b必修5数列求和方法技巧ok.doc

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数列求和的基本方法和技巧

1．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。

而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。

因此要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。

2．纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。

常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。

3．数列的应用极其广泛，因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也有可能是数列与概率交汇。

4．数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。

一、利用常用求和公式求和

1.等差数列求和：

2、等比数列求和：

3.4、5.

[例1]已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求.

解：

当x=1时，；当x≠1时，为等比数列，公比为x；

由等比数列求和公式得＝（利用常用公式）

练习1.已知数列的通项公式为，为的前n项和，

（1）求；

（2）求的前20项和。

二、错位相减法求和：

该方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

[例2]求和：

………（）

解：

当x=1时，

当x≠1时，……………….①

①式两边同乘以x得……②（设制错位）

①②得（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

练习2.求数列前n项的和.

三、反序相加法求和：

即将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例3]求证：

证明：

设…………………………..①

把①式右边倒转过来得（反序）

又由可得…………..②

①+②得（反序相加）

∴

练习3.求的值

四、分组法求和：

用于既非等差数列，也非等比数列，其数列可分为几个等差、等比或常见的数列，形如：

的形式，其中{an}、{bn}是等差数列、等比数列或常见的数列.

[例4]求数列的前n项和：

，…

解：

设

将其每一项拆开再重新组合得（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝

练习4.求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和.

五、裂项法求和：

实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）（4）=－

（5）（6）

（7）（8）

（9）

[例5]求数列的前n项和.

解：

设（裂项）

则

＝＝列项求和

练习5.①在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

①求证：

六、合并法求和：

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质.

[例6]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.

解：

设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵（找特殊性质项）

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）

+···+（cos89°+cos91°）+cos90°＝0（合并求和）

练习6.在各项均为正数的等比数列中，若的值.

七、利用数列的通项求和：

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例7]求之和.

解：

由于（找通项及特征）

∴

＝（分组求和）

＝

＝＝

【巩固练习】7.已知数列{an}：

的值.