所有三角函数公式中学到大学.docx

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所有三角函数公式中学到大学

中学到大学所有公式

锐角三角函数公式

　　sinα=∠α的对边/斜边

　　cosα=∠α的邻边/斜边

　　tanα=∠α的对边/∠α的邻边

　　cotα=∠α的邻边/∠α的对边

　　倍角公式

　　Sin2A=2SinA?

CosA

　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

　　tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

　　（注：

SinA^2是sinA的平方sin2（A））

　　三倍角公式

　　sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）

　　cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）

　　tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

　　三倍角公式推导

　　sin3a

　　=sin（2a+a）

　　=sin2acosa+cos2asina

　　辅助角公式

　　Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中

　　sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）

　　cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）

　　tant=B/A

　　Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）cos（α-t），tant=A/B

　　降幂公式

　　sin^2（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2

　　cos^2（α）=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2

　　tan^2（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））

　　推导公式

　　tanα+cotα=2/sin2α

　　tanα-cotα=-2cot2α

　　1+cos2α=2cos^2α

　　1-cos2α=2sin^2α

　　1+sinα=（sinα/2+cosα/2）^2

　　=2sina（1-sin²a）+（1-2sin²a）sina

　　=3sina-4sin³a

　　cos3a

　　=cos（2a+a）

　　=cos2acosa-sin2asina

　　=（2cos²a-1）cosa-2（1-sin²a）cosa

　　=4cos³a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin³a

　　=4sina（3/4-sin²a）

　　=4sina[（√3/2）²-sin²a]

　　=4sina（sin²60°-sin²a）

　　=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

　　=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]

　　=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

　　cos3a=4cos³a-3cosa

　　=4cosa（cos²a-3/4）

　　=4cosa[cos²a-（√3/2）²]

　　=4cosa（cos²a-cos²30°）

　　=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）

　　=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

　　=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

　　=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

　　=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

　　=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

　　上述两式相比可得

　　tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）

　　半角公式

　　tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）;

　　cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.

　　sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2

　　cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2

　　tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））

　　三角和

　　sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

　　cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

　　tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）

　　两角和差

　　cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）

　　tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

　　和差化积

　　sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

　　sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

　　cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

　　cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

　　tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）

　　tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）

　　积化和差

　　sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2

　　cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

　　sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

　　cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

　　诱导公式

　　sin（-α）=-sinα

　　cos（-α）=cosα

　　tan（—a）=-tanα

　　sin（π/2-α）=cosα

　　cos（π/2-α）=sinα

　　sin（π/2+α）=cosα

　　cos（π/2+α）=-sinα

　　sin（π-α）=sinα

　　cos（π-α）=-cosα

　　sin（π+α）=-sinα

　　cos（π+α）=-cosα

　　tanA=sinA/cosA

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　诱导公式记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限

　　万能公式

　　sinα=2tan（α/2）/［1+tan＾（α/2）］

　　cosα=［1-tan＾（α/2）］/1+tan＾（α/2）］

　　tanα=2tan（α/2）/［1-tan＾（α/2）］

　　其它公式

（1）（sinα）^2+（cosα）^2=1

（2）1+（tanα）^2=（secα）^2

　　（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2

　　证明下面两式,只需将一式,左右同除（sinα）^2,第二个除（cosα）^2即可

　　（4）对于任意非直角三角形,总有

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　证:

　　A+B=π-C

　　tan（A+B）=tan（π-C）

　　（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　得证

　　同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时,该关系式也成立

　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

　　（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

　　（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

　　（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

　　（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

　　（9）sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

　　cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及

　　sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2

　　tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

三角函数公式证明（全部）

2009-07-0816:

13

公式表达式

乘法与因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√（b2-4ac）/2a-b-b+√（b2-4ac）/2a

根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：

韦达定理

判别式b2-4a=0注：

方程有相等的两实根

b2-4ac>0注：

方程有一个实根

b2-4ac<0注：

方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）

倍角公式tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）

cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2）

tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））

ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA））

和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）

2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）

sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）

tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB

ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB

某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：

其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：

角B是边a和边c的夹角

正切定理:

[（a+b）/（a-b）]={[Tan（a+b）/2]/[Tan（a-b）/2]}

圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2注：

（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：

D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h

正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h'

圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi*r2

圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r

锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积V=S'L注：

其中,S'是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h

-----------------------三角函数       积化和差和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：

cosAcosB=[cos（A+B）+cos（A-B）]/2

相减：

sinAsinB=-[cos（A+B）-cos（A-B）]/2

sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA

sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：

sinAcosB=[sin（A+B）+sin（A-B）]/2

相减：

sinBcosA=[sin（A+B）-sin（A-B）]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下

正加正正在前

正减正余在前

余加余都是余

余减余没有余还负

正余正加余正正减

余余余加正正余减还负

.

3.三角形中的一些结论：

（不要求记忆）    

（1）anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

（2）sinA+tsinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）    

（3）cosA+cosB+cosC=4sin（A/2）·sin（B/2）·sin（C/2）+1    

（4）sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC    

（5）cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

...........................

已知sinα=msin（α+2β）,|m|<1,求证tan（α+β）=（1+m）/（1-m）tanβ

解:

sinα=msin（α+2β）

sin（a+β-β）=msin（a+β+β）

sin（a+β）cosβ-cos（a+β）sinβ=msin（a+β）cosβ+mcos（a+β）sinβ

sin（a+β）cosβ（1-m）=cos（a+β）sinβ（m+1）

tan（α+β）=（1+m）/（1-m）tanβ