初三代数上学期难题集答案及解析Word格式文档下载.docx

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∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，

S△DNM=S△DEF=

S△MDG=

=5.5

本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

3．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE全等的理由是（　　）

SAS

AAS

SSS

ASA

直角三角形全等的判定；

角平分线的性质。

根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法，本题中有两角及一角的对边对应相等，所以应选择AAS，比较简单．

由已知得，AP=AP，∠DAP=∠EAP，∠ADP=∠AEP所以符合AAS判定．

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．结合已知条件在图形上的位置选择判定方法．

4．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°

，∠CAB=60°

，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（　　）

3.8cm

7.6cm

11.4cm

11.2cm

由∠C=90°

，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．

∵∠C=90°

，

∴∠B=30°

，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，

又∵AD平分∠CAB，

∴DC=DE=3.8，

∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．

故选C．

本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．

5．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：

①△ABE≌△ACF；

②△BDF≌△CDE；

③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（　　）

①

②

①②

①②③

全等三角形的判定。

从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等，边相等，运用这些结论，进而得到跟多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．

∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F

∴∠AEB=∠AFC=90°

∵AB=AC，∠A=∠A，

∴△ABE≌△ACF（第一个正确）

∴AE=AF，

∴BF=CE，

∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，

∴△BDF≌△CDE（第二个正确）

∴DF=DE，

连接AD

∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，

∴△AED≌△AFD，

∴∠FAD=∠EAD，

即点D在∠BAC的平分线上（第三个正确）

故选D．

此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．

6．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）

10cm

12cm

15cm

17cm

线段垂直平分线的性质。

要求△ABC的周长，知道AE=3cm，则AB=6cm，只要求得BC+AC即可，根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，于是BC+AC等于△ADC的周长，答案可得．

∵AB的垂直平分AB，

∴AE=BE，BD=AD

∵AE=3cm，△ADC的周长为9cm

∴△ABC的周长是9+2×

3=15cm

此题主要考查线段的垂直平分线的性质：

线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对线段进行等效转移时解答本题的关键．

7．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　）

形内

形外

斜边的中点

不能确实

垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．

∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点

可得直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

8．（2005•南通）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）

6cm

8cm

AC=AE+EC=BE+EC，根据已知条件易求．

∵DE是边AB的垂直平分线，

∴AE=BE．

∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18．

又∵BC=8，

∴AC=10（cm）．

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

9．（2010•益阳）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（　　）

P是∠A与∠B两角平分线的交点

P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点

P为AC、AB两边上的高的交点

P为AC、AB两边的垂直平分线的交点

根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．

∵点P到∠A的两边的距离相等，

∴点P在∠A的角平分线上；

又∵PA=PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上．

即P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．

本题考查了角平分线及线段垂直平分线的判定定理．

到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；

到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

10．（2009•荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=50°

，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　）

40°

30°

20°

10°

三角形内角和定理；

三角形的外角性质；

翻折变换（折叠问题）。

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'

D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'

D=∠A=50°

，易求∠B=90°

﹣∠A=40°

，从而求出∠A′DB的度数．

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∴∠B=90°

﹣50°

=40°

∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'

D=∠A，

∵∠CA'

D是△A'

BD的外角，

∴∠A′DB=∠CA'

D﹣∠B=50°

﹣40°

=10°

．

本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．

11．如图，将书页斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD=（　　）

45°

90°

135°

120°

角的计算；

根据折叠得出∠ABC=∠CBA′=

∠ABA′，根据角平分线，得出∠A′BD=

∠A′BE，求出∠CBA′+∠A′BD=

（∠ABA′+∠A′BE）=90°

，即可得出答案．

∵将书页斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，

∴∠ABC=∠CBA′=

∠ABA′，

∵BD为∠A′BE的平分线，

∴∠A′BD=

∠A′BE，

∴∠CBA′+∠A′BD=

（∠ABA′+∠A′BE）=

×

180°

=90°

即∠CBD=90°

本题考查了角的计算和翻折变换的应用，关键是求出∠CBA′+∠A′BD=

（∠ABA′+∠A′BE）．

12．如图，△ABC中，AE⊥BC于E，AD是△ABC的角平分线，若∠ACB=40°

，∠BAE=30°

，则∠DAB等于（　　）

55°

50°

35°

根据三角形内角和定理求出∠B的度数，然后再利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再利用AD是∠BAC的平分线，即可求出∠DAB的度数．

