高考文科数学试题江西卷.doc
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
第Ⅰ卷
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式
如果事件互斥，那么球的表面积公式
如果事件，相互独立，那么其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径
一．选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．定义集合运算:
.设,,则集合的所有元素之和为
A．0B．2C．3D．6
3．若函数的定义域是，则函数的定义域是
A．B．C．D．
4．若，则
A．B．C．D．
5．在数列中，，，则
A．B．C．D．
6．函数是
A．以为周期的偶函数B．以为周期的奇函数
C．以为周期的偶函数D．以为周期的奇函数
7．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A．B．C．D．
8．展开式中的常数项为
A．1B．C．D．
9．设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行
D．与直线平行的平面不可能与平面垂直
10．函数在区间内的图象是
11．电子钟一天显示的时间是从00:
00到23:
59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为
A．B．C．D．
12．已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二.填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分。
请把答案填在答题卡上
13．不等式的解集为．
14．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．
15．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为．
16．如图，正六边形中，有下列四个命题：
A．
B．
C．
D．
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．
三.解答题：
本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．已知，
（1）求的值；
（2）求函数的最大值．
18．因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；
（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
19．等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且
．
（1）求与；
（2）求和：
．
20．如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．
（1）求证：
⊥面；
（2）求二面角的大小．
21．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．
22．已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．
（1）证明三点共线；
（2）如果、、、四点共线，问：
是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？
如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．
绝密★启用前秘密★启用后
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参考答案
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
A
A
C
D
B
D
C
C
1．B.因但。
2．.因，
3．B.因为的定义域为[0，2]，所以对，但故。
4．函数为增函数
5．，，…，
6．
7..由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则
又,所以
8.
9..
10．..函数
11..一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.
12．.当时，显然成立
当时，显然不成立；当显然成立；
当时，则两根为负，结论成立
故
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13.14..15.516.A、B、D
13．依题意
14．
15.易求得、到球心的距离分别为3、2，类比平面内圆的情形可知当、与球心共线时，取最大值5。
16.,∴对
取的中点,则,∴对
设, 则,而,∴错
又,∴对
∴真命题的代号是
三、解答题：
本大题共6小题，共74分。
17．解：
（1）由
得，
于是=.
（2）因为
所以
的最大值为.
18．解：
（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件
19．
（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
解得或（舍去）
故
（2）
∴
20．解：
（1）证明：
依题设，是的中位线，所以∥，
则∥平面，所以∥。
又是的中点，所以⊥，
则⊥。
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，连。
因为⊥平面，
根据三垂线定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，则∥，则是的中点，则。
设，由得，，解得，
在中，，则，。
所以，故二面角为。
解法二：
（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：
平面
（2）由已知设
则
由与共线得:
存在有得
同理:
设是平面的一个法向量,
则令得
又是平面的一个法量
所以二面角的大小为
21.解：
（1）因为
令得
由时，在根的左右的符号如下表所示
极小值
极大值
极小值
所以的递增区间为
的递减区间为
（2）由
（1）得到，
要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，
即或.
22．
（1）证明：
设，
则直线的方程：
即：
因在上，所以①
又直线方程：
由得：
所以
同理，
所以直线的方程：
令得
将①代入上式得，即点在直线上
所以三点共线
（2）解：
由已知共线，所以
以为直径的圆的方程：
由得
所以（舍去），
要使圆与抛物线有异于的交点，则
所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点
则，所以交点到的距离为
绝密★启用前秘密★启用后
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参考答案及评分参考
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
A
A
C
D
B
D
C
C
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13.14..15.516.A、B、D
三、解答题：
本大题共6小题，共74分。
17．解：
（1）由
得，…………………………………3分
于是=.………………6分
（2）因为
所以………………………………………8分
………………………………………………10分
的最大值为.…………………………………………………12分
18．解：
（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
……………………………………………………6分
（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件
…………………………………………12分
19．
（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，…………………………………………………2分
依题意有①………………………………………………4分
解得或（舍去）…………………………………………………6分
故…………………………………………………8分
（2）…………………………………………9分
∴
…………………………………10分
……………………………12分
20．解：
（1）证明：
依题设，是的中位线，所以∥，
则∥平面，所以∥。
……………2分
又是的中点，所以⊥，
则⊥。
……………………3分
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，………………4分
因此⊥面。
…………………………………5分
（2）作⊥于，连。
因为⊥平面，
根据三垂线定理知，⊥，………………………………7分
就是二面角的平面角。
………………………………8分
作⊥于，则∥，则是的中点，则。
设，由得，，解得，………………………10分
在中，，则，。
…11分
所以，故二面角为。
……………12分
解法二：
（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
…………………2分
所以
所以……………………………………………3分
所以平面……………………………………………………4分
由∥得∥，故：
平面………………………………5分
（2）由已知设
则…………………………6分
由与共线得:
存在有得
同理:
……………………………………………………8分
设是平面的一个法向量,
则令得
又是平面的一个法量
…………………………………11分
所以二面角的大小为………………………………12分
21.解：
（1）因为……………………2分
令得…………………………………3分
由时，在根的左右的符号如下表所示
极小值
极大值
极小值
所以的递增区间为…………………………………5分
的递减区间为……………………………………6分
（2）由
（1）得到，
…………………………………9分
要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，…10分
即或.………………………………12分
22．
（1）证明：
设，
则直线的方程：
…………………………………1分
即：
因在上，所以①…………………………2分
又直线方程：
由得：
所以…………………………………4分
同理，
所以直线的方程：
…………………………………5分
令得
将①代入上式得，即点在直线上
所以三点共线………………………………7分
（2）解：
由已知共线，所以……………8分
以为直径的圆的方程：
由得
所以（舍去），……………………………………………10分
要使圆与抛物线有异于的交点，则
所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点……12分
则，所以交点到的距离为……………14分
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