第二章-基本初等函数教案及同步练习.doc
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第二章基本初等函数
本章承袭第一章，包含三类基本函数，在学习过程中，会用到第一章所学的函数的性质。
本章所包含的三类函数，定义域又有了新的限制条件，图像也各有不同，在解题过程中，同学们一定要习惯去画图。
第一部分指数函数
一、知识梳理
1.根式及相关概念
（1）：
如果________________，那么
（2）
当______________，.
当______________，.
（3）根式
式子_______________叫做根式，这里叫做_______________，叫做______________.
2.根式的性质
（1）_________，
（2）____________，
（3）______________，其中为大于1的奇数.
（4）_____________=,其中为大于1的偶数.
3.分数指数幂的意义
（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：
_____________，
（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：
_____________=______________，
（3）0的正分数指数幂等于_____________，0的负分数指数幂_______________.
4.有理数指数幂的运算性质
（1）____________，；
（2）_____________，；
（3）_____________，（.
5.无理数指数幂
无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂适用
【分析考向】
考向一：
指数式与根式运算问题
指数幂的化简与求值的原则及结果要求
1．化简原则
（1）化负指数为正指数；
（2）化根式为分数指数幂；（3）化小数为分数；（4）注意运算的先后顺序．
2．结果要求
（1）若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；
（2）若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；
（3）结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂.
专题一指数与指数幂的运算
[例1]
（1）
（2）（3）
[例2]已知，将化为分数指数幂的形式为________.
[例3]化简下列各式：
（1），其中，.
（2）（3）
[例4]计算.
巩固练习：
1.有下列四个命题：
其中正确的个数是（）
①正数的偶次方根是一个正数；②②正数的奇次方根是一个正数；
⑤负数的偶次方根是一个负数；④④负数的奇次方根是一个负数。
A.0B.1C.2D.3
2.给出下列4个等式：
①；②；③；④。
其中不一定正确的是（）
A.①B.②C.③D.④
3.化简，结果是（）
A.B.
C.D.
4.
（1）的平方根是.
（2）=_________.
5.若满足,则的值为.
6..
7.化简下列各式（其中各字母均为正数）．
（1）
（2）
（2）（4）
专题二比较大小
[例1]已知，，，则a,b,c三个数的大小关系是（）
A.B.C.D.
[例2]比较与的大小．
[例3]比较与（，且）的大小．
巩固练习：
1.已知a>b,ab下列不等式
（1）a2>b2,
（2）2a>2b,（3）,（4）a>b,（5）（）a<（）b中恒成立的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.若，则的取值范围为_________．
3.设，，，则（）
A. B.
C. D.
4.比较与的大小.
5.、、这三个数的大小关系为（）
A.B.C.D.
专题三指数式的化简求值
[例1]已知求的值。
[例2]已知，且。
求的值。
[例3]已知，求下列各式的值。
（1）
（2）（3）
巩固练习：
1.已知，求的值。
2.已知，求的值．
3.已知，且，求证：
.
专题四指数函数
4．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，＋∞）
性质
过定点（0,1）
单调性
x＜0时，0＜y＜1
x＜0时，y＞1.
在（－∞，＋∞）上是减函数
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＞0时，y＞1；
在（－∞，＋∞）上是增函数
【注1】当底数没有确定又涉及函数的单调性问题时，要对指数函数和对数函数的底或进行讨论。
【注2】第一象限中,指数函数底数与图象的关系
类型一指数函数的定义
1.下列函数中指数函数的个数是（）
①；②；③；④
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.是指数函数，则的值为.
类型二指数函数过定点问题
1.指数函数恒过点______.
2.指数函数的图象过点,则______.
3.函数恒过定点.
类型三指数函数的单调性
[例1]讨论函数的单调性，并求其值域。
[例2]讨论函数的单调性，并求其值域。
[例3]讨论函数的单调性。
[例4]若函数且在上的最大值为14,求a的值.
巩固练习：
1.求下列函数的单调性：
（1）
（2）
（3）（4）
2.已知，求函数的最大值和最小值。
3.已知，求的最小值与最大值。
类型四利用单调性解不等式
[例1]不等式6<1的解集是.
[例2]设，解关于的不等式.
巩固练习：
1.已知，求函数的值域．
2.设有两个函数与，要使，求、的取值范围．
类型五利用指数函数解方程
1.解方程.
2.若，则的值是_____.
3.满足的的值的集合是__________．
类型六指数型函数的奇偶性
[例1]已知且，，则是（）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关
[例2]已知函数是奇函数，则当时，，求当时的解析式。
巩固练习：
1.若函数是奇函数，求的值．
2.已知是定义在上的奇函数,且时，，求函数的解析式并画出其图像。
3.设是实数，
（1）试证明：
对于任意，在上位增函数
（2）试确定的值，使为奇函数。
类型七指数函数综合题型
1.设，
求：
（1）的值；
（2）的值．
2.已知函数，
（1）判断奇偶性，
（2）求函数的值域，
（3）证明是区间上的增函数.
