《微观经济学原理与模型》及其证明方法.docx

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《微观经济学原理与模型》及其证明方法

《微观经济学：

原理与模型》

第三篇企业经济行为

第八章生产函数

第五节生产函数与技术进步

=====================

=====================

附：

一般生产函数的一般性质

在经济学中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程，

我们把这个函数叫做生产函数。

它的性质在经济学中经常用到，这里给出一个简单介绍。

假设厂商的产出Y 由厂商投入资本存量 K （t） 和劳动力 L（t） 来生产，

这个过程由函数Y （t） = F （K （t）, L（t）） 给出。

假设函数 F （ ⋅ , ⋅） :

 R ⨯ R → R 是

二阶连续可微的，并且满足：

1

A1． F （0, L（t） = 0, F （K （t）, 0） = 0 ，即没有资本投入或者没有劳动力投入

都不可能生产出产品。

这也是人们通常讲的“没有免费的午餐!

”

A2．函数 F （ ⋅ , ⋅） 对于变量是非降的，即投入品越多，产出越多。

由生

产函数的可微性，假设 A2 可以表示为

∂F （K , L）

∂K

≥ 0,

∂F （K , L）

∂L

≥ 0

A3．生产函数是常数规模回报的，即对任意的 λ > 0 ，有

F （λK （t）, λL（t）） = λF （K （t）, L（t））

假设 A3 告诉我们，如果把所有的投入同时提高 λ 倍，总的产出

也会相应地提高 λ 倍。

在生产函数的连续可微性假设下，由假设 A3

可以得到下面的 Euler 方程：

F （K （t）, L（t）） =

∂F （K , L）

∂K

K +

∂F （K , L）

∂L

L

Euler 方程告诉：

在完全竞争的假设下，具有常数规模回报的厂

商的所有收益被资本回报和工资所瓜分，因此它的极大化利润为零。

A4．生产函数对变量是拟凹的，即对任意的生产可行性计划

（K1, L1）, （K2 , L2 ） 和任意的 λ ∈[0, 1] 有

F （λK1（t） + （1 - λ ）K2 （t）, λL1（t） + （1 - λ ）L2 （t））

≥ min{F （K1, L1 ）, F （K2 , L2 ）}

条件 A4 等价于厂商的要素需求集是凸集合，但它在应用中较难，因

此通常用更强的条件来代替：

2

A4．生产函数对变量是严格凹的，即对任意的不同的生产可行性计

划 （K1, L1）, （K2 , L2 ） 和任意的 λ ∈ （0, 1） ，有

F （λK1（t） + （1 - λ ）K2 （t）, λL1（t） + （1 - λ ）L2 （t））

≥ λF （K1, L1 ） + （1 - λ ）F （K2 , L2 ）

在生产函数的可微性下，严格凹性等价于生产函数的 Hessian 矩阵是

负定的。

同时也可以得到

∂2 F （K , L）

∂K 2

< 0,

∂ 2 F （K , L）

∂L2

< 0

因此，在生产函数的严格凹性下，资本存量和劳动力的边际生产

率都是递减的。

A5．生产函数满足 Inada 条件，即

K→∞K→∞

K→0L→0

假设 A5 表明当资本存量水平或者劳动力水平充分大时，它们的

边际生产率充分小；反之，当它们的水平充分小时，它们的边际生产

率充分大。

例如：

对任意的 γ > 0 ， ρ < 0 ，考虑生产函数：

F （K , L） = γ （aK

-ρ

-ρ

-

1

ρ

可以验证上面函数满足条件 A1~A3， A4' 和 A5。

我们通常所讲的

Cobb-Douglas 生产函数

Y （t） = A（t）K （t）α L（t）β

3

就满足上述所有的假设。

其中α , β 为非负常数，满足 0 < α , β < 1 。

=====================

=====================

一、常用生产函数

在企业现实生产中，生产函数大多是非线性的。

为简单起见，通常假设生产函数为线性或可以线性化的生产函数

（1inear producdon function），并据此来分析有关生产函数的性质。

（一）线性齐次生产函数

线性齐次生产函数具有如下性质：

1．规模报酬不变。

