两位数乘两位数教学实录刘万元第一次执教Word格式文档下载.docx
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老师把你的这个思路记下来。
（板书：
10=230）谁还有不一样的方法？
生3：
也可以把23看成20,20×
12=240，23×
12≈240。
也是一种正确的估算方法。
刚才同学们想出了3种估算方法，我们以第二种为例（估算成23×
10=230）来看一看估算出来的这个得数230，和实际得数相比，是大还是小呢？
为什么？
肯定是小了。
因为你把12看成10，少乘了2。
想法不错，能不能说的再清楚一些呢？
他的意思就是：
12是让我们算12个23是多少，现在呢只算了10个23，还少了2个23，所以肯定比实际得数要小。
这样一说大家就听得更清楚了。
2.口算
估算的结果比准确得数要小，那准确得数到底是多少呢？
现在就请大家开动脑筋口算一下得数。
把你的口算的方法简要的记录在练习本上。
如果有困难，可以和小组同学交流一下。
师巡视，选择有代表性的想法板演。
请大家来看这位同学的做法，你看明白了吗？
谁能给大家介绍一下他是怎么算的？
介绍：
10=230
2=46
230+46=276
他是把12分成10和2，先算23×
10等于230，再算23×
2等于46，最后把230和46加起来等于276。
（指原创者）你是这样想的吗？
他这种算法怎么样？
生甲：
我觉得很好，这样一分就好算了。
生乙：
他先算了10个23，又算了2个23，结果还是12个23，所以他的计算是对的。
是呀，这个同学很有办法，既然算12个23不好算，那就先算10个23，再算2个23，然后再相加，就变得简单了。
这种思路实际是把我们没学过的两位数乘两位数的算式转化成了我们学过的两位数乘整十数和两位数乘一位数的算式，这是我们数学学习中经常用到的一个很重要的方法——转化（板书：
转化）。
老师这还有一种算法，大家看行不行？
展示：
9=207
3=69
207+69=276
行，这个就是先乘9，也就是先算9个23，再算3个23，然后把两个得数相加就能算出得数了。
说的有理有据，清清楚楚。
比较这两种方法，你觉得哪一种稍简单一些呢？
我觉得是把12拆成10和2再分别相乘的方法简单。
我也觉得是这种简单。
两种算法都算出了得数，但把一个因数拆成一个整十数和一个一位数比较简单。
请同学们把这种方法说给你的同位听一听。
3.笔算
像这种横式是表示口算过程的一种方式，而我们以前在学习两位数乘一位数时还学过用竖式计算，其实用竖式计算也是表示计算过程的一种方式。
比如我们以前学过23×
2（板书竖式23×
2），怎样用竖式计算呢？
生集体说，师板书。
在2的前面加上个1，变成12又应该如何用竖式计算呢？
自己先试一下，遇到困难可以和小组的同学一起商量。
生试做，师巡视。
23
×
12
276
一部分同学是这样写的竖式，你觉得这样列竖式行不行？
行，以前我们就这样列竖式。
是呀，我们以前在学一位数的乘法时就是在横线下面直接计算出得数。
不行，虽然得数是对的，但看不出276是怎么算出来的。
有道理，以前我们在计算两位数乘一位数时，确实是只需要一步就可以计算出得数。
但现在计算两位数乘两位数了，我们刚才费了好大得劲才计算出得数，这样直接把最后得数写出来没法展现计算的过程呀！
2323230
×
2×
10+46
46230276
我们再来看看这位同学的方法是不是展现出了计算过程。
针对他这种竖式计算的方法说说你的看法。
这种算法我觉得挺好，让人一看就知道每一步算的什么。
他这种算法我看就是把刚才的口算过程用竖式写出来了。
真会学习，能主动去找前后知识的联系。
我们以前学习用竖式计算都是用一个竖式，他这样用三个竖式太麻烦了。
