北京市西城区高三一模理科数学试题word版含答案.docx
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2017年4月西城区高三一模
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集，集合，，那么
（A）
（B）
（C）
（D）
2．在复平面内，复数的对应点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
3．函数的最小正周期是
（A）
（B）
（C）
（D）
4．函数的零点个数为
（A）
（B）
（C）
（D）
5．在中，点满足，则
（A）
（B）
（C）
（D）
6．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小
正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为
（A）（B）
（C）（D）
7．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
8．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为，则的最大值为
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在的展开式中，的系数为____．（用数字作答）
10．设等比数列的前项和为．若，，则____；____．
11．执行如右图所示的程序框图，输出的值为____．
12．曲线（为参数）与直线相交于两点，
则____．
13．实数满足，．若，则的取值范围是____．
14．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动．
平面区域由所有满足的点组成，则的面积是____；四面体的
体积的最大值是____．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△中，角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
16．（本小题满分14分）
如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）若平面与棱交于点，求的值．
17．（本小题满分13分）
在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．
现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4
（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
18．（本小题满分13分）
已知函数．设为曲线在点处的切线，其中．
（Ⅰ）求直线的方程（用表示）；
（Ⅱ）设为原点，直线分别与直线和轴交于两点,求△的面积的最小值．
19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点．，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，为椭圆上一点，的中点为．直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点．求证：
．
20．（本小题满分13分）
如图，将数字全部填入一个行列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为，第二行填入的数字依次为．
记．
（Ⅰ）当时，若，，，写出的所有可能的取值；
（Ⅱ）给定正整数．试给出的一组取值，使得无论填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；
（Ⅲ）求证：
对于给定的以及满足条件的所有填法，的所有取值的奇偶性相同．
西城区高三一模
数学（理科）参考答案及评分标准
2017.4
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．A2．A3．B4．C
5．D6．C7．A8．C
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．10．；11．
12．13．14．；
注：
第10，14题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由，
得．[1分]
由正弦定理得．[3分]
所以．[4分]
因为，[5分]
所以．[6分]
（Ⅱ）[7分]
[8分]
．[9分]
因为，所以，[10分]
所以，[11分]
所以，[12分]
所以的取值范围是．[13分]
16．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）设，则为底面正方形中心．连接．
因为为正四棱锥，
所以平面．[1分]
所以．[2分]
又，且，[3分]
所以平面．[4分]
（Ⅱ）因为，，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系．[5分]
因为，所以．
所以．[6分]
设．
所以，，，，，，．
所以，．[7分]
所以．
即异面直线与所成角的余弦值为．[9分]
（Ⅲ）连接．
设，其中，则，[10分]
所以．
设平面的法向量为，又，所以
即
所以．令，，所以．[12分]
因为平面，所以，[13分]
即，
解得，所以．[14分]
17．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为．[2分]
所以，估计240人中有人实测答对第5题．[3分]
（Ⅱ）的可能取值是0，1，2．[4分]
；；．[7分]
的分布列为：
0
1
2
[8分]
．[10分]
（Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．
定义统计量，其中为第题的预估难度．并规定：
若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．[11分]
．[12分]
因为，
所以，该次测试的难度预估是合理的．[13分]
注：
本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测
难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝
对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．
18．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）对求导数，得，[1分]
所以切线的斜率为，[2分]
由此得切线的方程为：
，
即.[4分]
（Ⅱ）依题意，切线方程中令，
得.[5分]
所以，.
所以
，.[7分]
设，.[8分]
则.[10分]
令，得或．
，的变化情况如下表：
↘
↗
所以在单调递减；在单调递增，[12分]
所以，
从而△的面积的最小值为1．[13分]
19．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．依题意，得
，．[2分]
解得，．
所以，
所以椭圆的方程是．[4分]
（Ⅱ）解法一：
由（Ⅰ）得．设的中点，．
设直线的方程为：
，将其代入椭圆方程，整理得
，[6分]
所以．[7分]
所以，，
即．[8分]
所以直线的斜率是，[9分]
所以直线的方程是．令，得．[10分]
直线的方程是．令，得．[11分]
由，得直线的斜率是，所以，记垂足为；
因为直线的斜率是，所以，记垂足为．[13分]
在和中，和都与互余，
所以．[14分]
解法二：
由（Ⅰ）得．设，其中．
因为的中点为，所以．[6分]
所以直线的斜率是，[7分]
所以直线的方程是．令，得．[8分]
直线的方程是．令，得．[9分]
由，得直线的斜率是，[10分]
因为，
所以，记垂足为；[12分]
同理可得，
所以，记垂足为．[13分]
在和中，和都与互余，
所以．[14分]
20．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）的所有可能的取值为3，5，7，9.[3分]
（Ⅱ）令，则无论填写的顺序如何，都有．
[5分]
因为，
所以，．[6分]
因为，
所以．[8分]
注：
，或均满足条件．
（Ⅲ）解法一：
显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变．
不妨设，记，，其中．
则．[9分]
因为，
所以与具有相同的奇偶性．[11分]
又因为与具有相同的奇偶性，
所以与的奇偶性相同，
所以的所有可能取值的奇偶性相同．[13分]
解法二：
显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变．
考虑如下表所示的任意两种不同的填法，，，不妨设，，其中．[9分]
．
对于任意，
①若在两种填法中都位于同一行，
则在的表达式中或者只出现在中，或只出现在中，且出现两次，
则对而言，在的结果中得到．[11分]
②若在两种填法中位于不同行，
则在的表达式中在与中各出现一次，
则对而言，在的结果中得到．
由①②得，对于任意，必为偶数．
所以，对于表格的所有不同的填法，所有可能取值的奇偶性相同．[13分]
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