《用向量法求异面直线所成的角》教案.doc
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第一讲：
立体几何中的向量方法
——利用空间向量求异面直线所成的角
大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。
教学目标
1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法；
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求解异面直线所成的角的向量法.
教学难点
求解异面直线所成的角的向量法.
教学过程
Ⅰ、复习回顾
一、回顾有关知识：
1、两异直线所成的角：
（范围：
）
（1）定义：
过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.
（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为和，
a
b
O
问题1：
当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成
的角与和的夹角的关系？
问题2：
与的夹角大于90°时，，异面直线a、b所成的角
与和的夹角的关系？
两向量数量积的定义：
两向量夹角公式：
结论：
异面直线a、b所成的角的余弦值为
2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形）
Ⅱ、典例分析与练习
思考：
在正方体中，若与分别为、
的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？
（1）方法总结：
①几何法；②向量法
（2）与相等吗？
（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.
A
B
C
A1
B1
C1
x
y
Z
D
分析：
建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题。
步骤：
1.写出异面直线的方向向量的坐标。
2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：
如图建立空间直角坐标系，
则
，
即
和所成的角为
总结:
（1）与相等吗？
（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
点拨求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量，转化为向量所成的角。
两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是。
当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角。
练习1：
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
解：
以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设,
则A（1,0,0），B（0,1,0），F1（,0,1），D1（,,1）
所以，异面直线BD₁与AF₁所成的角的余弦值为.
练习2：
在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M是AB的中点，求对角线DB₁与CM所成角的余弦值.
解：
建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），M.
∴1＝（1，1，1），＝，
∴cos〈1，〉＝＝＝.
∴异面直线DB1与CM所成角的余弦值为.
Ⅲ、小结与收获
1、异面直线所成的角的余弦值：
；
2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤.
Ⅳ、课后练习
1、如图，在棱长为２的正方体中，E、F分别是棱的中点．
求异面直线所成的角.
2、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点.
求异面直线与所成角的余弦值．
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