规模报酬不变是线性齐次生产函数的首要性质。

根据式（8．13）和式（8．16），由于 Eε = r = 1，则

f （λL, λK ） = λr f （L, K ） = λq

（8．17）

式（8．17）表示投入 L, K 变动 λ 倍，产量也相应变动 λ 倍，呈线性变动。

2．要素投入的平均产量和边际产量取决于投入比例，而与投人数量

无关。

4

从平均产量来看，令λ=，并代入式（8．17），可得

1

L

q

L

⎛ L K ⎫ ⎛ K ⎫ ⎛ K ⎫

⎝ L L ⎭ ⎝ L ⎭ ⎝ L ⎭

（8．18）

由于

q

K

=

q L

L K

，将式（8．18）代入，可得

q

K

⎛ K ⎫ L

⎝ L ⎭ K

⎛ K ⎫

⎝ L ⎭

K

L

⎛ K ⎫

⎝ L ⎭

（8．19）

从边际产量来看，由式（8. 18）有

⎛K ⎫⎛ K ⎫

⎝L ⎭⎝ L ⎭

求上式对 L 的偏导数，可得

（8．20）

∂q

∂L

⎛ K ⎫ ⎛ K ⎫⎛ K ⎫

⎝ L ⎭ ⎝ L ⎭⎝ L ⎭

çç⎪⎪

= φ⎛ K ⎫ - K φ '⎛ K ⎫

⎝ L ⎭ L ⎝ L ⎭

（8．21）

由式（8．20）对 K 的偏导数，可得

∂q

∂L

⎛ K ⎫ 1

⎝ L ⎭ L

⎛ K ⎫

⎝ L ⎭

（8．21）

式（8．18）和式（8．19），式（8．21）和式（8．22）说明， AP ， MP 都是

数。

K

L

的函

3．线性齐次生产函数满足欧拉定理（Euler’s theorem）。

针对线性齐次生产函数，欧拉定理可用式（8．23）来表示。

其经济

含义是，各种投入的边际产量与投人数量乘积之和，等于总产量。

5

q =

∂q

∂L

L +

∂q

∂K

K

（8．23）

（二）柯布一道格拉斯生产函数

柯布一道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function）简

称 C-D 生产函数，其表达式为

q = ALα K β

（8．24）

其中， A 为规模参数（scale parameter）， A f 0 。

α 为劳动的产出

弹性（ 0 < α < 1）； β 为资本的产出弹性（ 0 < β < 1 ）。

C-D 生产函数具有如

下性质：

1．α + β 次齐次生产函数。

由于

A（λL）α （λK ）β = Aλα Lα λβ K β = Aλα +β Lα K β = λα +β q

对照式（8．16），可知

r = α + β

（8．25）

2．等产量线的斜率为负，并凸向原点。

对式（8．24）微分，可得

dq =

∂q

∂L

dL +

∂q

∂K

dK = （ AαLα -1K β ）dL + （ AβLα K β -1）dK

由于

dq = 0

6

故

AαLα -1K β dL = - AβLα K β -1dK

dK

dL

=

AαLα -1K β

α β -1

= -

α K

β L

< 0

（α , β , L, K > 0）

（8．26）

上式表示：

C-D 生产函数等产量线的斜率，即劳动对资本的边际技

术替代率为负。

而且

2

2

=

dL ⎛ dK ⎫

L ⎝ dL ⎭

ç - ⎪ =

ç

L -

L2

dL

dL

⎫

⎭

= -

α 1 ⎛ dK

β L ⎝ dL

⎫

⎭

⎛

⎝

dK

dL

⎫

⎭

上式表明：

C-D 生产函数等产量线斜率的变化率为正，故等产量线

凸向原点。

3．规模报酬状况取决于α + β 大于、小于还是等于1。

若α + β = 1，则

为线性齐次生产函数。

因 β = 1- α ，式（8．24）可表达为

q = ALα K 1-α

A（λL）α （λK ）1-α = Aλα Lα λ1-α K 1-α = AλLα K 1-α = λALα K 1-α = λq

（8．27）

（三）不变替代弹性生产函数

不变替代弹性生产函数（constantelasticityof

substitution production function）简称 CES 生产函数，是包括线

7

性生产函数、投入产出生产函数、C-D 生产函数在内的一簇具有不变

替代弹性的生产函数。

它的一般形式是

-ρ

+ （1 - α ）K

-ρ

]

