高中数学必修四基础详细讲义(整理了一个暑假的).wps
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第一章三角函数第一章三角函数一、任意角和弧度制一、任意角和弧度制弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。
在弧度制下，扇形弧长公式L=|R，扇形面积公式|21212RlRS，其中为弧所对圆心角的弧度数。
1弧度（1rad）57.3.题型题型1：
角度制与弧度制的互化：
角度制与弧度制的互化例1、把下列角化为弧度制：
（1）210，
（2）252，（3）155，（4）235，（5）315，（6）500例2、把下列角化为角度制：
315（），3
（2）8，53（3），3（4）10，（5）1.5，（6）2.3特殊角对应关系特殊角对应关系：
180角度030456090180270360弧度06432322题型题型2：
圆心角公式、弧长公式、扇形面积公式：
圆心角公式、弧长公式、扇形面积公式圆心角lr，弧长03602,lr，12Slr扇形212SR【注意：
公式中的角必须是弧度制】例3、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是3，求这个圆心角所对的弧长。
例4、.已知一个扇形的圆心角是120，半径为8,求它的弦长、周长和面积。
例5、已知扇形的周长为8，圆心角为2，求该扇形的半径、弧长和面积。
例6、已知扇形周长为20cm，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
例7、已知扇形的面积为S，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？
并求出此最小值.二、任意角二、任意角象限角的概念象限角的概念：
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
题型题型3：
三角函数的正负和象限角：
三角函数的正负和象限角例1、若cos0，sin0，则角的终边在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例2、已知角是第三象限角，则角-的终边在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限练习：
如果是第二象限的角，则0180是第象限角。
例3、在0到2范围内，与角43终边相同的角是（）A.6B.3C.23D.43例4、
（1）已知sin0cos0且，则是第象限角。
（2）已知sincos0，则是第象限角。
（3）已知cos0tan0且，则是第象限角。
例7、sin2cos3tan4的值是（填正数、负数、0、不存在）例8、在（0，2）内满足x2cos=cosx的x的取值范围是_例9、已知锐角终边上一点的坐标为2323sin,cos,求角=（）（A）3（B）3（C）32（D）32题型4、题型4、与与2的终边关系的终边关系：
由“两等分各象限、一二三四”确定.例1、若是第二象限角，则2是第_象限角例2、如果是第三象限的角，那么,22是第几象限角。
三、任意角的三角函数三、任意角的三角函数利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。
设P（x，y）是角终边上任一点（与原点不重合），记22yx|OP|r，则rysin，rxcos，xytan。
题型题型3：
三角函数的定义：
三角函数的定义例1、已知角的终边上一点的坐标为（2,4），求sin,cos,tan。
例2、已知角的终边上一点的坐标为（,4）x，且3cos5，求cos,tan。
例3、已知角的终边上一点的坐标为（3,4），求sin,cos,tan。
例4、已知角的终边上一点的坐标为（4,）x，且3sin5，求cos,tan。
四、同角三角函数的基本关系式四、同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
22sincos1
（2）商数关系：
sintancos题型题型5：
同角函数的基本关系式：
同角函数的基本关系式例1、已知是第二象限角，且2sin3，求cos,tan。
例2、已知是第四象限角，且3cos4，求sin,tan。
例3、已知是第三象限角，且4tan3，求sin,cos。
例4、已知是第三象限角，且1sincos5xx，求sincosxx和sincosxx的值。
例5、已知tan3x，求sincos2sincos，223sincos2sincos，22sin2cosxx练习：
已知,2tan求下列各式的值。
（1）4sin2cos5cos3sin
（2）2222sin3cos1sinsincos（3）sincos（4）22cos5cossin3sin2五、三角函数的诱导公式五、三角函数的诱导公式利用三角函数定义，可以得到诱导公式：
即2k与之间函数值的关系（kZ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。
题型题型6：
诱导公式：
诱导公式sin（）sin，cos（）cos，tan（）tan【正角正角与负角负角的转化转化】sin
（2）sink，cos
（2）cosk，tan
（2）tank【周期转化周期转化】sin（）sin，cos（）cos，tan（）tansin（）sin，cos（）cos，tan（）tan【钝角钝角转化成锐角锐角】sin（）cos2，cos（）sin2【正弦正弦与余弦转化余弦转化】例1、化简sin（300）cos5705sin3sin4805cos（）37tan4题型题型7：
用基本关系式与诱导公式化简求值：
用基本关系式与诱导公式化简求值例2、化简下列各式：
costan2tan1sin；cos）21sin（）60tan（）60sin（240tan225cos的值是例3例4、
（1）已知：
tan3，求2cos（）3sin（）4cos（）sin
（2）的值
（2）已知3sin5，是第四象限角，求tancos（3）sin（5）（3）化简sin（）sin（）（）sin（）cos（）nnnZnn例5、
（1）化简：
2sin812cos82
（2）化简cos10（tan103）sin50（3）cos40sin50（13tan10）sin701cos40；（4）21tan1sin（5）212sin10cos10cos101cos170（6）212sin190sin80cos（350）1cos170例6、化简：
（1）80cos40cos20cos.
