普通高等学校招生全国统一考试湖北卷文科数学试题及答案版.doc

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2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，，则

A.｛－2，2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛－2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝

2.已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则＝

A.B.4C.D.2

3.已知sin2=，（0，），则sin＋cos＝

A.B.－C.D.－

4.在等比数列｛｝中，＝1，＝3，则＝

A.81B.27C.D.243

5.甲：

、是互斥事件；乙：

、是对立事件.那么

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

6.关于直线m、n与平面a、,有下列四个命题：

①若,且,则；

②若,且，则；

③若,且，则；

④若,且，则.

其中真命题的序号是

A.①、②B.③、④C.①、④D.②、③

7.设，则的定义域为

A.B.

C.D.

8.在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有

A.3项B.4项C.5项D.6项

9.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于A、B两点，点与点关于y轴对称，为坐标原点，若且，则P点的轨迹方程是

A．3﹥0,y﹥0）B.3﹥0,y﹥0）

C．（x﹥0,y﹥0）D.（x﹥0,y﹥0）

10．关于x的方程,给出下列四个命题：

①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11.在△ABC中，已知a=,b=4,A=,则＝。

12.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为。

（精确到0.01）

13.若直线y=kx+2与圆有两个不同的交点，则k的取值范围为。

14.安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是。

（用数字作答）

15.半径为r的圆的面积，周长，若将r看作（0，+）上的变量，则①

①式可用语言叙述为：

圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R的球，若将R看作（0，+）上的变量，请你写出类似于①的式子：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿②

②式可用语言叙述为。

三、解答题：

本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

设向量a=,b=,xR,函数。

（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集合。

17.（本小题满分12分）

某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。

登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。

为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定

（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。

（Ⅰ）求二面角的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求点到平面的距离。

19．（本小题满分12分）

设函数在处取得极值。

试用表示和，并求的单调区间。

20．（本小题满分13分）

设数列的前项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数。

21．（本小题满分14分）

设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且是它的右准线。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的、，证明点在以为直径的圆内。

（此题不要求在答题卡上画图）

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）参考答案

一、选择题：

本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

1．C2．D3．A4．A5．B6．D7．B8．C9．D10．A

二、填空题：

本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分25分。

11． 12．0.94 13．（0，） 14．78

15．．球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

三、解答题

16．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本知识，以及运用三角函数的图像和性质的能力。

解：

（Ⅰ）∵

∴的最大值为，最小正周期是。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即成立的的取值集合是.

17．本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。

解：

（Ⅰ）设登山组人数为，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、

50％、10％。

（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为（人）；抽取的中年人数为

50％＝75（人）；抽取的老年人数为10％＝15（人）。

18．本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。

考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：

（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，从而AMM,AMNM，所以MN为二面角，—AM—N的平面角。

又M=,MN=,

连N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。

故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。

又平面，所以AMH。

于是H平面AMN，故H即为到平面AMN的距离。

在中，H＝M。

故点到平面AMN的距离为1。

解法2：

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,

C（0,1,0）,N（0,1,）,A（），所以，

，,。

因为

所以,同法可得。

故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角

∴﹤﹥＝

故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）设n=（x,y,z）为平面AMN的一个法向量，则由得

故可取

设与n的夹角为a，则。

所以到平面AMN的距离为。

19.本小题主要考查层数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。

解：

依题意有而

故解得从而

。

令，得或。

由于在处取得极值，故，即。

（1）若，即，则当时，；

当时，；当时，；

从而的单调增区间为；单调减区间为

（2）若，即，同上可得，

的单调增区间为；单调减区间为

20.本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。

解：

（I）依题意得，即。

当n≥2时，a;

当n=1时，×-2×1-1-6×1-5

所以。

（II）由（I）得，

故=。

因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。

21．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：

（I）依题意得解得从而b=,

故椭圆方程为。

（II）解法1：

由（I）得A（-2，0），B（2，0）。

设。

点在椭圆上，。

又点异于顶点

曲三点共线可得.

从面

.

将①式代入②式化简得

>0,>0.于是为锐角,从而为钝角,故点在以为直径的圆内.

解法2：

由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设P（4，）（0），M（，），N（，），则直线AP的方程为，直线BP的方程为。

点M、N分别在直线AP、BP上，

＝（＋2），＝（－2）.从而＝（＋2）（－2）.③

联立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0.

，－2是方程得两根，（－2）．，即＝.④

又．=（－2,）．（－2,）＝（－2）（－2）＋.⑤

于是由③、④式代入⑤式化简可得

．＝（－2）.

N点在椭圆上，且异于顶点A、B，<0.

又，>0,从而．<0.

故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内.

解法3：

由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（，），N（，），则－2<<2,－2<<2.又MN的中点Q的坐标为（），

化简得－＝（－2）（－2）＋.⑥

直线AP的方程为，直线BP的方程为.

点P在准线x＝4上，

，即.⑦

又M点在椭圆上，＋＝1，即⑧

于是将⑦、⑧式化简可得－＝.

从而B在以MN为直径的圆内.