必修12湖南省益阳市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版).doc

必修12湖南省益阳市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版).doc

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2016-2017学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x|x＞2}，，则下列关系式正确的是（　　）

A．a⊆M B．a∉M C．{a}∉M D．{a}⊆M

2．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．150°

3．函数y=ax﹣2+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（　　）

A．（0，1） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，3）

4．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（　　）

A．y=x﹣1 B． C． D．y=x2﹣4x

5．设a=log23，b=log3，，则a、b、c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b

6．将正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

7．如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直底面）的正视图面积a2，则侧视图的面积为（　　）

A．a2 B． C． D．

8．下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线和两个相交平面都平行，则这两条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

9．函数的定义域为（　　）

A．（﹣1，2） B．[﹣1，0）∪（0，2） C．（﹣1，0）∪（0，2] D．（﹣1，2]

10．在空间直角坐标系Oxyz中，z轴上的点M到点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标是（　　）

A．（0，0，﹣1） B．（0，0，3） C．（0，0，） D．（0，0，﹣）

11．若PQ是圆x2+y2=9的弦，PQ的中点是（1，2），则直线PQ的方程是（　　）

A．x+2y﹣3=0 B．x+2y﹣5=0 C．2x﹣y+4=0 D．2x﹣y=0

12．已知函数f（x）=ex+e﹣x﹣2x2，则它的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

13．棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是　　．

14．若倾斜角为45°的直线m被平行线l1：

x+y﹣1=0与l2：

x+y﹣3=0所截得的线段为AB，则AB的长为　　．

15．已知a=log23，则4a+4﹣a=　　．

16．抽气机每次抽出容器内空气的50%，则至少要抽　　次才能使容器内剩下的空气少于原来的0.1%．（参考数据：

lg2=0.3010，lg3=0.4771）

三、解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知M={x|﹣2≤x≤4}，N={x|x≤2a﹣5}．

（1）若a=3，求M∩N；

（2）若M⊆N，求实数a的取值范围．

18．已知△ABC的三个顶点是A（1，1），B（﹣1，3），C（3，4）．

（1）求BC边的高所在直线l1的方程；

（2）若直线l2过C点，且A、B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．

19．已知a为实数，函数．

（1）若f（﹣1）=﹣1，求a的值；

（2）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数；

（3）若函数f（x）在其定义域上存在零点，求实数a的取值范围．

20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，VA=VB=4，AC=BC=2且AC⊥BC，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

21．已知圆C：

x2+y2+4x﹣4ay+4a2+1=0，直线l：

ax+y+2a=0．

（1）当时，直线l与圆C相较于A，B两点，求弦AB的长；

（2）若a＞0且直线l与圆C相切，求圆C关于直线l的对称圆C'的方程．

22．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f

（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．

（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？

并说明你的理由；

（2）证明：

函数f（x）=2x+x2为“可分拆函数”；

（3）设函数为“可分拆函数”，求实数a的取值范围．

2016-2017学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x|x＞2}，，则下列关系式正确的是（　　）

