数学归纳法及其应用教案.docx
《数学归纳法及其应用教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学归纳法及其应用教案.docx(9页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
数学归纳法及其应用教案
数学归纳法及其应用
山东省惠民地区教研室王学贤
作者简历
王学贤山东潍坊人,1960年毕业于淄博师范专科学校数学系,同年留校任教,后在博兴一中任数学教师.1980年被评为中学特级教师,1988年被评为中学高级教师.现任山东惠民地区教研室副主任,山东省中学数学教学研究会副理事长.
教学目的
(1)了解归纳法的意义,培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力,进而培养学生创造性思维的能力.
(2)使学生理解数学归纳法的实质,掌握数学归纳法证题的两个步骤,会用数学归纳法证明有关自然数的命题.
教学过程
一、引入新课
师:
四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线?
你是怎样考虑的?
[提出问题,让学生在解答的过程中发现规律.]
生:
四边形、五边形、六边形分别有两条对角线、5条对角线和9条对角线.以六边形为例,每个顶点可引3条,六个顶点可引18条,但因每条对角线都计算了两次,所以六边形实际有9条对角线.
师:
n边形(n≥4)有多少条对角线?
为什么?
[由特例到一般问题的提出,符合由特殊到一般,由具体到抽象的认识过程.]
师:
这一公式适合四边形、五边形、六边形吗?
[由一般再回到特殊,特例的正确性提高了学生探索问题的积极性,增强了猜想的信心.]
生:
适合.
师:
观察等差数列的前几项:
a1=a1+0d,
a2=a1+1d,
a3=a1+2d,
a4=a1+3d,
你发现了什么规律?
试用a1、n和d表示an.
生:
an=a1+(n-1)d.
师:
像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法,叫做归纳法.用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律.但是,由归纳法得出的一般结论并不一定可靠.
例如,一个数列的通项公式是
an=(n2-5n+5)2,
请算出a1,a2,a3,a4.你能得到什么结论?
生:
由a1=1,a2=1,a3=1,a4=1,可知an=1.
师:
由an=(n2-5n+5)2计算a5.
[由a5=25≠1,否定了学生的猜想.举出反例是否定命题正确性的简单而基本的方法.]
师:
由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的.法国数学家费尔马曾由n=0,1,2,3,4得到22n+1均为质数而推测:
n为非负整数时,22n+1都是质数,但这一结论是错误的.因为数学家欧拉发现,n=5时22n+1是一个合数:
225+1=4294967297=641×6700417.
[数学史例使学生兴趣盎然,学习积极性大为提高.至此,归纳法作为一种发现规律的推理方法的教学已告结束.]
师:
既然由归纳法得到的结论不一定可靠,那么,就必须想办法对所得到的结论进行证明.对于由归纳法得出的某些与自然数有关的命题P(n),能否通过一一验证的办法来加以证明呢?
生:
不能.因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个,所以无法一个一个加以验证.
[新问题引导学生思考:
既然对于P(n0)、P(n0+1)、P(n0+2)、…的正确性无法一一验证,那么如何证明P(n)(n≥n0)的正确性呢?
至此,数学归纳法的引入水到渠成.]
二、新课
师:
我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏,由于骨牌之间特殊的排列方法,只要推倒第一块骨牌,第二块就会自己倒下,接着第三块就会倒下,第四块也会倒下,……如此传递下去,所有的骨牌都会倒下.这种传递相推的方法,就是递推.
从一个袋子里第一次摸出的是一个白球.接着,如果我们有这样的一个保证:
“当你这一次摸出的是白球,则下一次摸出的一定也是白球”,能否断定这个袋子里装的全是白球?
生:
能断定.
[为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型,帮助学生理解数学归纳法的实质.]
师:
要研究关于自然数的命题P(n),我们先来看自然数有什么性质.自然数数列本身具有递推性质:
第一个数是1;如果知道了一个数,就可知道下一个数.有了这两条,所有自然数尽管无限多,但我们就可全部知道了.类似地,我们可采用下面的方法来证明有关连续自然数的命题P(n):
先验证n取第一个值n0时命题正确;再证明如果n=k(k≥n0)时命题正确,则n=k+1时命题正确.只要有了这两条,就可断定对从n0开始的所有自然数.命题正确.这就是数学归纳法的基本思想.
[先通俗了解数学方法的基本思想,对深刻理解数学方法的实质至关重要!
]
师:
用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题P(n)的步骤是:
(1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或n0=2等)时结论成立,即验证P(n0)正确;
(2)假设n=k(k∈N,且k≥n0)时结论正确,证明n=k+1时结论正确.即由P(k)
由
(1)和
(2),就可断定命题对于从n0开始的所有自然数n都正确.
这两步实质上是证明P(n)的正确具有递推性.
(1)是递推的始点;
(2)是递推的依据.
步骤
(1)是一次验证,步骤
(2)是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程.步骤②用的是演绎推理.
由
(1)与
(2)可知,递推的过程是:
正确→…
上述无穷“链条”一环扣一环,形象地说明了用数学归纳法证明P(n)正确性的过程.
[先明确步骤,然后在运用中加深理解数学归纳法的实质.]
师:
用数学归纳法证明等差数列通项公式an=a1+(n-1)d对一切n∈N都成立.
