高考立体几何压轴题精选.doc

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《高中复习资料》数学

1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四

面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一

个点（体积忽略不计）,且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点

的这个正四面体的体积为（）

A,B,C,D,

2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之

比为（）

A,3:

2:

1B,2:

3:

1C,3:

6:

2D,6:

8:

3

3．设二面角的大小是,P是二面角内的一点,P点到的距离分别为1cm,

2cm,则点P到棱的距离是（）

A,B,C,D,

A

B

C

D

E

F

4．如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC

的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是（）

A,B,

C,D,

5．棱长为的正八面体的外接球的体积是（）

A,B,C,D,

6．若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面

的位置关系是.

7．若异面直线所原角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为

2和平共处的两点,当时,线段AB的长为.

8．如图

（1）,在直四棱柱中,当底面四边形满足条件

时,有C（注:

填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）

A

B

C

D

A

B

C

D

图

（1）

A

B

E

N

M

图

（2）

C

D

F

9．如图

（2）,是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:

①AB与EF所连直线平行;②AB与CD所在直线异面;

③MN与BF所在直线成;④MN与CD所在直线互相垂直.

其中正确命题的序号为.（将所有正确的都写出）

10．如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将沿

DE折起来使得A到,且为的二面角,求到直线BC的最小距离.

A

B

O

C

D

E

O

A

11．如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.

（1）问BC边上是否存在点Q使得PQQD?

并说明理由;

（2）若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.

A

B

C

D

P

Q

12.已知三角形ABC的顶点分别是A（1,2,3）、B（3,4,5）、C（2,4,7）,求三角形ABC的面积.

P

13.在正四棱柱中，，

为B1C1的中点．

（1）求直线AC与平面ABP所成的角；

（2）求异面直线AC与BP所成的角；

（3）求点B到平面APC的距离．

14.如图,正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为。

（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成的角的正切值；

P

E

D

C

B

A

（3）在侧面PAD上寻找一点F使EF⊥侧面PBC，试确定F的位置并证明。

15：

在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少

16.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅰ）求证∥平面；

（Ⅱ）求直线与平面PBC所成角的正弦．

17.如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2（Ⅰ）证明：

AC⊥BO1；

图3

图1

图2

（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的余弦．

18.已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO/之间的距离。

19.简单选填题

1、已知是平面，m，n是直线，给出下列命题：

①若；

②若；

③如果相交；

④若

其中正确命题的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

2、已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面，有下列命题

①若；

②若；

③若；

④若；

其中正确的命题个数是 （）

A．1 B．2 C．3 D．4

3、α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：

①a//α、b；②a⊥α、b；③a⊥α、b；④a//α、b且a与α的距离等于b与β的距离.其中是a⊥b的充分条件的有（）

A．①④B．①C．③D．②③

4、已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面，有下列命题

①若；②若；

③若；④若；

其中正确的命题个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

5、若l、m、n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

A．若∥β，，则∥nB．若⊥β，，则⊥β

C．若⊥n，m⊥n，则∥mD．若⊥，∥β，则⊥β

6、若二面角为，直线，直线，则直线与所成的角取值范围是

A． B． C． D．

7、已知直线与平面成角，直线，若直线在内的射影与直线也成45°角，则与所成的角是

A．30° B．45° C．60° D．90°

8、设正方体ABCD-A1B1C1D1中E，F分别是棱A1A，B1B中点，G为BC上一点，若C1F⊥EG，则为（）

A．60° B．90° C．120° D．150°

9、已知三棱锥中，，点E、F分别在AC、AD上，使面，则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为（）

ABCD

10、从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为，则OP的距离为（）

A． B． C． D．2

11、直线与平面成45°角，若直线在内的射影与内的直线成45°角，则与所成的角是（）

A．30° B．45° C．60° D．90°

12、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （）

A．8 B．6 C．4 D．

13、已知线段AB在平面外，AB两点到平面的距离分别是1和3，则线段AB中点到平面的距离是__________.

14、正三棱锥P－ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是____________.

15、（江苏省启东中学高三综合测试三）三棱锥P－ABC的四个顶点点在同一球面上，若PA⊥底面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=2,AC=BC=1，则此球的表面积为　　　　　　　　　　。

16、四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为　　　　。

答案：

1．过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,为底面ABC的中心,

设正四面体VABC的棱长为,则AM==VM,=,

,得

在中,,即,得.

则,有.选B.

温馨提示:

正四面体外接球的半径:

内切球的半径=.

2．,选B.

3．设PA棱于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=,,则

得,有或（舍去）,

所以,选B.

4．由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.

由对称性得,于是.

选B.

5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,

外接球的体积,选D.

6．当时,AB//;当时,AB//或AB;当时,AB//或与斜交.

7．由,得

（1）当时,有,得;

（2）当时,有,得.

8．ACBD.（或ABCD是正方形或菱形等）

9．将展开的平面图形还原为正方体,可得只②,④正确.

10．解:

设的高AO交DE于点,令,

由AO=,有,

在中,,有

得.

当时,到直线BC的最小距离为6.

11．解:

（1）（如图）以A为原点建立空间直角坐标系,设,则

Q,P（0,0,1）,D得,

由,有,得①

若方程①有解,必为正数解,且小于.由,,得.

（i）当时,BC上存在点Q,使PQQD;

（ii）当时,BC上不存在点Q,使PQQD.

（2）要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,

这时,,得,有.

又平面APD的法向量,设平面PQD的法向量为

而,,

由,得,解得有,则

则所以二面角的正切为.

12.根据向量积的定义,可知三角形ABC的面积

.

由于=（2,2,2）,=（1,2,4）,因此

=4i-6j+2k.

于是 .

13.

（1）∵AB⊥平面BC1，PC平面BC1，∴AB⊥PC

在矩形BCC1B1中，BC=2，BB1=1，P为B1C1的中点，∴PC⊥PB

∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC与平面ABP所成的角

∵PC=，AC=，∴在Rt△APC中，∠CAP=300

∴直线AC与平面ABP所成的角为300

（2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP，

∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角

在△ACQ中，

∴∠CAQ=600

∴异面直线AC与BP所成的角为600（也可用向量法）

（3）过点B作BH⊥AP于H，由题

（1）PC⊥平面ABP，∴PC⊥BH

∴BH⊥平面APC

∴BH的长即为点B到平面APC的距离

在Rt△ABP中，AB=2，

14、方法一：

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）解：

取VD的中点E，连结AE，BE

∵VAD是正三角形

∴AE⊥VD，AF=AD∵AB⊥平面VAD∴AB⊥AE

又由三垂线定理知BE⊥VD

因此，是所求二面角的平面角

于是，

即得所求二面角的大小为

15解答：

两端点都为顶点的共线三点组共有个；两端点都为面的中心共线三点组共

有个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有个

16.解答

．

17.解答（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1．所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）．

从而

所以AC⊥BO1．

（II）解：

因为所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量．设是0平面O1AC的一个法向量，由得．设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>，所以COS，>=即二面角O—AC—O1的大小是

18.在圆柱底面上AO⊥OO/，BO/⊥OO/，又OO/是圆柱的高，AB=5，所以d=。

即异面直线AB与轴OO/之间的距离为。

19.答案1~5CBCBD6~12CCBBBCC13、1或214、315、6p16、