《立体几何初步》测试题及答案.doc
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《立体几何初步》测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）
1.在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件
2.若∥，，则的位置关系是（）
A.异面直线B.相交直线
C.平行直线D.相交直线或异面直线
3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形
4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是
一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边
长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）
A48 B64 C96 D192
5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）
A．B．C．D．都不对
6.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）
A B C D
7.若、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）
A．若，则B．若，则
C.若，则D．若，则
G
8.如图，在正方体中，
分别为，，，的中点，则异面直线与
所成的角等于（ ）
Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°
9.已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是（）A.3B.2C.1D.0
10.平面与平面平行的条件可以是（）
A.内有无穷多条直线与平行；B.直线a//,a//
C.直线a,直线b,且a//,b//D.内的任何直线都与平行
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11.直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为
菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD
为_____，面积为______cm2．
12.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是．
A
B
C
P
13.已知直线b//平面，平面//平面，则直线b与的位置关系为.
14.正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿
15.如图，△ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有个直角三角形
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
（1）AC⊥BD；
（2）△ACD是等边三角形
（3）AB与平面BCD所成的角为60°；（4）AB与CD所成的角为60°。
其中正确结论的序号为＿＿＿＿
三、解答题（本大题共4小题，共60分）
17.（10分）如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求证：
AB⊥BC
P
A
B
C
18.（10分）在长方体中，已知，求异面直线与所成角的余弦值 。
.
P
E
D
C
B
A
19.（12分）在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，.
（1）求证：
AE∥平面PBC；
（2）求证：
AE⊥平面PDC.
20.（14分）如图，为所在平面外一点，平面，，于，于
求证：
（1）平面；
（2）平面；
（3）平面．
21.（14分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，
∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（Ⅰ）求证：
不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
《立体几何初步》测试题参考答案
1-5DDABB6-10DCBCD
11.矩形812.
13.平行或在平面内；
14.正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，
设棱长是
15.4 16.
（1）
（2）（4）
17.证明：
过A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC，得AD⊥平面PBC，故AD⊥BC，
又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB
18.连接，为异面直线与所成的角.
连接，在△中，，
则.
19.
（1）证明:
取PC的中点M,连接EM,则EM∥CD，EM=DC,所以有EM∥AB且EM=AB,则四边形ABME是平行四边形.所以AE∥BM,因为AE不在平面PBC内,所以AE∥平面PBC.
（2）因为AB⊥平面PBC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.由
（1）得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.
20.证明:
（1）∵平面，∴，∵，∴，
又∴平面.
（2）∵平面且平面，∴，又∵，且，∴平面.
（3）∵平面，∴，又∵，且，∴平面．
21.证明：
（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.
又
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴
由AB2=AE·AC得
故当时，平面BEF⊥平面ACD.
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