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=∠AEC=90°

∵∠BAE=30°

∴∠B=90°

﹣∠BAE=90°

﹣30°

=60°

又∵∠ACB=40°

∴∠BAC=180°

﹣∠B﹣∠ACB=180°

﹣60°

=80°

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=

∠BAC=

80°

此题主要考查学生对三角形内角和定理和角平分线的性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．

13．如图，在△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=3：

5：

10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：

∠BCN等于（　　）

1：

2：

全等三角形的性质。

利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果．

在△ABC中，∠A：

10

设∠A=3x°

，则∠ABC=5x°

，∠ACB=10x°

3x+5x+10x=180

解得x=10

则∠A=30°

，∠ABC=50°

，∠ACB=100°

∴∠BCN=180°

﹣100°

又△MNC≌△ABC

∴∠ACB=∠MCN=100°

∴∠BCM=∠NCM﹣∠BCN=100°

﹣80°

=20°

∴∠BCM：

∠BCN=20°

：

=1：

故选D

本题考查了全等三角形的性质；

利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握．

14．（2003•烟台）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（　　）

60°

全等三角形的性质；

等腰直角三角形。

先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°

∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E

∴∠BEA=∠ADC=90°

∵∠FBD+∠BFD=90°

，∠AFE+∠FAE=90°

，∠BFD=∠AFE

∴∠FBD=∠FAE

∵∠BDF=∠ADC=90°

，BF=AC

∴△BDF≌△ADC（ASA）

∴BD=AD

∴∠ABC=∠BAD=45°

SSS、SAS、SSA、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

二．填空题（共2小题）

15．如图所示，已知∠O=35°

，CD为OA的垂直平分线，则∠ACB的度数为　70°

　．

线段垂直平分线的性质；

三角形的外角性质。

根据线段垂直平分线得出AC=OC，求出∠A=35°

，代入∠ACB=∠A+∠O求出即可．

∵∠O=35°

，CD为OA的垂直平分线，

∴AC=OC，

∴∠A=∠O=35°

∴∠ACB=∠A+∠O=70°

故答案为：

70°

本题考查了三角形的外角性质和线段垂直平分线的应用，关键是求出∠A的度数，题目比较典型，难度适中．

16．（2009•黄冈）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°

，则∠B等于　70°

或20°

等腰三角形的性质。

分类讨论。

此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°

，当∠A为钝角时，∠B等于20度．

当∠A为锐角时，

∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°

∴∠A=40°

∴∠B=

=

=70°

；

当∠A为钝角时，

∴∠1=40°

∴∠BAC=140°

∴∠B=∠C=

故填70°

此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质；

分类讨论的应用是正确解答本题的关键．

三．解答题（共7小题）

17．已知x+

=4，求x﹣

的值．

完全平方公式。

把已知条件两边平方求出x2+

的值，再根据完全平方公式整理成（x﹣

）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算．

∵

∴

∴x2+

=14，

∵（x﹣

）2=x2+

﹣2=12，

∴x﹣

本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．

18．（2006•湖北）如图，点A、E、F、C在同一条直线上，现有下面四个关系：

（1）AD=BC，

（2）AE=CF，（3）∠B=∠D，（4）AD∥BC，请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学证明题，写出已知，求证并加以证明．

证明题；

开放型。

根据全等三角形的判定定理，选择符合条件的SAS，AAS，ASA，SSS，来选择条件和结论．

已知：

如图，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC，

求证：

AD=BC．

证明如下：

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA．

∵AE=CF，

∴AF=CE．

又∵∠B=∠D，

∴△ADF≌△CBE（AAS）．

∴AD=BC．

本题重点考查了三角形全等的判定定理．这是一道考查三角形全等的开放性题目，答案可有多种．

19．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°

，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

（1）已知CD=4cm，求AC的长；

（2）求证：

AB=AC+CD．

勾股定理；

计算题；

证明题。

（1）根据角平分线的性质可知CD=DE=4cm，由于∠C=90°

，故∠B=∠BDE=45°

，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC的值．

（2）由

（1）可知：

△ACD≌△AED，AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD．

（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DE=CD=4cm，

又∵AC=BC，

∴∠B=∠BAC，

又∵∠C=90°

∴∠B=∠BDE=45°

∴BE=DE=4cm．

在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=

cm，

∴AC=BC=CD+BD=4+

（cm）．

（2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴∠ADE=∠ADC，

∴AC=AE，

又∵BE=DE=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD．

本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，比较简单．

20．已知：

如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：

D在∠BAC的平分线上．

首先根据已知条件易证Rt△BDE≌Rt△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上．

证明：

在Rt△BDE和Rt△CDF中

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（AAS），

∴DE=DF，

又∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴D在∠BAC的平分线上．

此题主要考查角平分线性质的逆定理，首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF，是关键．

21．在Rt△ABC中，∠C=90°

，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°

，求△ABC的面积．

含30度角的直角三角形。

根据已知可得∠CAD为30°

，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半可求得DC，AC的长，从而可得到BC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可．

，∠ADC=60°

∴∠CAD=30°

∵BD=AD=10，

∴DC=5，AC=5

∴BC=BD+CD=15，

∴△ABC的面积=

5

15=

此题主要考查含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半．

22．（2003•湘潭）如图，107国道OA和302国道OB在甲市相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA，OB的距离相等，且使PC=PD，试确定出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

作图—应用与设计作图。

作∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线，两线相交于点P，点P即为所求．

点P即为所求．

能正确作出∠AOB的平分线，线段CD的垂直平分线，各记（2分），结论记（1分），弧度不全的扣（1分）

本题需仔细分析题意，结合图形，利用角的平分线和线段的垂直平分线的性质即可解决问题．

23．（2009•广安）为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：

①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，…请你根据①②步骤解答下列问题：

（1）找出图中∠FEC的余角；

（2）计算EC的长．

（1）结合图形易得∠CFE+∠FEC=90°

，由于∠CFE+∠AFB=90°

，故∠FEC=∠AFB，故∠BAF+∠FEC=90°

，故可得答案；

（2）设EC=xcm，可得EF的长度，根据折叠的性质可得AF=AD，在Rt△EFC中使用勾股定理，可得EF2=FC2+EC2，解可得x的值，即EC的长度．

（1）∠CFE、∠BAF；

（2分）

（2）设EC=xcm，则EF=DE=（16﹣x）cm，（3分）

∵AF=AD=20cm

∴在Rt△ABF中，BF=

=12（cm）

FC=BC﹣BF=20﹣12=8（cm），（6分）

∴在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2

（16﹣x）2=82+x2

x=6．（8分）

∴EC的长为6cm．（9分）

综合考查了折叠得到的对应边相等，及勾股定理的运用．