直接写出得数大家觉得不能体现计算过程，3个竖式大家又觉得太麻烦了。
有没有一个两全其美的方法呢？
既能看出计算过程，又不那么麻烦。
有，把那三个竖式合并一下就行了。
合并一下？
挺奇特的想法！
怎么合并呢？
你看他这几个竖式中好多地方都是重复的，比如说里面有2个23，有2个46，还有2个230，这些我觉得都可以去掉一个。
多好的想法呀！
把重复的去掉，能合并的都合并起来，不就简单了吗。
接着说。
把那个230写到46下面，然后画上一条横线，再把46和230加起来就行了。
生边说，老师边改。
23
46
＋230
276
还真有一些同学是这样做的。
（展示学生的作业）
还有可以省略的地方吗？
再省略一点就更加简单呀。
生沉思而没有结果。
230个位上的0能不能省略？
不能，不写0就成了23了。
……
我觉得可以，那个3在十位上肯定表示30，不写0也不会看成23的。
好想法，数的位置决定了它的大小。
3在十位上肯定表示30，而不会把它看成3的。
所以后面这个0也可以省略。
这个加号可以省略吗？
不行，省略了就不知道是加还是乘了。
可以省略，你分两次算完了，当然得把两次的得数加起来了。
说得好，省略掉加号也不会引起歧义，我们干嘛不把它省略掉呢？
4.梳理计算过程
看，这样用竖式计算可是我们大家的共同努力探索出来的比较简便可行的方法，以后我们在计算两位数乘两位数时就可以这样来列竖式计算。
现在我们再一起梳理梳理计算的过程。
（边梳理边板书）先用个位上的2和23相乘。
再用十位上的1和23相乘。
3写在哪里？
十位下面。
用十位上的1和3乘得到的是3个十，所以写在十位上。
在十位下面写3就表示3个十了。
一二得二，2写在哪？
百位。
其实我们这样用竖式计算，和我们的哪一种口算方法差不多？
竖式中的46是怎么来的？
2。
（师将竖式和横式中的对应部分连起来）
这个23实际上是多少？
230。
也就是23个十，它是怎么来的？
276呢？
46＋230
三、巩固练习
1.尝试练习
我们学会了两位数乘两位数的笔算方法，你能用这种方法很快算出下面两道题的得数吗？
（做在练习纸上）
1231
44×
48
□□
□□□
生独立完成，集体订正。
第一题
有两个48，有什么不同吗？
上面的48是12乘个位上的4，下面的48是12乘十位上的4。
下面的48表示什么？
表示48个十（480）。
第二题
竖式中的93是怎么来的？
62呢？
2.小结
学习了两位数乘两位数的笔算之后，你有什么想提醒大家的？
要对齐数位。
用十位乘的时候要和十位对齐。
是呀，在用个位上的数去乘时，得数的末位要和个位对齐，用十位上的数去乘时，得数的末位就要和十位对齐。
3.辨析
提醒的很有必要。
我们来看看下面这两位同学在用竖式计算时犯了什么错误呢？
4334
12×
21
4634
68
102
生找错因，师评价。
（第一道）乘的时候和每一位都要相乘，可不能拉掉。
（第二道）用十位乘一定要和十位对齐。
四、总结
这节课你学的好吗？
好！
怎么好？
我学会了用竖式计算两位数乘两位数。
还有哪些收获？
我们今天又学会了两位数乘不是整十数的两位数。
说的多准确。
我们刚才一起学习的23乘12，如果是123乘12，就变成了三位数乘两位数，又该怎么计算呢？
请同学们课下开动脑筋好好研究研究。
算理和算法概述之一
计算的算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。
算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。
计算的算法是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。
算理和算法既有联系，又有区别。
算理是客观存在的规律，主要回答“为什么这样算”的问题；
