西城区高三一模数学理试题及答案word版.doc
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北京市西城区2015年高三一模试卷
数学（理科）2015.4
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（）
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
3.在极坐标系中，曲线是（）
（A）过极点的直线（B）半径为2的圆
（C）关于极点对称的图形（D）关于极轴对称的图形
x=3x
开始
n=n+1
输出n
结束
否
是
输入x
4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，
则输出的n的值为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．若函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的（）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
侧（左）视图
正（主）视图
俯视图
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
7.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）
（A）2枝玫瑰的价格高
（B）3枝康乃馨的价格高
（C）价格相同
（D）不确定
O
x
y
5
A
8.已知抛物线和所围成的封闭
曲线如图所示，给定点，若在此封闭曲线上恰有
三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数
的取值范围是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.已知平面向量满足，，那么____.
10．已知双曲线C：
的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线
C的离心率为，那么双曲线C的方程为____.
11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则____.
12．若数列满足，且对于任意的，都有，则___；数列前10项的和____．
13.某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种.（用数字作答）
B
A
D
C
14.如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，
记四面体的体积为，则函数的单
调增区间是____；最大值为____.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
设函数，.
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）已知函数的图象与直线有交点，求相邻两个交点间的最短距离.
16．（本小题满分13分）
2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）
乘公共电汽车方案
10公里（含）内2元；
10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.
乘坐地铁方案（不含机场线）
6公里（含）内3元；
6公里至12公里（含）4元；
12公里至22公里（含）5元；
22公里至32公里（含）6元；
32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.
已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
O
票价（元）
3
4
5
10
40
50
人数
30
20
60
（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；
（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围．（只需写出结论）
17．（本小题满分14分）
如图，在五面体中，四边形是边长为4的正方形，，
平面平面，且,，点G是EF的中点.
（Ⅰ）证明：
平面；
（Ⅱ）若直线BF与平面所成角的正弦值为，求的长；
F
C
A
D
B
GE
（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使//平面？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分13分）
设，函数，函数，.
（Ⅰ）当时，写出函数零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）若曲线与曲线分别位于直线的两侧，求的所有可能取值.
19．（本小题满分14分）
设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？
若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分13分）
已知点列（，）满足，且与（）中有且仅有一个成立．
（Ⅰ）写出满足且的所有点列；
（Ⅱ）证明：
对于任意给定的（，），不存在点列，使得；
（Ⅲ）当且（）时，求的最大值．
北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学（理科）2015.4
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B2．C3．D4．B
5．B6．A7．A8．D
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．10．
11．12．
13．14．（或写成）
注：
第12，14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
因为………………1分
………………3分
=，………………5分
因为，
所以，………………6分
所以，
即，
其中当时，取到最大值2；当时，取到最小值，
所以函数的值域为.………………9分
（Ⅱ）依题意，得，，………………10分
所以或，………………12分
所以或，
所以函数的图象与直线的两个相邻交点间的最短距离为.……13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分
由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为，，（人）.
所以票价小于5元的有（人）．………………2分
故120人中票价小于5元的频率是．
所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率．………………4分
（Ⅱ）解：
X的所有可能取值为6，7，8，9，10.………………5分
根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为，，
，即，，， ………………6分
以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为，，． 所以，
，
，
，
， ………………8分
所以随机变量的分布列为：
X
6
7
8
9
10
P
………………9分
所以.………………10分
（Ⅲ）解：
． ………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
因为，点G是EF的中点，
所以.……………1分
又因为，
所以. ……………2分
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面.……………4分
（Ⅱ）解：
因为平面，，所以两两垂直.以A为原
点，以，，分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，……5分
F
C
A
D
B
GE
z
x
y
则，，，
设，则，，
所以，，.
设平面的法向量为，
由，，得
令,得.……………7分
因为BF与平面所成角的正弦值为，
所以，……………8分
即，解得或.
所以或.……………9分
（Ⅲ）解：
假设线段上存在一点，使得//平面，
设，则，
由，得，……………10分
设，则，
所以.……………11分
设平面的法向量为，
因为，，
由，，得
令,得，……………12分
因为//平面，
所以，即，
解得.
所以，此时，
所以当时，//平面.……………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：
结论：
函数不存在零点.……………1分
当时，，求导得，……………2分
令，解得.……………3分
当变化时，与的变化如下表所示：
0
↗
↘
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，函数有最大值.……………4分
所以函数的最大值为，
所以函数不存在零点.……………5分
（Ⅱ）解：
由函数求导，得，
令，解得.
当变化时，与的变化如下表所示：
0
↗
↘
……………7分
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，函数有最大值；……………8分
由函数，求导，得，……………9分
令，解得.
当变化时，与的变化如下表所示：
0
↘
↗
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数有最小值.……………11分
因为，函数有最大值，
所以曲线在直线的下方，而曲线在直线的上方，
所以，……………12分
解得.
所以的取值集合为.……………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：
由点和关于点对称，得，………………1分
所以椭圆E的焦点为，，………………2分
由椭圆定义，得.
所以，.………………4分
故椭圆E的方程为.………………5分
（II）解：
结论：
存在直线，使得四边形的对角线互相平分.………………6分
理由如下：
由题可知直线，直线PQ的斜率存在，
设直线的方程为，直线PQ的方程为.……………7分
由消去，
得，………………8分
由题意，可知，设，，
则，，………………9分
由消去,
得，
由，可知，设，又，
则，.………………10分
若四边形的对角线互相平分，则与的中点重合，
所以，即，………………11分
故.………………12分
所以.
解得.
所以直线为时，四边形的对角线互相平分.………14分
（注：
利用四边形为平行四边形，则有，也可解决问题）
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
符合条件的点列为；
或；或．………3分
（Ⅱ）证明：
由已知，得，
所以数列是公差为1的等差数列．
由，得（）．………………3分
故．………………5分
若存在点列，使得，
则，即．
因为整数和总是一个为奇数，一个为偶数，且，
而整数中不含有大于1的奇因子，
所以对于任意正整数，任意点列均不能满足．…………8分
（Ⅲ）解：
由（Ⅱ）可知，，
所以
，
令，
则.………………10分
考察关于的二次函数．
（1）当为奇数时，可得是正整数，
可构造数列：
，
对应数列：
．（由此构造的点列符合已知条件）
而且此时，
，
所以当时，有最大值．……………12分
（2）当为偶数时，不是正整数，而是离其最近的正整数，
可构造数列：
，
对应数列：
，（由此构造的点列符合已知条件）
而且此时，
，
所以当时，有最大值．
………………13分
第16页共16页
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