北师大版七年级数学下册《第一章整式》教案.docx

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北师大版七年级数学下册《第一章整式》教案

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第一章　整式的运算

主备：

复备：

七年级备课组审阅：

1.1同底数幂的乘法

教学目标：

1．能够在实际情境中，抽象概括出所要研究的数学问题，增强学生的数感符号感。

2．在已有的对幂的知识的了解基础之上，通过与同伴合作，经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义，发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力。

3．了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，训练他们养成学会分析问题、解决问题的良好习惯。

教学重点：

同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。

教学过程：

一、复习回顾

活动内容：

复习七年级上册数学课本中介绍的有关乘方运算知识：

二、情境引入

活动内容：

以课本上有趣的天文知识为引例，让学生从中抽象出简单的数学模型，实际在列式计算时遇到了同底数幂相乘的形式，给出问题，启发学生进行独立思考，也可采用小组合作交流的形式，结合学生现有的有关幂的意义的知识，进行推导尝试，力争独立得出结论。

三、讲授新课

1．利用乘方的意义，提问学生，引出法则：

计算103×102．

解：

103×102=（10×10×10）×（10×10）（幂的意义）

=10×10×10×10×10（乘法的结合律）

=105．

2．引导学生建立幂的运算法则：

将上题中的底数改为a，则有　a3·a2＝（aaa）·（aa）

＝aaaaa

＝a5，　　　　即a3·a2=a5=a3+2．

用字母m，n表示正整数，则有

即am·an=am+n．

3．引导学生剖析法则

（1）等号左边是什么运算？

（2）等号两边的底数有什么关系？

（3）等号两边的指数有什么关系？

（4）公式中的底数a可以表示什么

（5）当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？

要求学生叙述这个法则，并强调幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加．

三、应用提高

活动内容：

1．完成课本“想一想”：

等于什么？

2．通过一组判断，区分“同底数幂的乘法”与“合并同类项”的不同之处。

3．独立处理例2，从实际情境中学会处理问题的方法。

4．处理随堂练习（可采用小组评分竞争的方式，如时间紧，放于课下完成）。

四、拓展延伸

活动内容：

计算：

（1）-a2·a6

（2）（-x）·（-x）3

（3）ym·ym+1（4）

（5）（6）.

（7）（8）

（9）x5·x6·x3（10）-b3·b3

（11）-a·（-a）3（12）（-a）2·（-a）3·（-a）

五、课堂小结

活动内容：

师生互相交流总结本节课上应该掌握的同底数幂的乘法的特征，教师对课堂上学生掌握不够牢固的知识进行强调与补充，学生也可谈一谈个人的学习感受。

六、布置作业

1．请你根据本节课学习，把感受最深、收获最大的方面写成体会，用于小组交流。

2．完成课本习题1.4中所有习题。

教学反思

1.4幂的乘方与积的乘方

（一）

教学目标：

1．经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义。

了解幂的乘方的运算性质，并能解决实际问题。

2．在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力。

学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力。

3．在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感爱数学的内在美。

教学重点：

会进行幂的乘方的运算。

教学难点：

幂的乘方法则的总结及运用。

教学方法：

尝试练习法，讨论法，归纳法。

教学过程：

一、复习回顾

活动内容：

复习已学过的幂的意义及幂运算的运算法则

1.幂的意义

2.（m、n为正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

二、情境引入

活动内容：

根据已经学习过的知识，带领学生回忆并探讨以下实际问题

1．乙正方体的棱长是2cm,则乙正方体的体积V乙=cm3。

甲正方体的棱长是乙正方体的5倍，则甲正方体的体积V甲=cm3。

2．乙球的半径为3cm,则乙球的体积V乙=cm3

甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V甲=cm3.

如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球体积是乙球体积的倍。

地球、木星、太阳可以近似地看作球体。

木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的倍和倍.

三、探究新知

活动内容：

1．通过问题情境继续研究：

为什么？

让学生清楚运算之间的关系，题目所描述的是10的2次幂的三次方，其底数是幂的形式，然后根据幂的意义展开运算，去探究运算的过程。

2．计算下列各式，并说明理由.

（1）（62）4;

（2）（a2）3;（3）（am）2;（4）（am）n.