算法是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题。
算理是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和规则，它是算理的具体体现。
算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；
算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。
算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。
处理好算理与算法的关系对于突出计算教学核心，抓住计算教学关键具有重要的作用。
当前，计算教学中“走极端”的现象实质上是没有正确处理好算理与算法之间关系的结果。
一些教师受传统教学思想、教学方法的支配，计算教学只注重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导，教学方式“以练代想”，学生“知其然，不知其所以然”，导致教学偏向“重算法、轻算理”的极端。
与此相反，一些教师片面理解了新课程理念和新教材，他们把过多的时间用在形式化的情境创设、动手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生理解算理过繁，掌握算法过软，形成技能过难，教学走向“重算理、轻算法”的另一极端。
如何正确处理算理与算法的关系，防止“走极端”的现象，广大数学教师在教学实践中进行了有益的探索，取得了许多成功经验。
比如，“计算教学要寻求算理与算法的平衡，使计算教学‘既重算理，又重算法”“把算理与算法有机融合，避免算理与算法的‘硬性对接’”“引导学生在理解算理的基础上自主地生成算法，在算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理”“计算教学要让学生探究并领悟算理，及时抽象并掌握算法，力求形成技能并学会运用”等等，这些观点对于计算教学少走弯路、提高计算教学质量具有重要作用。
对此，笔者认为，处理计算教学中算理与算法的关系还应注意以下五点：
一是算理与算法是计算教学中有机统一的整体，形式上可分，实质上不可分，重算法必须重算理，重算理也要重算法；
二是计算教学的问题情境既为引出新知服务，体现“学以致用”，也为理解算理、提炼算法服务，教学要注意在“学用结合”的基础上，以理解算理，掌握算法，形成技能为主；
三是算理教学需借助直观，引导学生经历自主探索、充分感悟的过程，但要把握好算法提炼的时机和教学的“度”，为算法形成与巩固提供必要的练习保证；
四是算法形成不能依赖形式上的模仿，而要依靠算理的透彻理解，只有在真正理解算理的基础上掌握算法、形成计算技能，才能算是找到了算理与算法的平衡点；
五是要防止算理与算法之间出现断痕或硬性对接，要充分利用例题或“试一试”中的“可以怎样算？
”“在小组里说一说，计算时要注意什么？
”等问题，指导学生提炼算法，为算理与算法的有效衔接服务。
把握基本矛盾走向有效教学——“数的运算”备课解读与难点透视
课改前，关于“数的运算”教学议论很多：
——中国学生的计算能力全球最高，为什么要进行改革?
——计算教学过于形式化、技巧化，严重脱离学生生活实际；
——计算教学的训练单调枯燥，严重挫伤了学生的学习热情；
——过分强调精确计算，忽视了估算能力的培养；
课改后，关于“数的运算”教学仍然议论很多：
——学生的计算能力（口算能力和笔算能力）严重下降；
——在计算目标（速度和正确率）方面两极分化现象严重；
——计算器的引入干扰了学生计算能力的形成；
——“算法多样化”影响了课堂教学的效率；
如何应对“数的运算”教学改革中的问题?
