1990年全国高考理科数学试题.doc
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一九九０年全国高考数学试题
理科试题
一．选择题：
本题共15个小题;每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后的圆括号内。
（1）方程的解是
（A）（B）（C）（D）
（2）把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是
（A）（B）
（C）（D）
（３）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于
（A）（B）（C）（D）
（4）方程在区间内的解的个数
（A）1（B）2（C）3（D）4
Y
1
OX
（5）已知右图是函数图像，那么
（A）（B）
（C）（D）
（6）函数的值域是
（A）{-2,4}（B）{-2,0,4}（C）{-2,0,2,4}（D）{-4,-2,0,4}
（7）如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于y=x对称，那么
（A）（B）（C）（D）
（8）极坐标方程表示的曲线是
（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线
（9）设全集，集合，
那么等于
（A）（B）{（2,3）}（C）（2，3）（D）{（x,y）|y=x+1}
（10）如果实数x,y满足等式（x-2）2+y2=3，那么的最大值是
（A）（B）（C）（D）
A
B
F
S
E
C
（11）如图，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角等于
（A）900（B）600（C）450（D）300
（12）已知h＞0，设命题甲为：
两个实数a,b满足|a-b|＜2h；命题乙为：
两个实数a,b满足
|a-1|＜h且|b-1|＜h.那么
（A）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
（B）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
（C）甲是乙的充要条件
（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
（13）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有
（A）24种（B）60种（C）90种（D）120种
（14）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有
（A）70个（B）64个（C）58个（D）52个
（15）设函数的图像沿x轴正方向平移2个单位所得到图象为C。
又设图象与C关于原点对称，那么所对应的函数是
（A）（B）
（C）（D）
二．填空题：
本大题共5小题，每小题3分，共15分。
把答案填在题中横线上。
（16）双曲线的准线方程____________
（17）（x-1）-（x-1）2+（x-1）3-（x-1）4+（x-1）5的展开式中，x2的系数等于__________
（18）已知是公差不为零的等差数列，如果的前n项的和，那么等于___________。
（19）函数的最大值是___________。
C1
A1B1
V1
FC
AB
E
（20）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:
V2=_____
三．解答题：
本大题共6小题，共60分.
（21）（本小题满分10分）
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12。
求这四个数。
（22）（本小题满分8分）
已知的值。
（23）（本小题满分8分）
如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC。
DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E。
又SA=AB，SB=BC。
求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数
D
E
C
B
A
S
（24）（本小题满分12分）
设a≥0，在复数集C中解方程z2+2|z|=a.
（25）（本小题满分10分）
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上点的最远距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。
（26）（本小题满分12分）
设，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2。
（Ⅰ）如果f（x）当时有意义，求a的取范围;
（Ⅱ）如果，证明：
2f（x）一九九０年全国高考数学试题
理科试题参考答案
一．选择题
1—5.ABDCC6—10.BADBD11—15.CBBCD
二．填空题：
16.答案：
17.答案：
-20
18.答案：
219.答案：
20.答案：
7:
5
三．解答题：
21.解：
设四个数依次为a-d,a,a+d,
依题意，有
由
（2）式得d=12-2a（3）
将（3）代入
（1）式得
从而得所求四个数为0,4,8,16.或15,9,3,1.
22.解：
由已知得
两式相除得
所以
23.解：
由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE。
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，
∴SC⊥面BDE，∴SC⊥BD
又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD而SC∩SA=S
∴BD⊥面SAC∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC。
∴∠EDC是所求的二面角的平面角
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC。
设SA=a，则AB=a，BC=SB=a又因为AB⊥BC，所以AC=a
在Rt△SAC中，
∴∠ACS=300
又已知DE⊥SC，所以∠EDC=600。
即所求的二面角等于600。
24.解：
设z=x+yi，代入方程得
于是原方程等价于方程组
由
（2）式得y=0或x=0.由此可见，若原方程有解，则其解或为实数，或为纯虚数。
下面分别加以讨论。
情形1.若y=0，即求原方程的实数解z=x.此时，
（1）式化为
（3）
（Ⅰ）令x＞0，方程（3）变为（4）
解方程（4）得
由此可知：
;当a＞0时，方程（4）有正根
（Ⅱ）令x＜0，方程（3）变为（5）
解方程（5）得
由此可知：
当a=0时，方程（5）无负根;当a＞0时，方程（5）有负根
（Ⅲ）令x=0，方程（3）变为0=a.（6）
由此可知：
当a=0时，方程（6）有零根x=0;当a＞0时，方程（6）无零解。
所以，原方程的实数解是：
当a=0时，z=0;
当a＞0时，
情形2.若x=0，由于y=0的情形已讨论，现在只需考查y≠0的情形，即求原方程的纯虚数解z=yi（y≠0）。
此时，
（1）式化为
（7）
（Ⅰ）令y＞0，方程（7）变为即（8）
由此可知：
当a＞1时，方程（8）无实根
当a≤1时解方程（8）得
从而，当a=0时，方程（8）有正根y=2;
当0＜a≤1时，方程（8）有正根
（Ⅱ）令y＜0，方程（7）变为即（9）
由此可知：
当a＞1时，方程（9）无实根
当a≤1时解方程（9）得
从而，当a=0时，方程（9）有负根y=-2;
当0＜a≤1时，方程（9）有负根
所以，原方程的纯虚数解是：
当a=0时，z=2i;
当0＜a≤1时，
而当a＞1时，原方程无纯虚数解。
25.解：
根据题设条件，可设椭圆的参数方程是
Y
P
b
a
OX
设椭圆上的点（x,y）到点P的距离为d，则
如果则当（从而d）有最大值，由题设得矛盾。
因此必有（从而d）有最大值，由题设得由此可得b=1,=2.
所求椭圆的参数方程是由可得，椭圆上的点（），点（）到点P的距离都是。
26.（Ⅰ）解：
f（x）当时有意义的条件是
从而它在x=1时取得最大值
因此，
（1）式等价于
也就是a的取值范围为
（Ⅰ）证明：
2f（x）于是其中等号当且仅当
a1=a2=…=an时成立（即为柯西不等式）
利用上面结果知，当a=1，x≠0，因1≠2x，所以有
即有2f（x）（注：
也可由数学归纳法证明）
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