(证明由学生完成,并得出:
师:
至此,对等差数列通项公式的“观察——猜想——证明”的研究结束.观察特例,归纳一般结论,用数学归纳法证明,这是解答有关连续自然数命题的有效途径.
下面,我们来看教材中的例题:
证明
1+3+5+…+(2n-1)=n2.
请同学们自己完成,然后将自己的证明与教材中的证明对照,如发现错误,找出错误的原因.
师:
用数学归纳法证明
1+3+5+…+(2n-1)=n2,
如采用下面的证法,对吗?
(1)n=1时,通过验证,等式成立;
(2)假设n=k时等式成立,即
1+3+5+…+(2k-1)=k2.
则
1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]
这就是说,当n=k+1时等式也成立.由
(1)和
(2),可知对任何n∈N等式都成立.
生甲:
证明是对的.
生乙:
证明方法不是数学归纳法.因为第二步证明时,未用到归纳假设.
[指出错误,并分析出错原因,是澄清学生模糊认识的有效方法.]
师:
从形式上看这种证法,用的是数学归纳法,实质上不是,因为证明n=k+1正确时,未用到归纳假设,而用的是等差数列求和公式.数学归纳法的核心,是在验证n取第一值n0正确的基础上,由P(k)正确证明P(k+1)正确.也就是说,核心是证明命题的正确具有递推性.因此,今后用数学归纳法证明时,第二步必须由归纳假设
归纳假设,是用数学归纳法证题的关键.
[教师的概括与强调,能使学生运用数学归纳法证题的思路进一步清晰和明确,不再机械地套用两个步骤,而且能深入理解实质及两个步骤之间的内在联系.]
师:
用数学归纳法证明命题的两个步骤中,仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的.那么,没有第一步行吗?
[新的问题引起学生新的思索.]
生甲:
第一步仅是验证当n取第一个值n0时结论正确.其实,这是显然的,可以省略.
生乙:
第一步是第二步递推的基础,没有第一步是不行的.
师:
让我们举一个例子来看一下:
试问等式2+4+6+…+2n=n2+n+1成立吗?
设n=k时成立,即
2+4+6+…+2k=k2+k+1,
则2+4+6+…+2k+2(k+1)
=k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1.
这就是说,n=k+1时等式也成立.若仅由这一步就得出等式对任何n∈N都成立的结论,那就错了.事实上,当n=1时,左边=2,右边=3,左边≠右边.可能有的同学已经看出,该式左边总是偶数,而右边总是奇数,因此对任何n∈N,该式都是不成立的.
因此,用数学归纳法证明命题的两个步骤,缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据.缺了第一步,递推失去基础;缺了第二步,递推失去依据,因此无法递推下去.
三、练习
四、小结
师:
本节课主要讲了数学归纳法及其应用,应掌握下列几个要点:
(1)数学归纳法证题的步骤:
①验证P(n0)成立;
②假设P(k)成立(k∈N且k≥n0),推证P(k+1)成立.
(2)数学归纳法的核心,是在验证P(n0)正确的基础上,证明P(n)的正确具有递推性(n≥n0).第一步是递推的基础或起点,第二步是递推的依据.因此,两步缺一不可.证明中,恰当地运用归纳假设是关键.
(3)数学归纳法适用的范围是:
证明某些与连续自然数有关的命题.
(4)归纳法是一种推理方法,数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想,而数学归纳法的作用是证明猜想.
(5)“观察——猜想——证明”是解答与自然数有关命题的有效途径.
五、布置作业
略.
自我评述
(1)现行中学数学教材,主要是演绎推理的体系.对定理和公式,多偏重于证明,很少研究其发现过程.本节课第一次明确介绍归纳法,应充分利用教材提供的素材,通过实例,引导学生观察,在此基础上进行归纳推理.本节课利用“观察———归纳——证明”这一思维方法解答问题.对思路进行概括,有助于培养学生发现问题、解决问题的能力,也有助于培养学生创造思维的能力.
(2)在教学中,先通过实例,形象生动地说明数学归纳法的基本思想,然后讲解数学归纳法的两个步骤,最后揭示两个步骤的内在联系,逐步深入,使学生对数学归纳法的认识由表及里,深化理解.
(3)提出反例,说明运用数学归纳法没有第二步不行;再提出反例,说明没有第一步也不行.由此得到结论:
两步缺一不可.构造反例,是否定命题正确的基本而重要的数学方法.
本节课针对学生仅从形式上运用数学归纳法的通病,设计出不用归纳假设进行论证的例子让学生找出错误的原因.这有助于学生从实质上理解数学归纳法,进而正确加以运用.
(4)教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.因此,教师应及时提出问题或引导学生发现问题,然后开拓学生思路,启迪其智慧,求得问题的解决.一个问题解决后,及时地提出新问题,提高学生的思维层次,逐步由特殊到一般,由具体到抽象,由表面到本质,把学生的思维步步引向深入,直至完成本节课的教学任务.总之,本节课的教学方法是,让学生的思维由问题开始,到问题深化,始终处于积极主动状态.思维的浪花随着问题的深入起伏跳跃.
本节课练中有讲,讲中有练,讲与练结合.在讲与练的相互作用下,使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题,先由学生自己解答,然后教师分析与概括.在教师讲解新课中,又不断提出问题让学生解答和练习,以求在练习中加深理解,尽量改变课堂上教师包办代替的做法.