仿照前面，来研究以上四个题目的运算情况，实际上做到（3）题时可以猜想（4）题的结果，也为后面幂的乘方的法则推导带来指导性。

完成本节课的主要教学任务。

通过上面的探索活动,发现了什么?

幂的乘方，底数__________，指数__________。

四、落实基础

活动内容：

一、完成教科书例题1

【例1】计算：

（1）（102）3

（2）（b5）5（3）（an）3

（4）-（x2）m（5）（y2）3·y（6）2（a2）6－（a3）4

二、随堂练习

1．计算：

（1）（103）3

（2）-（a2）5（3）（x3）4·x2

（4）[（-x）2]3（5）（-a）2（a2）2（6）x·x4–x2·x3.

2．判断下面计算是否正确？

如果有错误请改正：

（1）（x3）3=x6

（2）a6·a4=a24

五、联系拓广

活动内容：

把所学知识面拓广，幂的运算都在指数上做文章，这节课的拓广题，也是以指数变化为主。

⑴a12＝（a3）（）＝（a2）（）＝a3a（）＝（）3＝（）4

⑵32﹒9m＝3（）

⑶y3n＝3,y9n＝.

⑷（a2）m+1＝.

⑸[（a-b）3]2＝（b-a）（）

（6）若4﹒8m﹒16m＝29，则m＝.

（7）如果2a＝3,2b＝6,2c＝12,那么a、b、c的关系是.

六、课堂小结

活动内容：

师生互相交流本堂课上应该掌握的幂的乘方的特征，教师对课堂上发现的学生掌握不好的地方给以强调。

特别要注意已经学习过的两种幂的运算——同底数幂的乘法与幂的乘方，它们之间的整合也是这堂课要掌握的。

七、布置作业：

完成课本习题1.5

教学反思

1.4幂的乘方与积的乘方

（二）

教学目标：

1．经历探索积的乘方的运算的性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理

能力和有条理的表达能力。

2．了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。

教学重点：

会进行积的乘方的运算。

教学难点：

正确区别幂的乘方与积的乘方的异同。

教学方法：

探索、猜想、实践法。

教学过程：

一、复习回顾：

活动内容：

复习前几节课学习的有关幂的三个知识点：

1．幂的意义

2．同底数幂的乘法运算法则（m、n为正整数）

3．幂的乘方运算法则（am）n=amn（m、n都是正整数）

二、探索交流

活动内容：

本环节是这节课最为重要的环节之一，教师应该注意在授课中学会调动学生的学习兴趣，比如在课上可以对学生进行升级式提问：

（1）根据幂的意义，（ab）3表示什么?

（2）为了计算（化简）算式ab·ab·ab，可以应用乘法的交换律和结合律。

又可以把它写成什么形式?

（3）由特殊的（ab）3=a3b3出发,你能想到一般的公式吗?

此环节的三个连贯性问题用到了刚刚复习到的幂的意义及根据其建立的数学模型。

三、知识扩充

活动内容：

1．借助刚刚探讨的结果，完成课本19页“做一做”的三个问题。

（3×5）7=3（）×5（）

（3×5）m=3（）×5（）

（ab）n=a（）b（）

2．学会复述积的乘方的运算法则：

（ab）n＝anbn

积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

3．公式拓展：

三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质?

怎样用公式表示?

4．进一步探讨出答案（abc）n=an·bn·cn

四、巩固新知

活动内容：

1．课本21页数学理解判断题：

下面的计算是否正确？

如有错误请改正.

（1）；

（2）

2．课本【例2】计算：

（1）（3x）2;

（2）（-2b）5;

（3）（-2xy）4;（4）（3a2）n.

3．【例3】地球可以近似地看做是球体，如果用V,r分别代表球的体积和半径，那么。

地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米?

