2+2④，

联立①④解得：

x1＝﹣2，x2＝8（不合题意，舍去）．

∴符合条件的m的值为4．

故答案是：

4．

三．解答题（共5小题）

16．解：

（1）x2﹣4x﹣5＝0，

分解因式得：

（x+1）（x﹣5）＝0，

则x+1＝0或x﹣5＝0，

解得：

x1＝﹣1，x2＝5．

（2）y（y﹣7）＝14﹣2y，

分解因式得：

（y﹣7）（y+2）＝0，

则y﹣7＝0或y+2＝0，

解得：

y1＝7，y2＝﹣2．

（3）2x2﹣3x﹣1＝0，

∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，

则△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，

∴x1＝

，x2＝

．

17．解：

（1）x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2，

∵（x﹣1）2≥0，

∴（x﹣1）2+2＞0

故答案为：

1，2；＞；

（2）

，

；

（3）

＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1

∵（a﹣3）2≥0

∴（a﹣3）2+1＞0，

∴S1﹣S2＞0，

∴S1＞S2．

18．

（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得

100（1+x）2＝196

解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）

答：

该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．

（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克

根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750

整理得，y2﹣4y+3＝0，

解得y1＝1，y2＝3

∵要减少库存

∴y1＝1不合题意，舍去，

∴y＝3

答：

售价应降低3元．

19．解：

（1）△ABC是等腰三角形，

理由：

当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，

∴b＝c，

∴△ABC是等腰三角形，

（2）△ABC是直角三角形，

理由：

∵方程有两个相等的实数根，

∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，

∴a2+c2＝b2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵△ABC是等边三角形，

∴a＝b＝c，

∴原方程可化为：

2ax2+2ax＝0，

即：

x2+x＝0，

∴x（x+1）＝0，

∴x1＝0，x2＝﹣1，

即：

这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．

20．解：

（1）设甲商品的进货单价为x元，乙商品的进货单价为y元，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

甲商品的进货单价为2元，乙商品的进货单价为3元．

（2）依题意，得：

（1﹣m）（500+

）+（2×3﹣1﹣3﹣m）（300+

）＝1700，

整理，得：

10m2﹣11m+3＝0，

解得：

m1＝0.5，m2＝0.6．

答：

当m定为0.5元或者0.6元时，才能使超市每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元．