（2）202020202020202020cos5cos15cos25cos35cos45cos55cos65cos75cos85（3）180cos.3cos2cos1cos【与其他知识综合】例7：
（1）若A、B、C分别为ABC的内角，则下列关系正确的是（）ACBAsin）sin（BACBcos）cos（CCBAtan）tan（DACBsin）sin（
（2）已知41log）sin（8，且）0,2（，则）2tan（的值为题型题型8、sincos,sincos关系问题关系问题例1已知1sincos,（,）842，求cossin的值例2已知51cossin,02xxx.（I）求sinxcosx的值；练习：
已知,51cossin,0求下列各式的值。
cossincossintan例3已知sincosm，求33sincos的值。
若1sincos2xx，则33sincos_xx例4已知：
.33cossin求：
44cossin的值练习：
若sincos1xx，则sincosnnxx的值是（）（）1A（）1B（）1C（（）D不确定例5、若sincosxxt，则sincosxx_练习：
练习：
若1（0,）,sincos2，求tan的值。
例已知为锐角，且sin2a，则sincos的值为（）1Aa（21）1Ba1Ca21Da题型9、三角函数线三角函数线特征特征是：
正弦线MP“站在x轴上（起点在x轴上）”、余弦线OM“躺在x轴上（起点是原点）”、正切线AT“站在点（1,0）A处（起点是A）”.【三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式】三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式】。
例1、若08，则sin,cos,tan的大小关系为_例2、若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_六、三角函数的图象与性质六、三角函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR,2|Zkkxx值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性22yTAxBSOMP单调性在2,222kk）（Zk上是增函数在32,222kk）（Zk上是减函数在2,2kk）（Zk上是增函数在2,2kk）（Zk上是减函数在）2,2（kk）（Zk上是增函数最值当Zkkx,22时，1maxy当Zkkx,22时，1miny当Zkkx,2时，1maxy当Zkkx,）12（时，1miny无对称性对称中心）0,（k，Zk对称轴：
2kx）（Zk对称中心）0,2（k，Zk对称轴：
kx）（Zk对称中心（,0）2k，Zk对称轴：
无注意：
单调性：
正切函数在开区间,22kkkZ内都是增函数。
但要注意在整个定义域上不具有单调性要注意在整个定义域上不具有单调性。
如下图：
题型10：
三角函数求取值范围例1、函数）3sin2lg（cos21xxy的定义域是_练习：
求函数y=xsin+lg（2cosx1）的定义域例2、102sin（）2xx在，上满足的的取值范围是练习：
（1）解不等式：
3sin（）2xxR；三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|=T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:
由y=0或y无意义确定y=Atan（x+）x3无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！
tan（）yAx三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|=T/2邻轴|x1-x2|=T/2无穷对称中心:
由y=0确确定定无穷对称轴:
由y=A或或-A确确定定y=Asin（x+）x34T邻中心轴相距sin（）yAx
（2）求出满足22cos0（）xxR的x的集合。
（3）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为知识点知识点：
奇偶性与对称性奇偶性与对称性：
正弦函数sin（）yxxR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数cos（）yxxR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ题型题型11：
判断三角函数的奇偶性：
判断三角函数的奇偶性sinyx是奇函数，cosyx是偶函数，tanyx是奇函数。
sinyAx是奇函数，cosyAx是偶函数，tanyAx是奇函数。
sinyAxB非奇非偶，cosyAxB是偶函数，tanyAxB非奇非偶。
【注意：
【注意：
sin（）yAx、cos（）yAx和tan（）yAx可能是奇函数也可能是偶函数，要先用诱导公式化简后再判断。
】例1、判断下列函数的奇偶性：
3sin2yx3sin（）22yxcos（）12yx33cos（）12yx3tan2yx3tan
（2）2yx例2、函数522ysinx的奇偶性是_、例3、函数sin
（2）（0）yx是R上的偶函数，则的值是。
例4、已知函数31f（x）axbsinx（a,b为常数），且57f（），则5f（）_七、函数七、函数xAysin的图象的图象作函数的图象主要有以下两种方法：
（1）用“五点法”作图用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设xz，由z取0，2，23，来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。
题型题型12：
用“五点作图法”画三角函数的图像：
用“五点作图法”画三角函数的图像例1、画出函数2sin
（2）3yx在一个周期内的图像。
例2、画出下列函数在一个周期内的图像：
3sin（）3yx；2cos（）4yx；4sin
（2）4yx；1cos
（2）26yx题型13、由解析式画图例3、函数yxcosx的部分图象是（）例4、函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（）yAxsin（）yAxsin（）2题型14、由图求解析式例5、函数sin（）yAx（,A为常数，0,0A）在闭区间,0上的图象如图所示，则=.例6、已知函数y=sin（x+）（0,-0时，a的方向与a的方向相同，当0；当P点在线段P1P2的延长线上时1；当P点在线段P2P1的延长线上时10；例1、若点P分AB所成的比为34，则A分BP所成的比为_3线段的定比分点公式3线段的定比分点公式：
设111（,）Pxy、222（,）Pxy，（,）Pxy分有向线段12PP所成的比为，则121211xxxyyy，特别地，当1时，就得到线段P1P2的中点公式121222xxxyyy。
题型17、定比分点例2、若M（-3，-2），N（6，-1），且1MPMN3，则点P的坐标为_例3、例3、已知（,0）,（3,2）AaBa，直线12yax与线段AB交于M，且2AMMB，则a等于七、平移公式七、平移公式：
如果点（,）Pxy按向量,ahk平移至（,）Pxy，则xxhyyk；曲线（,）0fxy按向量,ahk平移得曲线（,）0fxhyk.注意注意：
（1）