4．课本随堂练习1

五、公式逆用

活动内容：

1．逆用的一组相关习题

（1）23×53;

（2）28×58

（3）（-5）16×（-2）15;（4）24×44×（-0.125）4

2．混合运算习题：

（1）a3·a4·a+（a2）4+（-2a4）2

（2）2（x3）2·x3–（3x3）3+（5x）2·x7

（3）0.25100×4100

（4）812×0.12513

六、提高练习：

1、计算：

2、已知，求的值。

3、已知求的值。

4、已知，，，试比较a、b、c的大小。

七、课堂小结：

活动内容：

师生互相交流本堂课上应该掌握的积的乘方的特征，教师对课堂上发现的学生掌握不好的地方给以强调。

特别要注意已经学习过的四种幂的运算之间的整合也是这堂课要掌握的。

八、布置作业：

完成课本习题1.6

教学反思

1.5同底数幂的除法

教学目标：

1．了解同底数幂除法的运算性质，并解决一些实际问题。

2．理解零指数幂和负指数幂的意义。

3．在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和有条理的表达能力；提高学生观察、归纳、类比、概括等能力。

4．在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心，提高数学素养。

教学重点：

会进行同底数幂的除法运算。

教学难点：

同底数幂的除法法则的总结及运用。

教学方法：

尝试练习法，讨论法，归纳法。

教学过程：

一、情境引入

活动内容：

一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

你是怎样计算的？

二、了解同底数幂除法的运算及应用

活动内容：

活动1先让学生作“做一做”：

计算下列各式，并说明理由（m>n）

从中归纳出同底数幂除法的运算性质。

从上面的练习中你发现了什么规律？

。

猜一猜：

。

三、同底数幂除法运算的应用

活动内容：

例1计算：

例2：

地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数的数字表示地震的强度是10的若干次幂。

例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是。

1992年4月荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震。

加利福尼亚地震强度是荷兰地震强度的多少倍？

（学生先想一想，再进行小组讨论，互相补充完善，并派代表回答）

四、探索零指数幂和负整数指数幂的意义

活动内容：

想一想：

10000=104，16=24

1000=10（），8=2（）

100=10（），4=2（）

10=10（），2=2（）

猜一猜：

1=10（）1=2（）

0.1=10（）=2（）

0.01=10（）=2（）

0.001=10（）=2（）

例3计算：

用小数或分数分别表示下列各数：

五、练习与提高

活动内容：

（一）基础题

1．下列计算中错误的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2．计算的结果正确的是（）

A.B.C.-aD.a

3．用科学记数法表示下列各数：

（1）0．000876

（2）-0．

（二）能力题

4．计算：

（1）

（2）

5．计算

6．若，求的的值

六、课堂小结

活动内容：

师生互相交流本节课的内容以及应用和需要注意的问题。

七、布置作业课本P24习题1.7知识技能第1，2题

教学反思

1.6整式的乘法

（一）

教学目标：

1．经历探索单项式乘法法则的过程，在具体情境中了解单项式乘法的意义，理解单项式乘法法则。

2．会利用法则进行单项式的乘法运算。

3．理解单项式乘法运算的算理，发展学生有条理的思考能力和语言表达能力。

4．体验探求数学问题的过程，体验转化的思想方法，获得成功的体验。

教学重点：

单项式乘法法则及其应用。

教学难点：

理解运算法则及其探索过程。

教学过程：

一、复习回顾

活动内容：

教师提出问题，引导学生复习幂的运算性质

问题1：

前面学习了哪三种幂的运算?

运算方法分别是什么？

让学生分别用语言和字母表示幂的三种运算性质。

问题2：

运用幂的运算性质计算下列各题：

（1）（－a5）5、

（2）（－a2b）3、

（3）（－2a）2（－3a2）3（4）（－yn）2yn-1

二、实例引入

活动内容：

提出学生身边的一个实例，引出问题：

七年级三班举办新年才艺展示，小明的作品是用同样大小的纸精心制作的两幅剪贴画，如右图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有米的空白,你能表示出两幅画的面积吗？

教师提出以下问题，引导学生对两个代数式进行分析：

问题1：

以上求矩形的面积时，会遇到，，这是什么运算呢？

学生回答：

因为因式都是单项式，所以它们相乘是单项式乘以单项式的运算。

问题2：

什么是单项式？

（表示数与字母的积的代数式叫做单项式）

引入新课：

我们知道，整式包括单项式和多项式，从这节课起我们就来研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式。

