名师一号高考数学人教版版一轮配套题库平面向量基本定理及其坐标运算.doc

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第二节　平面向量基本定理及其坐标运算

时间：

45分钟　分值：

75分

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4,3），＝（1,5），则等于（　　）

A．（－2,7） B．（－6,21）

C．（2，－7） D．（6，－21）

解析　＝3＝3（2－）＝6－3＝（6,30）－（12,9）＝（－6,21）．

答案　B

2．已知平面向量a＝（1,2），b＝（－2，m），且a∥b，且2a＋3b＝（　　）

A．（－2，－4） B．（－3，－6）

C．（－4，－8） D．（－5，－10）

解析　由a＝（1,2），b＝（－2，m），且a∥b，得1×m＝2×（－2）⇒m＝－4，从而b＝（－2，－4），那么2a＋3b＝2（1,2）＋3（－2，－4）＝（－4，－8）．

答案　C

3．（2014·昆明模拟）如右图所示，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C在一条直线上，且＝－3，则（　　）

A．c＝－a＋b

B．c＝a－b

C．c＝－a＋2b

D．c＝a＋2b

解析　∵＝－3，∴－＝－3（－）．

∴＝－＋，即c＝－a＋b.

答案　A

4．（2013·辽宁卷）已知点A（1,3），B（4，－1），则与向量同方向的单位向量为（　　）

A．（，－） B．（，－）

C．（－，） D．（－，）

解析　＝（3，－4），则||＝5，所以与同向的单位向量为（，－）．

答案　A

5．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（1,2），b＝（m,3m－2），且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，2）

B．（2，＋∞）

C．（－∞，＋∞）

D．（－∞，2）∪（2，＋∞）

解析　由题意知向量a，b不共线，故m≠，

解得m≠2.

答案　D

6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量＝a，＝b，则＝（　　）

A.a－b

B．－a＋b

C．－a＋b

D.a＋b

解析　根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝，则A（1,0），B（0,0），C（0,1），D，

∴＝（－1,0），＝（－1,1），＝.令＝λ＋μ，

则有得

∴＝－a＋b.

答案　B

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

7．已知向量a＝，b＝（x,1），其中x>0，若（a－2b）∥（2a＋b），则x＝________.

解析　a－2b＝，2a＋b＝（16＋x，x＋1），

由题意得（8－2x）·（x＋1）＝·（16＋x），

整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.

答案　4

8．已知n＝（a，b），向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则m的坐标为________．

解析　设m的坐标为（x，y），

由|m|＝|n|，得x2＋y2＝a2＋b2.①

由m⊥n，得ax＋by＝0.②

解①②组成的方程组得或

故m的坐标为（b，－a）或（－b，a）．

答案　（b，－a）或（－b，a）

9．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．

解析　若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．

∵＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1,2），

＝－＝（k＋1，k－2）－（1，－3）＝（k，k＋1），

∴1×（k＋1）－2k≠0，解得k≠1.

答案　k≠1

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

10．已知A（1,1），B（3，－1），C（a，b）．

（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；

（2）若＝2，求点C的坐标．

解　

（1）由已知得＝（2，－2），＝（a－1，b－1），

∵A，B，C三点共线，∴∥，

∴2（b－1）＋2（a－1）＝0，即a＋b＝2.

（2）∵＝2，∴（a－1，b－1）＝2（2，－2），

∴解得

∴点C的坐标为（5，－3）．

11．如右图，||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，⊥，设＝x＋y.求x，y的值．

解　

过C作CD∥OB，交OA的反向延长线于点D，连接BC，由||＝1，||＝，⊥，得∠OCB＝30°.又∠COD＝30°，∴BC∥OD，∴＝＋＝－2＋.∴x＝－2，y＝1.

12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝（2,1），A（1,0），B（cosθ，t），

（1）若a∥，且||＝||，求向量的坐标；

（2）若a∥，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．

解　

（1）∵＝（cosθ－1，t），

又a∥，∴2t－cosθ＋1＝0，∴cosθ－1＝2t.①

又∵||＝||，∴（cosθ－1）2＋t2＝5.②

由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1.

当t＝1时，cosθ＝3（舍去）；

当t＝－1时，cosθ＝－1.

∴＝（－1，－1）

（2）由

（1）可知t＝，

∴y＝cos2θ－cosθ＋

＝cos2θ－cosθ＋

＝＋

＝2－，

∴当cosθ＝时，ymin＝－.