A．a⊆M B．a∉M C．{a}∉M D．{a}⊆M

【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．

【分析】由题意＞2，即可得出结论．

【解答】解：

由题意＞2，∴{a}⊆M，

故选D．

2．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．150°

【考点】直线的倾斜角．

【分析】设直线l的倾斜角为θ，则tanθ=，即可得出．

【解答】解：

设直线l的倾斜角为θ，则tanθ=，则θ=30°．

故选：

A．

3．函数y=ax﹣2+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（　　）

A．（0，1） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，3）

【考点】指数函数的单调性与特殊点．

【分析】根据指数函数的性质，指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点的坐标．

【解答】解：

由指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点

而要得到函数y=ax﹣2+2，（a＞0，a≠1）的图象，

可将指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象向右平移两个单位，再向上平移两个单位．

则（0，1）点平移后得到（2，3）点

故选：

D．

4．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（　　）

A．y=x﹣1 B． C． D．y=x2﹣4x

【考点】函数单调性的判断与证明．

【分析】根据常见函数的单调性判断即可．

【解答】解：

对于A，函数在（1，+∞）递减，不合题意；

对于B，函数在（1，+∞）递减，不合题意；

对于C，函数在（1，+∞）递增，符合题意；

对于D，函数在（1，+∞）递减，不合题意；

故选：

C．

5．设a=log23，b=log3，，则a、b、c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b

【考点】对数值大小的比较．

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：

∵a=log23＞1，b=log3＜0，∈（0，1），

∴b＜c＜a．

故选：

C．

6．将正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【考点】直线与平面所成的角．

【分析】当平面BAC⊥平面DAC时，取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，由此能求出结果．

【解答】解：

如图，当平面BAC⊥平面DAC时，取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，

故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，

cos∠DBE==，

∴∠DBE=45°．

故选：

B．

7．如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直底面）的正视图面积a2，则侧视图的面积为（　　）

A．a2 B． C． D．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【分析】根据俯视图为边长为a的等边三角形，求出三角形的高即为侧视图的宽，高，计算可求侧视图的面积．

【解答】解：

三棱柱的底面为等边三角形，边长为a，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，

由题意知左视图是一个高为a，宽为a的矩形，

∴三棱柱的侧视图的面积为．

故选：

B．

8．下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线和两个相交平面都平行，则这两条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．

【解答】解：

对于A，若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系不能确定，故错；

对于B，若三个点共线，则这两个平面不一定平行，故错；

对于C，设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故正确；

对于D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，故错．

故选：

C．

9．函数的定义域为（　　）

A．（﹣1，2） B．[﹣1，0）∪（0，2） C．（﹣1，0）∪（0，2] D．（﹣1，2]

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．

【解答】解：

函数，

∴，

解得，

即﹣1＜x≤2且x≠0；

∴f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，2]．

故选：

C．

10．在空间直角坐标系Oxyz中，z轴上的点M到点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标是（　　）

A．（0，0，﹣1） B．（0，0，3） C．（0，0，） D．（0，0，﹣）

【考点】空间两点间的距离公式．

【分析】根据点在z轴上，设出点的坐标，再根据距离相等，由空间中两点间的距离公式求得方程，解方程即可求得点的坐标．

【解答】解：

设z轴上到点（0，0，z），由点到点（1，0，2）和（1，﹣3，1）的距离相等，得

12+02+（z﹣2）2=（1﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（z+1）2

解得z=﹣1，所求的点为：

（0，0，﹣1）

故选A．

11．若PQ是圆x2+y2=9的弦，PQ的中点是（1，2），则直线PQ的方程是（　　）

A．x+2y﹣3=0 B．x+2y﹣5=0 C．2x﹣y+4=0 D．2x﹣y=0

【考点】直线的一般式方程．

【分析】结合圆的几何性质知直线PQ和直线OA垂直，求出PQ的斜率代入点斜式方程，再化为一般式方程．

【解答】解：

由题意知，直线PQ过点A（1，2），且和直线OA垂直，

故其方程为：

y﹣2=﹣（x﹣1），整理得x+2y﹣5=0．

故选B．

12．已知函数f（x）=ex+e﹣x﹣2x2，则它的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断求解即可．

【解答】解：

函数f（﹣x）=e﹣x+ex﹣2x2=f（x），函数是偶函数，排除A，B选项；

当x=2时，f

（2）=e2+e﹣2﹣2×22=e2+e﹣2﹣8≈﹣0.5＜0．

可知D不正确，

故选：

C．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

13．棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是　12π　．

【考点】球的体积和表面积．

【分析】由已知中棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上，我们易求出球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．