三、探索法则

活动内容：

继续引导学生分析实例中出现的算式，教师提出以下三个问题：

问题1：

对于实际问题的结果，可以表达得更简单些吗？

说说你的理由？

问题2：

类似地，3a2b·2ab3和（xyz）·y2z可以表达的更简单一些吗？

3a2b·2ab3=（3×2）（a2·a）（b·b3）=6a3b4；

问题3：

如何进行单项式与单项式相乘的运算？

单项式乘法的法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

问题4：

在你探索单项式乘法运算法则的过程中，运用了哪些运算律和运算法则？

学生回答：

运用了乘法的交换律、结合律和同底数幂乘法的运算性质。

四、及时训练

活动内容：

教师通过例题，使学生明确利用单项式乘法法则进行计算的方法。

虽然是例题，但是教师先不讲解，让学生尝试独立完成，教师根据学生遇到的问题和出现的错误，有针对性地进行讲解和板书示范。

同时教学中应通过恰当的方式让学生明确每一部运算的依据。

例1计算：

随堂练习：

1．计算：

（1）

（2）（3）

2．一种电子计算机每秒可做次运算，它工作秒，可做多少次运算？

3．一个长方体形储货仓长4×103㎝，宽3×103㎝，高5×102㎝，求这个货仓的体积。

五、拓展延伸

活动内容：

给出两个问题，让学生先独立思考解决，再交流讨论。

1．学以致用：

一家住房的结构如图示，房子的主人打算把卧室以外的部分全都铺上地砖，至少需要多少平方米的地转？

如果某种地砖的价格是a元平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？

2．讨论、探究：

六、随堂测评

活动内容：

让学生独立完成以下各题

1．计算：

①②

④⑤⑥

2．计算：

七、课堂小结：

利用乘法交换律和结合律及同底数幂的乘法探索出单项式乘以单项式的运算法则。

八、课后作业：

习题1.8

教学反思

1.6整式的乘法

（二）

教学目标：

1．在具体情境中了解单项式与多项式乘法的意义。

2．经历探索单项式与多项式乘法运算法则的过程，理解单项式乘以多项式的运算法则。

3．会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算，理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化的数学思想。

4．发展学生有条理思考的能力和语言表达能力。

5．在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，激发学习数学的兴趣。

教学重点：

单项式与多项式相乘的运算法则及应用。

教学难点：

灵活应用单项式与多项式乘法的法则。

教学过程：

一、提出问题，引入新课

活动内容：

教师依次提出以下几个问题：

1．我们本单元学习整式的乘法，整式包括什么？

2．什么是多项式？

怎么理解多项式的项数和次数？

3．整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还应包含哪些内容？

由此引入今天将学习单项式与多项式相乘。

二、借助情境，探究规律：

活动内容：

给学生提供如下问题情景，并通过问题，引导

学生积极探索，发现单项式与多项式相乘的运算规律：

1．实际问题：

如图所示，公园中有一块长mx米、宽y米

的空地，根据需要在两边各留下宽为a米、b米的两条小路，

其余部分种植花草，求种植花草部分的面积.让学生独立思考完成。

2．提出问题：

（1）你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?

是否有不同的表示方法？

其中包含了

什么运算?

与同伴交流.

一方面可以先表示出种植花草部分的长与宽，由此得到

另一方面可以用总面积减去两条小路的面积，得到：

引导学生发现两种不同的运算一方面是包含单项式与单项式乘法、再把所得的积相加，另一方面是单项式与多项式相乘，二者最终是统一的，从而发现单项式乘以多项式的方法。

（2）由上面的探索，我们得到了=，你能用所学过的知识来说明上面的等式成立的原因吗?

（3）你能用上面的方法计算吗？

请说明每一步的依据。

（4）通过以上过程，你发现如何进行单项式与多项式相乘的运算？

请你试着用语言来

描述。

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、变式训练，巩固新知

活动内容：

通过一组例题和练习，让学生在应用法则解决问题的过程中，获得解题体验，学会方法，进一步明确算理。

例1计算：

（1）

（2）

（3）（4）

例2计算：

总结：

单项式与多项式相乘的步骤：

①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；

②转化为单项式的乘法运算;

③把所得的积相加.

解题时需要注意的问题：

单项式乘多项式的积仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。

单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定，多项式中的每一项前面的符号是性质符号，同号相乘得正，异号相乘得负，最后写成省略加号的代数和的形式。

单项式要乘以多项式的每一项，不要出现漏乘现象。

混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

随堂练习：

1．判断正误：

（1）m（a+b+c+d）=ma+b+c+d（）

（2）

（）

（3）（-2x）•（ax+b-3）=-2ax2-2bx-6x（）

2．计算：

（3）（4）

（5）（6）

3．先化简,再求值：

2a（a-b）-b（2a-b）+2ab,其中a=2,b=-3.