本文试从数的运算的重要意义与价值、教学内容和目标的变化出发，针对目前数的运算教学中普遍存在的基本矛盾进行分析并提出解决策略。
一、“数的运算”的重要意义和价值。
“数的运算”在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。
正确认识计算在数学教学中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使我们的计算教学更加科学有效。
数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，因此它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目标之一。
计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。
一定的计算能力是每个公民都应具备的基本素养。
1．在日常生活中有广泛的应用。
数的运算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。
从抽象的观点看，客观世界的表现形式可以概括为：
数量、空间和时间及相互之间的关系。
从数学的角度看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数的运算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。
任何学科规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算。
2．对培养学生的思维能力有重要作用。
学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能力的过程。
数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。
每个概念、性质、法则、公式的引入与建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。
学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式，都要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程。
学生把这些应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。
因此，数的运算的学习有利于发展学生的思维能力。
3．有利于渗透数学思想方法的教育。
数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的，由低级到高级、从简单到复杂。
而数的运算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。
如整数与分数、约数与倍数，加与减、乘与除、通分与约分，等等。
教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的关系，有利于渗透数学思想方法的教育。
二、内容变化解读。
随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的普及，“数的运算”中哪些知识是大多数人最常用和最基础的，也在发生着变化。
了解和研究这种变化，重新审视相应的教学内容和要求，是小学数学课程教材改革研究的任务之一。
1．加强的内容。
（1）注重计算与日常生活的联系。
过去一提到计算，常常和“抽象”、“单调”、“枯燥”等词语联系在一起，计算教学陷入了一些误区。
与传统的计算相比，《数学课程标准（实验稿）》注重了通过实际情境使学生体验、感受和理解运算的意义。
《标准》中提出：
“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
”“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。
”
诚然，计算本身具有较强的抽象性，但其反映的内容又常常是现实的，与人们的生活、生产有着十分密切的联系。
新课程注重计算的现实意义，适当让学生经历一些现实情境，使学生通过活动体验、感受和理解运算的意义、来源、现实背景和本质。
（2）加强计算器的运用。
计算器的运用一直是小学数学教学讨论的焦点。
《标准》中强调：
“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。
借助计算器不仅有利于学生进行较复杂的运算，解决实际问题，而且还可以培养学生探索数学规律的能力。
一方面，学生可以用它进行大数目的加、减、乘、除四则运算，节约时间，提高计算的速度；
另一方面，借助计算器可以引导学生探索一些复杂的、更为现实的应用问题。
计算器进入课堂，能逐步把学生从繁琐的技巧性计算中解放出来，以学习更多有用的数学内容。
当然，计算器的引入是一种新的改革和试验，需要我们深入研究，防止简单化处理，特别是在低年级学生形成基本计算能力的时候要慎用，在高年级学生学习中也要注意不能养成完全依赖计算器的习惯。
（3）强化估算的作用。
估算是人们在日常生活、工作和生产中，对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量所进行的近似或粗略估计的一种方法。
如今，复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成，与此同时，日常生活和工作中估算的作用也越来越突出。
如，人们在使用工具进行计算时，由于操作上的失误会使计算结果有很大的误差，这就要求人们具有一定的估算能力，能对计算结果的合理性进行判断，并对其合理性作出解释。
另外，估算还可以用于平时的计算，在计算前对结果进行估算，可以使学生合理、灵活地用多种方法去思考问题；
在计算后对结果进行估算，可以使学生获得一种最有价值的检验结果的方法。
所以估算能力是现代化社会生活的需要，是衡量人们计算能力的一个重要标准。
重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。
标准》中明确提出要培养估算能力。
在第一学段中强调“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”，在第二学段中强调“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。
2．削弱的内容。
（1）删减珠算的内容。
珠算作为我国传统的计算工具，在历史上发挥了重要的作用，同时，珠算教学的形象性对于学生智力开发也有很大的促进作用。
但是随着计算机的不断普及，人们基本上已经不采用珠算计算的方法。
因此《标准》中基本不介绍珠算，取而代之的是计算器。
（2）删减繁琐的运算步骤。
在整数运算方面，《标准》明确提出：
“进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。
”而在这里“简单”运算的含义具体包括：
“加、减法以两三位为主”，“乘法是三位数乘两位数”，“除法是三位数除以两位数”。
在小数、分数运算方面，《标准》提出：
“会分别进行简单的小数，分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。
（3）删减运算的数目要求。
在口算方面，《标准》提出：
“会口算百以内一位数乘、除两位数。
”在笔算方面，提出：
“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。
我们知道，同一类计算题目，数目较大的运算比数目较小的运算错误率有成倍的增长。
因此降低计算中的数目要求，也就降低了学生的错误率，减轻了学生负担。
三、教学要点。
第一学段总体要求：
“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；
应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’。
第二学段总体要求：
“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化；
应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；
应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对应用题进行机械的程式化训练。
在实际的教学中，要特别注意如下问题的解决。
1．如何建立四则运算概念?