3.已知函数
（1）求的定义域；
（2）讨论的奇偶性；
4.已知，
求：
（1）判断函数奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性。
5.某合资企业1994年的产值达2万美元，1999年的产值达64万美元，求平均每年增长的百分率是多少?
四、课时精炼
1.下列一定是指数函数的是（）
A.形如的函数B.
C.D.
2.指数函数的图象如图，
则分别对应于图象C1,C2,C3,C4的的值为（）
A.B.
C.D.
3.已知指数函数的图象过点（1，2），则它在区间[1，2]上的最大值为（）
A.1B.2C.3D.4
4.四个数从小到大的排列顺序为.
5.函数的定义域为_______________，值域为__________________.
6.函数在区间[-1,1]上最大值与最小值的差为1，求的值
五、课时精炼
1.函数x
A
1
o
y
x
B
1
o
y
x
C
o
y
1
x
D
o
y
y=（>1）的图象是 （ ）
2.函数的单调增区间是 （ ）
A. B. C. D.
3.已知,若>1,,则0的取值范围为（）
A.（-1,1） B.C.D.∪
4.函数y=5与y=5图象关于对称，函数y=5图象关于___对称。
5.函数+m不过第二象限，则m的取值范围是____.
6.在同一直角坐标系中分别作出下列各函数的图象，并比较它们之间的关系：
（1）y=2;
（2）y=2;（3）y=2
五、课时反思
本节我们学习了指数函数的图象以及有关的一些性质，需要注意的是：
1.指数函数定义的特点：
只有形如的函数才是指数函数，其特点是：
（1）；
（2）.
2.指数函数的单调性：
应用指数函数的单调性时，要首先讨论底数与1的关系，
3.比较几个幂的大小，可将它们与0比较，分出正负数；正数与1比较，分出大于1和小于1的两类；在以上两类中在进行比较，对于底数相同、指数不同的两个幂，可以利用指数函数的单调性进行判断；对于指数相同、底数不同的两个幂，可以利用不同底的指数函数图像在象限内的分布规律进行判断；若底数与指数都不同，则可以通过寻找第三个数，对两个数进行比较大小.
4.根据指数函数的定义域为R，值域为（0，+∞），结合前一章求函数定义域和值域的方法，可以求一些简单函数的定义域和值域，在求解过程中要注意正确运用指数函数的单调性。
在求值域问题时，既要考虑指数函数的单调性，又要注意指数函数的值域为（0，+∞）
第二部分对数函数
一、对数的概念
一般地，如果的b次幂等于N,就是，那么数b叫做以a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数
二、对数的运算性质
1.；
2.；
3.；
4.换底公式：
（a>0,a¹1；）.
5.两个常用的推论：
（1）；
（2）（、且均不为1）．
6.常用的结论：
（1），
（2）.
（3）对数恒等式:
如果把中的b写成,则有.
三、常用对数
1.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数简记作lgN例如：
简记作lg5;简记作lg3.5.
2.自然对数：
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN
四、对数函数
1.对数函数的定义：
函数叫做对数函数，定义域为．
2.对数函数的图像
通过列表、描点、连线作与的图象：
总结：
根据图像可知与的图象是关于轴对称。
3.在同一坐标系中画出下列对数函数的图象。
（1）
（2）
（3）
（4）
3.对数函数的性质
由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
定义域：
（0，+∞）
值域：
R
过点（1，0），即当x=1时，y=0
时，
时，
时，
时，
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
专题一对数与指数的换算
1.对数式与指数式的转化：
（1）
（2）（3）
专题二对数的运算性质
1.求下列各式的值：
（1）log26－log23
（2）lg5＋lg2
（3）log53＋log5（4）log35－log315
2.
（1）求的值.
（2）求证：
.
巩固练习：
（1）计算.
（2）已知，求：
（用a,b表示）.
3.计算
（1）_____；
（2）_____；（3）_____.
巩固练习：
（1）；
（2）．
4.化简
（1）_____；
（2）_____；（3）=_____；（4）_____（）；
（5）_____.
专题三对数函数的综合运算
[例1]计算：
（1）lg14-2lg+lg7-lg18
（2）
巩固练习：
（1）；
（2）（lg5）2＋lg2·lg50.
[例2]计算：
（1）；
（2）．
巩固练习：
求值：
（1）；
（2）lg25+lg2·lg50+（lg2）2.
[例3]已知，，用a,b表示.
[例4]若，，求．
[例5]计算：
．
[例6]若，求．
[例7]已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－（lga）x－（1＋lga）＝0有两个相等的实数根，求实数a，b和m的值．
[例8]计算：
.
[例9]设，求证：
．
巩固练习：
1.已知2x＝3y，则＝（）
A. B. C.lg D.lg
2.若lg2＝a，lg3＝b，则log512=_____.
