天津市高二上学期数学期末考试试题.docx
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天津市高二上学期数学期末考试试题
2
高二数学第一学期期末联考
一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）
z
1．复数
A．0
12i
1i
i
，则z（）
B．
C．1D．
2．已知等差数列
a
n
的公差为2，前
项和为，且
，则
a
8
的值为（）
A．16B．15C．143．下列叙述中正确的是（）
D．13
A．若
a,b,cR
，则“xR,ax
2
bxc0
”的充分条件是“b24ac0”
B．若
a,b,cR
，则“ab
2
cb
2
”的充要条件是“ac”
C．命题“xR,x0
”的否定是“
xR,x00
2
0
”
D．
a
n
是等比数列，则
0q1是a
n
为单调递减数列的充分条件
x2y2
4．已知直线22xy420经过椭圆1（ab0）
a2b2
的左焦点
F
1
，且与椭
圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，F是椭圆的右焦点,且
2
则椭圆的方程为（）
MNMF
2
，
x2y2A．1
404
x2
B．y
5
2
1
x2
C．y
10
2
1
x2y2D．1
95
5．如图所示，在长方体ABCD－ABCD中，AD＝AA＝2，AB＝4，点E是棱AB的中
11111
点，则点E到平面ACD的距离为（）
1
A．
1
C．
36．已知，
，则
是
2
B．
3
D．2
的（）
A．充分不必要条件C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知函数
是定义在R上的偶函数，当
x0
时，
xf'（x）f（x）
，若
，则不
p
n
等式
xf（x）0
的解集为（）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
8．过双曲线
x2y2
1
a2b2
的左焦点
作圆x
2
y
2
a
2
的切线，切点为，延长
交
抛物线y
2
4cx
于点，若
FE
1
1
2
FP
1
，则双曲线的离心率是（）
A．
15
1
B．
13
1
C．
35
2
D．
5
2
二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）
x2y2
9．已知方程1
5k42k
表示椭圆，则的取值范围为__________.
10．设公比为
的正项等比数列
的前
项和为，且，若
，则
__________.
11．在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱
uuruuur中点，则PEBC
的值为__________.
12．已知，，且
11b1，则4a2b
aba
的最小值等于__________.
13．设抛物线
y22px
（p0）的焦点为F，准线为
l
.过焦点的直线分别交抛物线于
A,B
两点，分别过A,B作l的垂线，垂足为C,D.若AF3BF为3，则的值为___________.
，且三角形CDF的面积
14．已知函数f（x）
e
x
x
3
3klnxk（1x）
，若
x3
是函数
唯一的极值点，则实数的
取值范围为__________.
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）数列
的前项和为，已知
a1，（2n1）a1n1
（2n3）S
n
.其中nN
*
S
（Ⅰ）证明：
数列是等比数列；
2n1
（Ⅱ）求数列
S
的前
n
项和
.
m
16．（13分）已知函数f（x）ln（xa）x
2
x
在x0
处取得极值.
（Ⅰ）求函数
f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若关于的方程
f（x）
5
2
xb
在区间
上恰有两个不同的实数根，求实数的取
值范围.
17．（13分）在如图所示的多面体中，EA平面
ABC
，DB平面
ABC
，
ACBC
，
且
ACBCBD2AE2
，M是AB的中点.
（Ⅰ）求证：
CMEM；
（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与
平面
EMC
所成的角是
60
.若存在，指出点
N
的位置；
若不存在，请说明理由.
18．（13分）已知数列
a
满足
n
a
1
1
，
a
n1
1
1
4a
n
，其中nN
*
（Ⅰ）设
b
n
2
2a1
n
，求证：
数列
b是等差数列，并求出n
a的通项公式；n
（Ⅱ）设
c
n
4a
n
n1
，数列
cc
nn2
的前n项和为T，是否存在正整数m，使得T
nn
1
cc
mm1
对于nN*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
19．（14分）已知椭圆
C
：
x2y2
1（ab0）a2b2
的离心率
e
1
2
，左顶点为
A4,0
，
过点A作斜率为
kk0的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.O点为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点
Q
，对于任意的
kk0都有
OPEQ
，若
存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若过
O
点作直线
l
的平行线交椭圆
C
于点M，求
OM
ADAE
的最大值.
20．（14分）已知函数f（x）lnx2xax
2
，aR
.
（Ⅰ）若
在
处取得极值，求的值；
（Ⅱ）设
g（x）f（x）（a4）x
，试讨论函数
g（x）
的单调性；
（Ⅲ）当
时，若存在正实数
满足
f（x）f（x）3xxxx121212
，求证：
xx
12
1
2
.
高二数学参考答案
1．D2．B3．C4．D5．B6．A7．C8．A
9．
5k2且k
1
3
10．211．1
12．643
13．
6
2
14．k
e3
27
15．
（Ⅰ）证明：
∵
∴，又，∴
，∴
，
，
∴数列
是以1为首项，2为公比的等比数列.…………………………6分
（Ⅱ）由
（1）知，
，
∴
，
∴
①-②得
，①
.②
∴
16．
，
.…………………………7分
（Ⅰ）
故
解得
时，
.经检验
取得极值，
符合题意。
Q
f
（1）ln22
f'
（1）
5
2
切线方程为：
5x2y12ln20
…………………………6分
1
1
111
x1
y0
（Ⅱ）由
得
令
知
，
则
等价于
在
上恰有两个不同的实数根，
上恰有两个不同实数根.
