最大公约数和最小公倍数Word下载.docx

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自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。

（2）倍数与最小公倍数

几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

一般用符号[a，b]表示a，b的最小公倍数，例如：

[4，10]=20。

（3）求解方法

①求最大公约数常用的方法：

短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。

②求最小公倍数常用的方法：

短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。

2.性质

（1）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。

如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。

（2）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。

如果（a，b）=d，那么（a÷

d，b÷

d）=1。

（3）若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。

或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。

（4）两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

例1（★）已知两个数分别是4和B，已知4=2×

2×

3×

5．B=2×

5，求A，B的最大公约数。

例2（★）一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？

例3（★）三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？

例4（★）在1500-8000之间能同时被12，18，24和42四个数整除的自然数共有多少个？

例5（★）将一块长3.57米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？

（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）

例6（★）加工某种机器零件，要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成6个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个零件，第三道工序每个工人每小时可完成15个零件，要使加工生产均衡，试设计三道工序工人人数的分配方案。

例7（★★）有3根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.6倍，是第三根的一半，第三根比第二根长220厘米。

现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段。

例8（★★）四

（1）班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出1人，如果每4人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人。

问：

这个班至少有多少个学生？

例9（★★）一支队伍不超过1000人，列队时分别按2人、3人、4人、5人、6人一排，最后一排都缺1人，改为7人一排时正好。

这支队伍共有多少人？

例10（★★）用自然数a去除374，410，464，得到相同的余数。

a最大是多少？

例11（★★★）两个自然数的差是27，它们的最大公约数与最小公倍数的和是1179。

那么这两个数的和是_________。

魔法训练营

1．A、B两个数都恰恰只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？

2．有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根。

现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长是多少分米？

可以截成多少根？

3．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干小学生。

学生人数在30～50之间，分到最后余铅笔13支、橡皮8块，问小学生究竟有多少人。

4．把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5:

3的长方形纸，且没有剩余，问最少可截成几张。

5．现有252个红球，396个蓝球，498个黄球。

把它们分组装在n个袋子里，要求每个袋子里都有红、黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数相同，黄球数相同，蓝球数也相同。

求n最大是几。

6．一箱鸡蛋，两个两个数、三个三个数、四个四个数、五个五个数、六个六个数均多出一个，如果七个七个数正好数尽，问这箱鸡蛋至少有多少个。

7．六年级学生参加植树活动，人数在30和50之间。

如果分成3人一组、4人一组、6人一组或8人一组，都恰好分完。

六年级参加植树活动的学生有多少人？

8．用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块多少块？

9．某班学生参加一次考试，成绩分为优、良、中、下四等。

已知该班有的学生得优，有的学生得良，有的学生得中，其余学生得下。

该班学生人数不超过60人，该班得下的学生有多少人？

10.从甲地到乙地原来每隔45米安装一根电线杆，加上两端的共53根。

现在改为每隔60米安装一根，除两端的两根不必移动外，中间还有多少根不必移动？

11.甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛，学校用汽车把学生送往考场。

甲校用的汽车，每车坐15人；

乙校用的汽车，每车坐13人，结果甲校比乙校少派一辆汽车。

后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。

最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，乙校又要比甲校多派一辆汽车。

问最后两校共有多少人参加竞赛。

12.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12时整，电子钟既响铃又亮灯，问：

下一次既响铃又亮灯是几时？

13.大雪后的一天，小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小飞每步长48厘米，爷爷每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40个脚印，求花圃的周长。

14.有两个油桶，一个容积为27升，另一个容积为15升，只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒出6升油来？