-

1

ρ

（8．28）

其中， A 为规模参数， A f 0 ；α 为产出弹性， 0 p α p 1 ； ρ 为替代参数，

替代弹性

Eσ =

1

1 + ρ

> 0 ，故 ρ ≥ 1。

根据替代参数，可以推导替代弹性，从而确定生产函数的性质：

1、若 ρ = -1， Eσ =

的线性生产函数

1

1 + ρ

= ∞ ，CES 生产函数蜕化为具有完全替代弹性

q = A[αL + （1 - α ）K ]

2、若 ρ = ∞ ， Eσ =

产出生产函数

1

1 + ρ

= 0 ，CES 生产函数变成完全无替代弹性的投入

⎛ L K ⎫

⎝ a b ⎭

3、若 ρ = 0 ， Eσ =

C-D 生产函数

1

1 + ρ

= 1 ，CES 生产函数变成为具有单一替代弹性的

q = ALα K 1-α

8

显然，C-D 生产函数是 CES 生产函数的特例，即具有单一替代

弹性的 CES 生产函数，而 CES 生产函数是 C-D 生产函数的一般化，

即替代弹性虽为常数，但不一定是单一替代弹性的 C-D 生产函数。

上述各种不同替代弹性生产函数的等产量线可以表示为图 8．10。

K

O

Eσ = 0

Eσ = 1

Eσ = ∞

L

图 8.10不同替代弹性的等产量线

9

二、技术进步及其测定

（一）技术进步的概念

技术进步（technicalprogress）的概念来自经济学运用生产函

数对经济增长的研究。

在考虑技术进步时，通常把生产函数定义为

q = A（t） f （L, K ）

（8．29）

其中， L 和 K 分别代表劳动和资本的投入， q 代表产量。

 A 代表技术进

步因子，为时间 t 的函数。

人们将劳动和资本投入以外影响产出的一

切因素，笼统地称为技术进步。

为了解释技术进步的性质，经济学采取各种统计方法对其进行剖

析，分解出一系列解释变量。

尽管如此，技术进步仍然带有某种神秘

色彩，受到各种术语含义不同的困扰。

这里，我们从广义上将技术进

步定义为：

能够使一定数量的投入组合，产出更多产品的所有因素共

同作用的过程。

一般来说，广义的技术进步主要体现在以下几方面：

知识创新，

装备改进，工艺变革，劳动素质，管理水平，政策环境，等等。

（二）技术进步的类型

10

一般来说，任何意义上的技术进步，都意味着生产函数的变动。

按照边际技术替代率的变化，可将技术进步分为三种类型：

1．资本使用型技术进步

在一定的资本、劳动比例下，技术进步的结果使资本边际产量的

变化率大于劳动边际产量的变化率，即劳动对资本的边际技术替代率

递减，称为资本使用型（capitalusing）技术进步，又称劳动节约型

（1abor saving）技术进步。

即

dMPK

MPK

>

dMPL

MPL

2．劳动使用型技术进步

在一定的资本、劳动比例下，技术进步的结果使资本边际产量的

变化率小于劳动边际产量的变化率，即劳动对资本的边际技术替代率

递增，称为劳动使用型（1aborusing）技术进步，又称资本节约型

（capital saving）技术进步。

即

dMPK

MPK

<

dMPL

MPL

3．中性技术进步

在一定的资本、劳动比例下，技术进步的结果使资本边际产量的

11

变化率等于劳动边际产量的变化率，即劳动对资本的边际技术替代率

不变，称为中性（neutral）技术进步。

即

dMPK

MPK

=

dMPL

MPL

上述不同类型的技术进步，可以通过等产量线向原点移动的不

同方式来反映。

在图 8．11 中，假设所有产量水平相同，但 q2 ， q3 ， q4 的技术水平

都高于 q1 。

等产量线向原点移动的不同轨迹，反映技术进步的类型不

同。

在价格因素不变的条件下， q1 → q2 属于中性技术进步， q1 → q3 属

于资本使用型技术进步， q1 → q4 则属于劳动使用型技术进步。

12

K

q3

q1

q2

q4

OL

图 8.11技术进步的类型

（三）技术进步的测定

1．综要素生产率

如何测定技术进步的作用，是一直困扰着经济学界的难题，至今

尚未取得共识。

在实际工作中，目前影响较大的是美国索洛（R．Solow）在

1957 年发表的《技术进步与总生产函数》。

1

以 Y 表示产出，生产函数的一般形式为

q = ALα K β

（8．30）

两边取自然对数并微分，可得

1 Robert Solow:

 Technical change and the aggregate production function, Review of Economics and Statistics,