当
当
时，
时，
，于是
，于是
在
上单调递增；
上单调递增；
依题意有
解得
.…………………………7分
17．（Ⅰ）证明：
∵
ACBC
，M是AB的中点，∴
CMAB
，
又EA平面ABC，∴CMEA，∵EAABA，∴CM平面AEM，
∴
CMEM
．
…………………………3分
（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系Mxyz．则：
M0,0,0
，
C0,2,0
，B2,0,0，D2,0,2，E
2,0,1
，
ME2,0,1，MC0,2,0
，
BD0,0,2
，
BC2,2,0
，
2xz0
设平面EMC的一个法向量mx,y,z，则：
{
2y0
1
取，，z2，所以m1,0,2，
111
，
设平面
DBC
的一个法向量
nx,y,z
22
2
，则：
{
2x2y0,
22
2y0,
2
取
x1
1
，
y1
1
，
z0，所以n1
1,1,0
，
x2,y,z2
2,2,2
2
2
4a
n
n
n
cosmn
mn16
mn236
．
故平面
EMC
与平面
BCD
所成的二面角的正弦值为
30
6
．…………………………5分
（Ⅲ）在棱
DC
上存在一点
N
，使得直线
MN
与平面
EMC
所成的角是
60
，
设
Nx,y,z
且DNDC，
0
1，
∴
，
∴x
22，y2
，z22，∴MN
2
2,2,22
，
若
直
线
MN
与
平
面
EMC
所
成
的
的
角
为
60
，
则
：
cosMN,m
222223212241
sin60
3
2
，
解得
1
2
，
所以在棱
DC
上存在一点
N
，使直线
MN
与平面
EMC
所成的角是
60
，
点N为棱DC的中点．18．（Ⅰ）证明：
…………………………5分
bb
n1n
22224a2
n22a12a112a12a12a1
n1n211nnn
，
所以数列
b
n
是等差数列，
a1,b2，因此b2n122n11n
，
由
b
n
2
2a1
n
a
n
n1
2n
.
…………………………6分
（Ⅱ）由
c
n
2
n
cc
nn2
n
4
n2
11
2（
nn2
）
，
所以
1111111T21
324n1n1nn2
，
所以
T21
111
2n1n2
，
∴
因为nN，所以
T3
n
恒成立，
依题意要使
T
n
1
cc
mm1
对于nN
*
，恒成立，只需
mm14
3
，且
m0
解得
m3
，
m
的最小值为
3
.
…………………………7分
19．（Ⅰ）∵左顶点为
A4,0
∴
a4
又∵
e
1
2
∴
c2
又∵b
2
a
2
c
2
12
∴椭圆
C
的标准方程为
x2y2
1
1612
．…………………3分
（Ⅱ）直线
l
的方程为
ykx4
，由
x2y2
1
{1612ykx4
消元得
x2kx41612
2
1
化简得，
x4
4k23x16k2120
，则x4,x12
16k2124k23
当x
16k2124k23
时，
yk
16k21224k
4
4k234k23
，
16k21224kD，
4k234k23
∵点P为AD的中点
∴点P的坐标为
16k212k，
4k234k23
，则
k
op
3
4k
k0
.
直线
l
的方程为
ykx4
，令
x0
，得点E的坐标为
0，4k
，假设存在定点
Qm,nm0使得OPEQ,则kk1
OPEQ
，即
3n4k4km
1
恒成立，
∴
4m12k3n0
恒成立
∴
{
4m1203n0
即
{
m-3
n0
∴定点Q的坐标为3，0
.…………………………5分
（Ⅲ）∵
OM//l
8
4k
3
DAEA
3
∴
OM
的方程可设为ykx，由
{
x2y2
1
1612得M点的横坐标为ykx
x
434k23
由
OMl
，得
16k212
ADAExxxxx2x214k2DA
OMxx4334k
MM
4k23
9
23
1
4k
3
2
3
6
4k2
3
22，
当且仅当
64k23
4k
2
3
即k
3
2
时取等号，
ADAE
∴当k时，的最小值为22．2OM
所以，原式最大值为
2
4
…………………………6分
20．（Ⅰ）解：
因为
f（x）lnx2xax
2
，所以
f'（x）
1
x
22ax
，
因为
所以
在
处取得极值，f'
（1）122a0，解得a
3
2
．
验证：
当
a
3
2
时，
在
处取得极大值．
………………………3分
（Ⅱ）解：
因为所以
g（x）f（x）（a4）x
lnxax2（a2）x
．
①若
，则当
时，
，所以函数
在
上单调递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减．
②若，，
当
时，易得函数
在
和
上单调递增，
在
上单调递减；
当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递增；
当
时，易得函数
在
和
上单调递增，
在
上单调递减．
…………………………5分
（Ⅲ）证明：
当
时，f（x）lnx2xax
2
，
因为
f（x）f（x）3xxxx121212
，
所以
，
即
，
所以
．
令
，
，
则
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在
上单调递增．
所以函数
所以
在
，
时，取得最小值，最小值为．
即
因为
当
为正实数，所以
时，
，所以
．
，此时不存在
或．
满足条件，
所以
．
…………………………6分
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