导数及其应用知识点经典习题集.docx

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导数及其应用

1、函数的平均变化率为

注1：

其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：

函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:

函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景

（1）切线的斜率；

（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式

函数

导函数

不定积分

0

————————

————————

6、常见的导数和定积分运算公式:

若，均可导（可积），则有：

和差的导数运算

积的导数运算

特别地：

商的导数运算

特别地：

复合函数的导数

微积分基本定理

（其中）

和差的积分运算

特别地：

积分的区间可加性

7.用导数求函数单调区间的步骤:

①求函数f（x）的导数②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：

求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

8.求可导函数f（x）的极值的步骤：

（1）确定函数的定义域。

（2）求函数f（x）的导数（3）求方程=0的根（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值

9.利用导数求函数的最值的步骤:

求在上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求在上的极值；⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

[注]：

实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

10．求曲边梯形的思想和步骤:

分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）

11.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1

性质5若，则

①推广：

②推广:

12．定积分的取值情况:

定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

（l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

13．物理中常用的微积分知识

（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。

（2）力的积分为功。

课后练习题：

1.已知函数f（x）=ax2＋c,且=2,则a的值为（）

A.1B.C.－1 D.0

2.已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为（）

A．（x-1）3+3（x-1）B．2（x-1）2C．2（x-1）D．x-1

3.已知函数在处的导数为1，则=（）

A．3B．C．D．

4.函数y=（2x＋1）3在x=0处的导数是（）

A.0 B.1C.3 D.6

5．函数处的切线方程是 （）

A． B．C．D．

6.曲线与坐标轴围成的面积是（）

A.4B.C.3D.2

7．一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s=t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是（）

A.4s末B.8s末C.0s与8s末D.0s,4s,8s末

8.8．函数有（）A.极小值-1，极大值1 B.极小值-2，极大值3

C. 极小值-1，极大值3D.极小值-2，极大值2

9.已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从t=0到t0所走过的路程为（）A．B．C．D．

10．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）A．0.28JB．0.12JC．0.26JD．0.18J

二、填空题（共5小题，每小题5分,共25分）

11．函数的单调区间为___________________________________。

12．设函数,=9,则____________________________.

13.物体的运动方程是s=－t3＋2t2－5,则物体在t=3时的瞬时速度为______.

14.有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2.

15．,__________________.

三、解答题

16．计算下列定积分。

（1）

（2）

17.求的单调递增区间。

18.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：

达到100人的团体，每人

收费1000元。

如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多?

（不到100人不组团）

19．物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？

相遇时物体A的走过的路程是多少？

（时间单位为：

s，速度单位为：

m/s）

参考答案：

一．选择题：

1-5：

AABDD6-10：

CDCAD

二．

11.递增区间为：

（-∞，），（1，+∞）递减区间为（，1）

（注：

递增区间不能写成：

（-∞，）∪（1，+∞））

12.613.314.16

15.1，

三．16.解：

（1）=

=+

=

（2）原式===1

17.解：

由函数的定义域可知，

即

又

所以

令，得或

综上所述，的单调递增区间为（0，1）

18．解：

设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y

则依题意有

=1000x-5（x-100）x（100≤x≤180）

令得x=150

又，，

所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。

19.设A追上B时,所用的时间为依题意有

即

=5（s）

所以==130（m）