【解答】解：

∵棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上，

∴球O的直径2R等于正方体的对角线长

即2R=2

∴球O的表面积S=4πR2=12π

故答案为：

12π

14．若倾斜角为45°的直线m被平行线l1：

x+y﹣1=0与l2：

x+y﹣3=0所截得的线段为AB，则AB的长为　　．

【考点】两条平行直线间的距离；直线的截距式方程．

【分析】求出平行线l1：

x+y﹣1=0与l2：

x+y﹣3=0的距离d．倾斜角为45°的直线m与此两条平行线垂直，可得倾斜角为45°的直线m被平行线l1：

x+y﹣1=0与l2：

x+y﹣3=0所截得的线段为AB=d．

【解答】解：

平行线l1：

x+y﹣1=0与l2：

x+y﹣3=0的距离d==．

∴倾斜角为45°的直线m与此两条平行线垂直，因此被平行线l1：

x+y﹣1=0与l2：

x+y﹣3=0所截得的线段为AB=．

故答案为：

．

15．已知a=log23，则4a+4﹣a=　　．

【考点】对数的运算性质．

【分析】由a=log23，可得4a==9，4﹣a=．即可得出．

【解答】解：

∵a=log23，∴4a==9，4﹣a=．

则4a+4﹣a=，

故答案为：

．

16．抽气机每次抽出容器内空气的50%，则至少要抽　10　次才能使容器内剩下的空气少于原来的0.1%．（参考数据：

lg2=0.3010，lg3=0.4771）

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】设原空气为a，至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%．则a（1﹣50%）n＜0.1%a，由此能求出结果．

【解答】解：

设原空气为a，至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%．

则a（1﹣50%）n＜0.1%a，即0.5n＜0.001，

两边取常用对数得n•lg0.5＜lg0.001，

∴n＞=≈9.97．

∴至少需要抽10次．

故答案为：

10．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知M={x|﹣2≤x≤4}，N={x|x≤2a﹣5}．

（1）若a=3，求M∩N；

（2）若M⊆N，求实数a的取值范围．

【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．

【分析】

（1）当a=3时，求出N，由此利用交集定义能求出M∩N．

（2）由M⊆N，利用子集性质得到2a﹣5≥4，由此能求出实数a的取值范围．

【解答】（本小题满分10分）

解：

（1）∵M={x|﹣2≤x≤4}，N={x|x≤2a﹣5}．

∴当a=3时，N={x|x≤1}，…

∴M∩N={x|﹣2≤x≤4}∩{x|x≤1}={x|﹣2≤x≤1}．…

（2）∵M⊆N，∴2a﹣5≥4，

解得，

∴实数a的取值范围为．…

18．已知△ABC的三个顶点是A（1，1），B（﹣1，3），C（3，4）．

（1）求BC边的高所在直线l1的方程；

（2）若直线l2过C点，且A、B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【分析】

（1）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．

（2）利用斜率计算公式、中点坐标公式、点斜式即可得出．

【解答】解：

（1）∵，==﹣4，…

∴直线l1的方程是y=﹣4（x﹣1）+1，即4x+y﹣5=0．…

（2）∵直线l2过C点且A、B到直线l2的距离相等，

∴直线l2与AB平行或过AB的中点M，

∵，∴直线l2的方程是y=﹣（x﹣3）+4，即x+y﹣7=0，…

∵AB的中点M的坐标为（0，2），

∴，∴直线l2的方程是，即2x﹣3y+6=0，

综上，直线l2的方程是x+y﹣7=0或2x﹣3y+6=0．…

19．已知a为实数，函数．

（1）若f（﹣1）=﹣1，求a的值；

（2）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数；

（3）若函数f（x）在其定义域上存在零点，求实数a的取值范围．

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】

（1）利用函数的解析式，直接求解即可．

（2）利用奇函数的定义转化求解即可．

（3）利用函数的值域，求解函数的零点，然后推出结果．

【解答】（本小题满分12分）

解：

（1）∵f（﹣1）=﹣1，∴，解得：

a=3；…

（2）令f（﹣x）=﹣f（x），则．即存在a=2使得f（x）为奇函数；…

（3）令f（x）=0得a=2x+1，

函数f（x）在其定义域上存在零点，即方程a=2x+1在R上有解，

所以a∈（1，+∞）．…

20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，VA=VB=4，AC=BC=2且AC⊥BC，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