四、延伸拓展，解决问题：

活动内容：

学生探究完成以下几个拓展题：

1．

2．求证对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都能被6整除。

五、课堂小结：

师生以谈话交流的形式共同总结本节课所学知识：

1．单项式乘以多项式的乘法法则及注意事项；

2．转化的数学思想。

六、课后作业：

习题1.9。

教学反思

1.6整式的乘法（三）

教学目标：

1．经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，在具体情境中了解多项式乘法的意义，理解多项式乘法法则。

2．会利用法则进行简单的多项式乘法运算。

3．理解多项式与多项式相乘运算的算理，发展学生有条理的思考能力和语言表达能力。

4．体验探求数学问题的过程，体验乘法分配律的作用及“整体”、“转化”的数学思想方法在解决问题过程中的应用，获得成功的体验。

教学重点：

多项式乘法法则及其应用。

教学难点：

理解运算法则及其探索过程。

教学过程：

一、情境引入

活动内容：

教师利用课前准备好的教具，让学生进行拼图游戏，通过对所拼图形面积的比较，引出多项式与多项式相乘的运算

拼图游戏：

以下不同形状的长方形卡片各有若干张，请你选取其中的两张，用它们拼成更大的长方形，尽可能采用多种拼法。

小组合作完成，教师要进行指导，小组成员分工合作，要求尽可能多地拼出不同大小的长方形，并画出图形记录不同的拼图方案。

教师注意收集整理学生所画图形，并选取以下四种典型图形加以研究，进一步提出探究问题：

问题1：

分别列代数式表示所拼出矩形的面积，你能发现什么？

说出包含什么运算？

学生活动：

独立列式

图

（1）所示的矩形面积为m（a+n）=ma+mn，所含有运算为单项式乘以多项式运算；

图

（2）所示的矩形面积为b（a+n）=ba+bn，所含运算为单项式乘以多项式运算；

图（3）所示的矩形面积为n（m+b）=mn+bn，所含运算为单项式乘以多项式运算。

图（4）所示的矩形面积为a（m+b）=am+ab，所含运算为单项式乘以多项式运算。

列代数式表示四个图形的面积时，既可以用大长方形的长乘以宽，也可以转化为每一个小长方形面积之和，因此得到以上四个等式，其中都包含单项式乘以多项式的运算，拼图游戏正是对单项式与多项式相乘的一个几何解释。

问题2：

将图1，2，3，4四个图形进一步拼摆，会得到更大的长方形，做一做，也许你会有新的发现。

学生拼出如图所示大正方形后，发现其长为（m+b），宽为（a+n），要计算其面积就是（m+b）（a+n），其中包含的运算为多项式与多项式相乘运算，从而引入新课。

二、互动探究

活动内容：

1．引导学生再次从代数运算的角度来研究所拼图形，学生会发现图5的面积既等于图1、图2面积之和，也等于图3、图4面积之和，最终都可以转化为四个小长方形面积之和。

由此得到：

（m+b）（a+n）=m（a+n）+b（a+n）=ma+mn+ba+bn,引导学生利用乘法分配律进行解释，现将其中的一个多项式看作一个整体，再运用单项式与多项式相乘的方法进行计算。

具体过程如下：

（m+b）（a+n）

=m（a+n）+b（a+n）（把a+n看作一个整体）

=ma+mn+ba+bn（转化为单项式乘以单项式）

2．教师启发学生用数学式子或用自己的语言归纳、描述多项式乘以多项式的运算法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

3．在进行多项式乘法运算的过程中运用了哪些数学思想方法？

与同伴交流。

教师帮助学生反思探究过程，体会出在以上过程中较好地运用了整体、转化和数形结合的数学思想。

三、例题解析

活动内容：

通过一组例题，让学生先独立思考尝试完成，在应用法则解决问题的过程中，获得解题体验，发现问题，学会方法，教师针对学生遇到的困难进行有针对性地讲解，进一步明确算理。

例1计算：

，

例2计算：

（2）

师生点评：

（1）用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项，不要漏乘，在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式项数之积。

（2）多项式里的