1991全国高考理科数学试题.doc

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1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学

（理工农医类）

考生注意：

这份试卷共三道大题（26个小题）．满分120分

一、选择题：

本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．

（1）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 （）

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）焦点在（－1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是 （）

（A）y2=8（x+1）

（B）y2=－8（x+1）

（C）y2=8（x－1）

（D）y2=－8（x－1）

（3）函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 （）

（A）

（B）π

（C）2π

（D）4π

（4）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 （）

（A）12对

（B）24对

（C）36对

（D）48对

（5）函数y=sin（2x+）的图像的一条对称轴的方程是 （）

（A）x=－

（B）x=－

（C）

（D）

（6）如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 （）

（A）垂心

（B）重心

（C）外心

（D）内心

（7）已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于 （）

（A）5

（B）10

（C）15

（D）20

（8）如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为 （）

（A）（0，0），（6，π）

（B）（－3，0），（3，0）

（C）（0，0），（3，0）

（D）（0，0），（6，0）

（9）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 （）

（A）140种

（B）84种

（C）70种

（D）35种

（10）如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过 （）

（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限

（11）设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 （）

（A）丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

（B）丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

（C）丙是甲的充要条件

（D）丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

（12）…（1－）]的值等于 （）

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

（13）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[－7，－3]上是 （）

（A）增函数且最小值为－5

（B）增函数且最大值为－5

（C）减函数且最小值为－5

（D）减函数且最大值为－5

（14）圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 （）

（A）1个

（B）2个

（C）3个

（D）4个

（15）设全集为R，f（x）=sinx，g（x）=cosx，M={x|f（x）≠0}，N={x|g（x）≠0}，那么集合

{x|f（x）g（x）=0}等于 （）

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题：

本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．

（16）arctg+arctg的值是____________

（17）不等式<1的解集是___________

（18）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于

（19）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a>1，那么a=

（20）在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么这个球面的面积是

三、解答题：

本大题共6小题；共60分．

（21）（本小题满分8分）

求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．

（22）（本小题满分8分）

已知复数z=1＋i,求复数的模和辐角的主值．

（23）（本小题满分10分）

已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．

（24）（本小题满分10分）

根据函数单调性的定义，证明函数f（x）=－x3+1在（－∞，+∞）上是减函数．

（25）（本小题满分12分）

已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式

logax－logx＋12logx＋…＋n（n－2）logx>log（x2－a）

（26）（本小题满分12分）

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．

1991年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．

二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．

三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．

四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

五、只给整数分数．

一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．

（1）A

（2）D（3）B（4）B（5）A（6）D（7）A （8）D

（9）C（10）C（11）A（12）C（13）B （14）C（15）D

二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．

（16）（17）{x|－2

三、解答题

（21）本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．

解：

y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=（sin2x＋cos2x）＋2sinxcosx+2cos2x——1分

=1sin2x（1＋cos2x）——3分

=2＋sin2x+cos2x

=2+sin（2x+）．——5分

当sin（2x+）=－1时y取得最小值2－．——6分

使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ－π，k∈Z}．——8分

（22）本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．

解：

=

=——2分

=1－i．——4分

1－i的模r==．

因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=－1，所以辐角的主值

θ=π．——8分

（23）本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．

解：

如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．

BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．——4分

∵BD⊥AC，

∴EF⊥HC．

∵GC⊥平面ABCD，

∴EF⊥GC，

∴EF⊥平面HCG．

∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．——6分

作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．——8分

∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，

∴AC=4，HO=，HC=3．

∴在Rt△HCG中，HG=．

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．

∴OK=．

即点B到平面EFG的距离为．——10分

注：

未证明“BD不在平面EFG上”不扣分．

（24）本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．

证法一：

在（－∞，+∞）上任取x1，x2且x1

则f（x2）－f（x1）==（x1－x2）（）——3分

∵x1

∴x1－x2<0．——4分

当x1x2<0时，有=（x1+x2）2－x1x2>0；——6分

当x1x2≥0时，有>0；

∴f（x2）－f（x1）=（x1－x2）（）<0．——8分

即f（x2）

所以，函数f（x）=－x3+1在（－∞，+∞）上是减函数．——10分

证法二：

在（－∞，+∞）上任取x1，x2，且x1

则f（x2）－f（x1）=x－x=（x1－x2）（）．——3分

∵x1

∴x1－x2<0．——4分

∵x1，x2不同时为零，

∴x＋x>0．

又∵x＋x>（x＋x）≥|x1x2|≥－x1x2

∴>0，

∴f（x2）－f（x1）=（x1－x2）（）<0．——8分

即f（x2）

所以，函数f（x）=－x3+1在（－∞，+∞）上是减函数．——10分

（25）本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．

解：

利用对数换底公式，原不等式左端化为

logax－4·＋12·＋…＋n（－2）n－1·

=[1－2＋4＋…＋（－2）n－1]logax

=logax

故原不等式可化为logax>loga（x2－a）．①

当n为奇数时，>0，不等式①等价于

logax>loga（x2－a）．②

因为a>1，②式等价于

——6分

因为<0，>=，

所以，不等式②的解集为{x|

当n为偶数时，<0，不等式①等价于

logax>loga（x2－a）．③

因为a>1，③式等价于

或——10分

因为——12分

所以，不等式③的解集为{x|x>}．

综合得：

当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；

当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}

（26）本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．

解法一：

设双曲线的方程为=1．

依题意知，点P，Q的坐标满足方程组

①

②

将②式代入①式，整理得

（5b2－3a2）x2+6a2cx－（3a2c2+5a2b2）=0． ③——3分

设方程③的两个根为x1，x2，若5b2－3a2=0，则=，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0．

根据根与系数的关系，有

④

⑤——6分

由于P、Q在直线y=（x－c）上，可记为

P（x1，（x1－c）），Q（x2，（x2－c））．

由OP⊥OQ得·=－1，

整理得3c（x1+x2）－8x1x2－3c2=0． ⑥

将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得

3a4+8a2b2－3b4=0，

（a2+3b2）（3a2－b2）=0．

因为 a2+3b2≠0，解得b2=3a2，

所以c==2a．——8分

由|PQ|=4，得（x2－x1）2=[（x2－c）－（x1－c）]2=42．

整理得（x1+x2）2－4x1x2－10=0． ⑦

将④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1．——10分

将a2=1代入b2=3a2 得 b2=3．

故所求双曲线方程为x2－=1．——12分

解法二：

④式以上同解法一．——4分

解方程③得x1=，x2=④——6分

由于P、Q在直线y=（x－c）上，可记为P（x1，（x1－c）），Q（x2，（x2－c））．

由OP⊥OQ，得x1x2＋（x1－c）·（x2－c）=0．⑤

将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0，

即（a2+3b2）（3a2－b2）=0．

因a2+3b2≠0，解得b2=3a2．——8分

由|PQ|=4，得（x2－x1）2+[（x2－c）－（x1－c）]2=42．

即 （x2－x1）2=10． ⑥

将④式代入⑥式并整理得

（5b2－3a2）2－16a2b4=0．——10分

将b2=3a2代入上式，得a2=1，

将a2=1代入b2=3a2得b2=3．

故所求双曲线方程为

x2－=1．——12分