解密高考高考数学人教版一轮作业函数模型及其综合应用.doc
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45分钟 满分：
100分 班级：
________ 姓名：
________ 学号：
________ 得分：
________
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2014·江西五校联考）某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利（ ）
A．25元 B．20.5元
C．15元 D．12.5元
解析：
九折出售时价格为100×（1＋25%）×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．
答案：
D
2．（2014·宁夏育才中学月考）国家规定个人稿费纳税办法是：
不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为（ ）
A．2800元 B．3000元
C．3800元 D．3818元
解析：
设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得
y＝
如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，
∴（x－800）×14%＝420，∴x＝3800.
答案：
C
3．（2014·延边质检）已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x（千米）与时间t（小时）之间的函数表达式是（ ）
A．x＝60t
B．x＝60t＋50t
C．x＝
D．x＝
解析：
到达B地需要＝2.5小时，
所以当0≤t≤2.5时，x＝60t；
当2.5＜t≤3.5时，x＝150；
当3.5＜t≤6.5时，x＝150－50（t－3.5）．
答案：
D
4．（2014·枣庄期末）在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为（ ）
A．5h B．10h
C．15h D．30h
解析：
假设一开始两种细菌数量均为m，则依题意经过x小时后，细菌A的数量是，细菌B的数量是，令，解得x＝10.
答案：
B
5．（2014·哈尔滨月考）在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？
（其中a，b为待定系数）（ ）
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
解析：
在坐标系中将点（－2,0.24），（－1,0.51），（0,1），（1,2.02），（2,3.98），（3,8.02）画出，观察可以发现这些点大约在一个指数型函数的图象上，因此x与y的函数关系与y＝a＋bx最接近．
答案：
B
6．（2014·福州二模）某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P和Q（万元），且它们与投入资金x（万元）的关系是P＝，Q＝（a＞0）．若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元，则a的最小值应为（ ）
A. B．5
C．3 D.
解析：
设对乙商品投入资金x万元，则投入甲商品的资金为（20－x）万元（0≤x≤20）．
则纯利润S（x）＝＋，
依题意应有S（x）≥5恒成立，
即＋≥5，即a≥，
由于0≤x≤20，∴的最大值为＝，
∴a≥，即a的最小值为.
答案：
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上）
7．（2014·豫南九校联考）地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝（lgE－11.4）.2008年5月12日，中国汶川发生了8.0级特大地震，而1989年旧金山海湾区域地震的震级为6.0级，那么2008年地震的能量是1989年地震能量的________倍．
解析：
据题意可知8＝（lgE1－11.4）⇒lgE1＝23.4，又6＝（lgE2－11.4）⇒lgE2＝20.4，故有lgE1－lgE2＝23.4－20.4＝3⇒lg＝3⇒＝1000，即2008年地震的能量是1989年的1000倍．
答案：
1000
8．（2014·兖州二模）一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是________．
解析：
由丙图（题图）知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水，故①正确．
由丙图（题图）知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故②错误．
由丙图（题图）知4点到6点蓄水量不变，故两个进水一个出水，故③错误．
答案：
①
9．（2014·济南统考）一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件，则月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为________（不必写出x的取值范围）．
解析：
根据题意中的等量关系，直接列出解析式：
y＝20＋2×（40－x）＝－2x＋100.
答案：
y＝－2x＋100
10．（2014·郑州质检）将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
解析：
设剪成的小正三角形的边长为x，
则：
S＝＝·（0＜x＜1）
令3－x＝t，t∈（2,3），∈（，）
则：
S＝·
＝·.
故当＝，x＝时，S的最小值是.
答案：
三、解答题（本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤）
11．（2014·东北三校联合模拟）某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y（元）是关于行李质量x（kg）的一次函数，其图象如图所示．
（1）根据图象数据，求y与x之间的函数关系式；
（2）问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克？
解：
（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
由题图可知，当x＝60时，y＝6；
当x＝80时，y＝10.
∴，解得：
.
∴y与x之间的函数关系式为y＝x－6（x≥30）．
（2）y＝x－6（x≥30）中y的值为0时，x的值为最多可免费携带行李的质量，应是函数图象与x轴交点的横坐标．
当y＝0时，x＝30.
∴旅客最多可免费携带行李的质量为30kg.
12．（2014·开封二模）某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为12.7万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为m%的管理费（即销售100元要征收m元），于是该商品每件的定价提高%，预计年销售量将减少m万件．
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成m的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元，则商场对该商品征收管理费的比率m%的范围是多少？
（3）第二年，商场在所收管理费不少于21万元的前提下，求使厂家获得最大销售金额时的m的值．
解：
（1）依题意，第二年该商品年销售量为（12.7－m）万件，每件销售价格为：
70（1＋%）＝，
∴年销售收入为（12.7－m）万元．
则商场该年对该商品征收的总管理费为
（12.7－m）m%万元．
故所求函数为y＝（12.7－m）m，
由12.7－m＞0及m＞0得其定义域为{m|0＜m＜12.7}．
（2）由y≥21得（12.7－m）m≥21，
化简得m2－13m＋30≤0，
即（m－3）（m－10）≤0，
解得3≤m≤10，
故当比率在[3%,10%]内时，商场收取的管理费将不少于21万元．
（3）第二年，当商场收取的管理费不少于21万元时，厂家的销售收入为g（m）＝（12.7－m）（3≤m≤10），
∵g（m）＝（12.7－m）＝700（10＋）为减函数，
∴g（m）max＝g（3）＝700（万元），
故当m＝3时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于21万元．
13．（2014·江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－（1＋k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？
请说明理由．
解：
（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
⇔存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．
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