【分析】

（1）推导出OM∥VB，由此能证明VB∥平面MOC．

（2）推导出CO⊥AB，从而CO⊥平面VAB，由此能证明平面MOC⊥平面VAB．

（3）三棱锥V﹣ABC的体积VV﹣ABC=VC﹣VAB，由此能求出结果．

【解答】（本小题满分12分）

证明：

（1）∵O，M分别为AB，VA的中点，

∵OM∥VB，

又VB⊄平面MOC，MO⊂平面MOC，

∴VB∥平面MOC．…

（2）∵AC=BC，且O是AB的中点，

∴CO⊥AB

又平面VAB⊥平面ABC，

∴CO⊥平面VAB，

又CO⊂平面MOC，

∴平面MOC⊥平面VAB．…

解：

（3）∵AC⊥BC，且AC=BC=2，

∴，

连VO，又VA=VB=4，所以，

由

（2）知：

CO⊥平面VAB，

∴三棱锥V﹣ABC的体积：

．…

21．已知圆C：

x2+y2+4x﹣4ay+4a2+1=0，直线l：

ax+y+2a=0．

（1）当时，直线l与圆C相较于A，B两点，求弦AB的长；

（2）若a＞0且直线l与圆C相切，求圆C关于直线l的对称圆C'的方程．

【考点】直线和圆的方程的应用．

【分析】

（1）求出圆的圆心C与半径，利用圆心到直线l的距离，半径半弦长满足的勾股定理，求解弦长即可．

（2）将y=﹣ax﹣2a代入圆C的方程化简，利用判别式为0，求出a，然后求解对称圆的方程即可．

【解答】（本小题满分12分）

解：

（1）∵圆C：

，又，

∴圆心C为（﹣2，3），直线l：

3x+2y+6=0，…

圆心C到直线l的距离，…

所以．…

（2）将y=﹣ax﹣2a代入圆C的方程化简得：

（1+a2）x2+4（1+2a2）x+16a2+1=0（*），

∴△=[4（1+2a2）]2﹣4（1+a2）（16a2+1）=4（3﹣a2）=0，

∵a＞0，∴，…

∴方程（*）的解，∴切点坐标为（，），…

根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点，故圆C′的坐标

为（﹣5，），…

∴圆C'的方程为：

．…

22．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f

（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．

（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？

并说明你的理由；

（2）证明：

函数f（x）=2x+x2为“可分拆函数”；

（3）设函数为“可分拆函数”，求实数a的取值范围．

【考点】抽象函数及其应用．

【分析】

（1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x0，使得，即，判断此函数是否有解即可得出．

（2）令h（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f

（1），则h（x）=2x+1+（x+1）2﹣2x﹣x2﹣2﹣1=2（2x﹣1+x﹣1），又h（0）=﹣1，h

（1）=2，故h（0）•h

（1）＜0，所以h（x）=0在上有实数解x0，也即存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f

（1）成立，即可证明．

（3）因为函数为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得=+，=×且a＞0，所以，=，换元利用单调性即可得出．

【解答】解：

（1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x0，使得，…

即，而此方程的判别式△=1﹣4=﹣3＜0，方程无实数解，

所以，f（x）不是“可分拆函数”．…

（2）证明：

令h（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f

（1），

则h（x）=2x+1+（x+1）2﹣2x﹣x2﹣2﹣1=2（2x﹣1+x﹣1），

又h（0）=﹣1，h

（1）=2，故h（0）•h

（1）＜0，

所以h（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f

（1）=0在上有实数解x0，

也即存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f

（1）成立，

所以，f（x）=2x+x2是“可分拆函数”．…

（3）因为函数为“可分拆函数”，

所以存在实数x0，使得=+，=×且a＞0，

所以，=，

令，则t＞0，所以，a=，

由t＞0得，即a的取值范围是．…

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