3.求值：
（1）；
（2）；（3）.
4.已知，，求（用a,b表示）．
5.已知3a＝5b＝M，且＋＝2，求M的值.
6.计算：
（1）
（2）
7.若、是方程的两个实根，求：
的值.
对数函数典例精讲
例1.求下列函数的定义域：
（1）；
（2）
活学活用1:
求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
例2.设则（）
A.B.C.D.
活学活用2：
设则（）
A.B.C.D.
例3.解不等式
活学活用3：
已知，求的取值范围.
四、课时精炼
1.若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（）
A.B.C.或D.不确定
2.函数的定义域为（）
A.（1，4]B.（1,4）C.[1,4]D.[1,4）
3.已知，下列四组函数中表示相等函数的是（）
A.B.
C.D.
4.函数的值域为_____________________.
5.函数的取值范围是_____________________.
6.函数[0，1]上的最大值与最小值之和为的值.
五、课时精炼
1.函数与，下列说法不正确的是（）
A.两者的图象关于直线对称
B.前者的定义域和值域分别是后者的值域和定义域
C.两函数在各自的定义域内增减性相同
D.的图象经过平移可得的图象
2.下列函数在上为增函数的是（）
A.B.
C.D.
3.函数为（）
A.奇函数，在区间（0，+∞）上是减函数；
B.奇函数，在区间（0，+∞）上是增函数；
C.偶函数，在区间（-∞,0）上是增函数；
D.偶函数，在区间（-∞，0）上是减函数.
4.函数的单调增区间是
5.,则
6.已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）讨论函数的奇偶性；
（3）讨论函数的单调性.
五、课时反思
本节课我们主要学习了对数函数的图象与一些性质，需要注意的是：
1.求于对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下的要求：
一是要特别注意真数大于0；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式.
2.解对数不等式时，要注意：
真数大于0，底数大于0且不等于1，然后借助于对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后与定义域取交集即得原不等式的解集.底数中若含有参变量时，一定要注意底数大于0且不等于1；同时要注意与1大小的讨论.
3.比较对数值的大小，常用的方法有：
（1）底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；
（2）底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；（3）底数与真数都不同，需寻求中间值比较.
第三部分幂函数
一、知识梳理
幂函数定义：
对于形如：
，其中为常数.叫做幂函数
定义说明：
定义具有严格性，系数必须是1，底数必须是，取值是R。
《考试标准》要求掌握α=1、2、3、½、-1五种情况。
习题：
定义应用
1、下列函数是幂函数的是______
①②③④⑤
2、若幂函数的图像过点，则函数的解析式为______.
3、已知函数是幂函数，且经过原点，则实数的值为__________.
二、幂函数的图象
幂函数的图像是由决定的，可分为五类：
1）时图像是竖立的抛物线.例如：
2）时图像是一条直线.即
3）时图像是横卧的抛物线.例如
4）时图像是除去（0,1）的一条直线.即（）
具备规律:
①在第一象限内x=1的右侧：
指数越大，图像相对位置越高（指大图高）
②幂指数互为倒数时，图像关于y=x对称
③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像
三、幂函数的性质
幂函数中，当时性质如下表所示：
结合以上特征，得幂函数的性质如下：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点（1，1）；
（2）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数；
（3）如果a>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；
（4）如果a<0，则幂函数在区间上是减函数。
习题：
图象及性质应用
1、右图为幂函数在第一象限的图像,则的大小关系是 （）
x
O
y
2、如图：
幂函数（、，且、互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （）
、为奇数且
为偶数，为奇数，且
为偶数，为奇数，且
奇数，为偶数，且
3、比较下列各组数的大小：
（1），，；
（2），，；（3），，．
三、例题精讲
例1.当（0，+∞）时，幂函数为减函数，求实数的值.
活学活用1：
当（0，+∞）时，幂函数为增函数，求函数的解析式.
例2.求下列函数的定义域和值域：
（1）；
（2）
活学活用2：
（1）试求函数的定义域、值域、单调性，并画出草图；
（2）问上述函数与函数的图象有何关系？
例3.比较下列各组数中两个数的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与.
活学活用3：
比较下列各组数的大小：
（1）
（2）
（3）（4）
练习
1、数的定义域是（）
A[0，+∞]B（—∞，0）C（0，+∞）DR
2、数的图象是（）
yyyy
OxOxOxOx
3、下列函数中是偶函数的是（）
ABCD
4、幂函数，其中m∈N，且在（0，+∞）上是减函数，又，则m=
A0B1C2D3（）
5、若幂函数的图象在0Aa<1Ba>1C06、列结论中正确的个数有（）
（1）幂函数的图象一定过原点
（2）当a<0时.,幂函数是减函数，
（3）当a>0时，幂函数是增函数（4）函数既是二次函数，又是幂函数
A0B1C2D3
7、若x∈（8，10），则化简得（）
A2x-18B2C18-2xD-2
8、个数，，的大小顺序是
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