1957

13

dY

Y

=

dA

A

+

df （L, K ）

f （L, K ）

因为

df （L, K ） =

∂f

∂L

dL +

∂f

∂K

dK

所以

dY

Y

=

dA

A

+

∂f

∂L

f （L, K ）

⋅

dL

L

+

∂f

∂K

f （L, K ）

⋅

dK

K

式中，左端为经济增长率，右端第一项为广义技术进步贡献率，第

二项为劳动贡献率（劳动产出弹性与其增长率之积），第三项为资本

贡献率（资本产出弹性与其增长率之积）。

即

dY

Y

=

dA

A

+ EL ⋅

dL

L

+ EK ⋅

dK

K

dA

A

=

dY

Y

⎛

⎝

dL

L

+ EK ⋅

dK ⎫

K ⎭

（8．31）

在实际测算中，由于难以直接估计各项投入的产出弹性，通常假

设它们等于各自在总产出中所占的比例，而且规模报酬不变。

据此，利用有关统计数据，便可测算出式（8．31）中的技术进步率。

索洛利用美国 1909—1949 年的有关数据，得到式（8．31）中的各项数

值为

每年经济增长率

每年劳动增长率

dY

Y

dL

L

= 2.75%

= 1.00%

14

每年资本增长率

dK

K

= 1.75%

劳动的产出弹性 EL = 0.65

资本的产出弹性 EK = 0.35

技术进步率

dA

A

= 1.50%

1.50 ⎫

⎝ 2.75 ⎭

但是，由于这个技术进步中也包括自然因素、制度因素、政策因素、国

际因素等，所以人们通常称之为综合要素生产率。

2．体现型技术进步率

李子奈、鲁传一在索洛、英特列里格托（Intriligator）、菲尔普斯

（Phelps）、纳尔逊（Neleon）等人研究的基础上，提出一个包括资本、劳

动体现型技术创新和非体现型管理创新的生产函数模型 1：

dY

Y

=

dA''

A''

⎛

⎝

dK ⎫ ⎛

K ⎭ ⎝

dL ⎫

L ⎭

（8．32）

其中：

dY

Y

dA''

A''

为经济增长率

为管理创新率

EK , EL 为资本、劳动产出弹性

dKdL

KL

为资本、劳动增长率

λ ， δ 分别为由于资本质量提高而使资本使用效率年提高速度，由于

1 李子奈，鲁传一．管理创新在经济增长中贡献的定量分析．清华大学学报（哲学社会科学版）2002 年，第

2 期

15

劳动者平均受教育水平提高而使劳动生产率年提高速度

da ， db 分别为资本平均使用寿命的变化，劳动者平均工作年龄的变

化

由式（8．32）可知：

体现资本、劳动等要素质量提高的技术创新，

已从广义技术进步中分离出来，从经济增长率中扣除这些有载体的技

术创新的贡献，便是无载体的管理创新的贡献。

资本体现型技术创新的贡献＝ λEK - λEK da

劳动体现型技术创新的贡献＝ δEL - δELdb

（8．33）

（8．34）

技术创新对经济增长的贡献率＝

管理创新对经济增长的贡献率

（λEK - λEK da ） + （δEL - δELdb ）

dY / Y

（8．35）

dA''

A''

= 1 -

⎛

⎝

dK ⎫ ⎛

K ⎭ ⎝

dY / Y

dL ⎫

L ⎭

（8．36）

根据我国 1978—1998 年的有关数据，模型研究得出以下结论：

国民生产总值年平均增长速度

dY

Y

= 9.71%

资本投入年平均增长速度

劳动投入年平均增长速度

资本的产出弹性 EK = 0.515

劳动的产出弹性 EL = 0.485

dK

K

dL

L

= 8.78%

= 2.82%

16

dA

= 3.82%

广义技术进步率

A

资本投入对经济增长贡献率 EK

劳动投入对经济增长贡献率 EL

dK

K

dL

L

dY

Y

dY

Y

= 46.59%

= 14.05%

dA dY

AY

技术创新对经济增长贡献率等= 11.90%

Y

管理创新对经济增长贡献率等= 27.46%

Y

17