首先，应注重在具体情境中体会运算意义。
四则运算是小学数学最基础的知识。
一般对加法的定义是：
“把两个数合并成一个数的运算。
”减法的定义是：
“已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
”乘法的定义是：
“求相同加数的和的简便运算。
”除法的定义是：
“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
”这些运算定义虽然在表述上已经比较直观，但对于低年级的小学生来说，仍是十分抽象的。
心理学研究表明，当一个数的运算与所代表的情境中的物体相联系时，才能在学生的头脑中获得真正的意义。
情境可以赋予数以意义，从而使抽象的数成为具体的物体。
因此《标准》提出“结合具体情境”的要求。
案例1：
“加法”（一上）
教材创设了学生熟悉的活动情境图“折纸游戏”：
已经折了1只红色的纸鸟，2只蓝色的纸鸟。
教学时，可以组织学生观察并述说：
红色纸鸟的只数可以用“1”表示，蓝色纸鸟可以用“2”表示，一共折的纸鸟只数可以用“3”表示；
要求一共有多少只纸鸟，可以把“1”和“2”合并起来，在数学上把这种运算叫做“加法”，写成“1+2=3”；
然后让学生联系情境说一说“1”，“2”，“3”和“+”各表示什么含义；
最后再通过小朋友把两只手里的气球合并以及让学生动手摆学具等活动，逐步形成对加法意义的认识。
这样，学生对加法含义的理解是建立在丰富的感性积累基础之上，在头脑中形成鲜明的动态表象，从而获得关于加法运算意义的准确理解。
案例2：
“乘法”（一下）
教材通过情境图，首先让学生在具体活动中感知“几个几”：
兔有3个2，鸡有4个3；
再让学生用已经学过的连加进行计算：
2+2+2=6，3+3+3+3=12。
接着通过操作学具和观察花片活动，使学生进一步体验“几个几”：
3个5可以写成5+5+5=15，5个3可以写成3+3+3+3+3=15。
然后通过计算桌子上电脑的台数：
2+2+2+2=8，讲述——“4个2相加，可以写成2×
4=8或4×
2=8”。
同时结合教学乘号、乘数、积等名称和乘法算式的读法。
这样的编排和教学，改变了过去强调“相同加数”、“相同加数的个数”、“每份数”、“份数”、“被乘数”、“乘数”等过分形式化的概念以及所谓被乘数和乘数不能换位置的人为障碍，强化了乘法的本质——同数相加。
学生认识乘法的过程，成了快乐的学习体验过程，成了理解数学概念本质的过程。
2．如何重视口算教学?
口算也称心算，是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果的计算方式。
口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解，它不仅仅是笔算的基础，而且也是运算中独立的一部分，同时口算在日常生活中有着很高的应用价值。
口算还是数感发展过程中的一个重要部分。
在教学中具体落实“重视口算”的目标，应注重如下两点：
（1）在数形结合中理解口算原理。
数的运算，其实质是对现实生活中物体的个数进行运算，可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。
在让学生理解口算的算理时，除了要与实际情境相结合，还要逐步过渡为数学的语言符号。
案例3：
“整百数加、减整百数”（二下）
首先创设“买电器”的情境：
洗衣机500元，电冰箱1200元，电视机800元，电风扇160元。
提出问题：
“爸爸买一台洗衣机和一台电视机共花多少钱?
”列式：
500+800。
接着通过具体的人民币（都是百元面值）的呈现，引发学生思考：
5加8等于13，500+800=1300。
然后通过计数器演示：
5个百加8个百是13个百，也就是1300。
最后让学生说说自己的思考和计算过程。
这样，由具体实物（百元人民币形象地表示计数单位“百”）的操作过渡到半形象半抽象的计数器（百位上算珠操作）演示，再通过学生在头脑中的表象运演，使学生逐步理解口算的算理（5个百加8个百是13个百，就是1300）。
这样的教学符合学生的思维发展规律：
直观动作思维→具体形象思维→抽象逻辑思维。
（2）科学合理地训练，强化基本口算。
在小学的口算内容中，两个一位数相加与其相对应的减法、表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口算，
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