（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？
（2）
（2）向量平移具有坐标不变性，题型18、平移题型18、平移例1、例1、按向量a把（2,3）平移到（1,2），则按向量a把点（7,2）平移到点_例2、例2、函数xy2sin的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是12cosxy，则a_八、向量中一些常用的结论八、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2）|ababab，特别地，当ab、同向或有同向或有0|abab|abab；当ab、反向或有反向或有0|abab|abab；当ab、不共线不共线|ababab（这些和实数比较类似）.（3）在ABC中，若112233,AxyBxyCxy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG。
如如例1、若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_1（）3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；向量（）（0）|ACABABAC所在直线过ABC的内心（是BAC的角平分线所在直线）；|0ABPCBCPACAPBPABC的内心；（3）若P分有向线段12PP所成的比为，点M为平面内的任一点，则121MPMPMP，特别地P为12PP的中点122MPMPMP；（4）向量PAPBPC、中三终点ABC、共线存在实数、使得PAPBPC且1.如如例2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点）1,3（A,）3,1（B,若点C满足OCOBOA21,其中R21,且121,则点C的轨迹是_题型题型19、判断多边形的形状、判断多边形的形状例1.若3ABe，5CDe，且|ADBC,则四边形的形状是。
例2.已知（1,0）A，（4,3）B，（2,4）C，（0,2）D，证明四边形ABCD是梯形。
例3.已知（2,1）A，（6,3）B，（0,5）C，求证：
ABC是直角三角形。
例4、在ABC中，若0CBABBABA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B等边三角形C等腰直角三角形D直角三角形例5、在平面直角坐标系内，（1,8）,（4,1）,（1,3）OAOBOC,求证：
ABC是等腰直角三角形。
例6、平面四边形ABCD中，aAB，bBC，cCD，dDA，且addccbba，判断四边形ABCD的形状题型20：
三角形四心例1、已知ABC的三个顶点A、B、C及ABC所在平面内的一点P，若0PAPBPC则点P是ABC的（）A重心B垂心C内心D外心例2.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA,则O是三角形ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心例3、已知点O是三角形所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是三角形ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心练习、已知O，N，P在所在平面内，且，ABC,0OAOBOCNANBNC且，则点O，N，P依次是的（）（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心例4、在平面内有ABC和点O，若（）（）0ABOAOBACOCOA，则点O是ABC的A重心B垂心C内心D外心例5、已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足（）OPOAABAC,R，则动点P一定通过ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心例6、已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOA+|ABACABAC,R，则动点P一定通过ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心例7、已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOA+|cos|cosABACABBACC,R，则动点P一定通过ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心例8、已知O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足2OBOCOP+|cos|cosABACABBACC,R，则动点P一定通过ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心题型题型21.平面向量与三角函数结合题例1、已知向量（2sin,cos）42xxm，（cos,3）4xn，设函数（）fxmn求函数（）fx的解析式
（2）求（）fx的最小正周期；（3）若0x，求（）fx的最大值和最小值PAPBPBPCPCPAABC练习：
已知向）,cos,sin3（xmxa）,cos,（cosxmxb且baxf）（
（1）求函数）（xf的解析式；
（2）当3,6x时，）（xf的最小值是4，求此时函数）（xf的最大值，并求出相应的x的值练习2、.已知向量）cos,（sinAAm,）2,1（n，且0nm求Atan的值
（2）求函数）（sintan2cos）（RxxAxxf的值域例2、已知322，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为（3,0）A、（0,3）B、（cos,sin）C。
（I）若|ACBC，求角的值；（II）当1ACBC时，求22sinsin
（2）1tan的值。
例3、.cos,20,1010）sin（）2（;cossin120）cos,1（）,2,（sin.5的值求若的值和）求（），（相互垂直，其中已知平面向量ba例4、.）（sintan2cos）（）2（;tan）1（0.）,2,1（）,cos,（sin.6的值域求函数的值求且已知向量RxxAxxfAnmnAAm例5、已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.（）求函数的最小正周期；（）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.例6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足OC=1OA3+2OB3.
（1）求证:
A,B,C三点共线;
（2）求|AC|CB|的值;（3）已知A（1,cosx）,B（1+cosx,cosx）,x0,2,f（x）=OAOC-22m3|AB|的最小值为-32,求实数m的值.（cossin,sin）xxxa（cossin,23cos）xxxb（）fxab（）xRx1（,1）2（）fx（）yfx（,0）4（）fx30,5
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