高中数学导数题型分析及解题方法.doc
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导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析
题型一：
利用导数研究函数的极值、最值。
1．在区间上的最大值是2
2．已知函数处有极大值，则常数c＝6；
3．函数有极小值－1,极大值3
题型二：
利用导数几何意义求切线方程
1．曲线在点处的切线方程是
2．若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为（1，0）
3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
4．求下列直线的方程：
（1）曲线在P（-1,1）处的切线；
（2）曲线过点P（3,5）的切线；
解：
（1）
所以切线方程为
（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，
所以过点的切线的斜率为，又切线过、P（3,5）点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为
题型三：
利用导数研究函数的单调性，极值、最值
1．已知函数的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
解：
（1）由
过的切线方程为：
①
②
而过
故
∵③
由①②③得a=2，b=－4，c=5∴
（2）
当
又在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f（x）在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。
依题意在[－2，1]上恒有≥0，即
①当；
②当；
③当
综上所述，参数b的取值范围是
2．已知三次函数在和时取极值，且．
（1）求函数的表达式；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．
解：
（1），
由题意得，是的两个根，解得，．
再由可得．∴．
（2），
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，．∴函数在区间上是增函数；
在区间上是减函数；在区间上是增函数．
函数的极大值是，极小值是．
（3）函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，
所以，函数在区间上的值域为（）．
而，∴，即．
于是，函数在区间上的值域为．
令得或．由的单调性知，，即．
综上所述，、应满足的条件是：
，且．
3．设函数．
（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为２，且在处取极值，求实数的值；
（2）当b=1时，试证明：
不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点．
解：
（1）
由题意，代入上式，解之得：
a=1，b=1．
（2）当b=1时，
因故方程有两个不同实根．
不妨设，由可判断的符号如下：
当＞０；当＜０；当＞０
因此是极大值点，是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。
题型四：
利用导数研究函数的图象
1．如右图：
是f（x）的导函数，的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）
（A）（B）（C）（D）
2．函数（A）
x
y
o
4
-4
2
4
-4
2
-2
-2
x
y
o
4
-4
2
4
-4
2
-2
-2
x
y
y
4
o
-4
2
4
-4
2
-2
-2
6
6
6
6
y
x
-4
-2
o
4
2
2
4
3．方程（B）
A、0B、1C、2D、3
题型五：
利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1．设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.
解：
（1）=，令得
列表如下：
x
（-∞，a）
a
（a，3a）
3a
（3a，+∞）
-
0
+
0
-
极小
极大
∴在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
时，，时，
（2）∵，∴对称轴，
∴在[a+1，a+2]上单调递减
∴，
依题，即
解得，又∴a的取值范围是
2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）解：
（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（）＝，f¢
（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（－¥，－）
－
（－，1）
1
（1，＋¥）
f¢（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
¯
极小值
所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥），递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c
为极大值，而f
（2）＝2＋c，则f
（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）f
（2）＝2＋c，解得c<－1或c>2
题型六：
利用导数研究方程的根
1．已知平面向量=（,－1）.=（,）.
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+（t2－3），=-k+t，⊥，
试求函数关系式k=f（t）；
（2）据
（1）的结论，讨论关于t的方程f（t）－k=0的解的情况.
解：
（1）∵⊥，∴=0即[+（t2-3）]·（-k+t）=0.
整理后得-k+[t-k（t2-3）]+（t2-3）·=0
∵=0，=4，=1，∴上式化为-4k+t（t2-3）=0，即k=t（t2-3）
（2）讨论方程t（t2-3）-k=0的解的情况，可以看作曲线f（t）=t（t2-3）与直线y=k的交点个数.
于是f′（t）=（t2-1）=（t+1）（t-1）.
令f′（t）=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′（t）、f（t）的变化情况如下表：
t
（-∞,-1）
-1
（-1,1）
1
（1,+∞）
f′（t）
+
0
-
0
+
F（t）
↗
极大值
↘
极小值
↗
当t=－1时，f（t）有极大值，f（t）极大值=.
当t=1时，f（t）有极小值，f（t）极小值=－
函数f（t）=t（t2-3）的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
（1）当k＞或k＜－时,方程f（t）－k=0有且只有一解；
（2）当k=或k=－时,方程f（t）－k=0有两解；
（3）当－＜k＜时,方程f（t）－k=0有三解.
题型七：
导数与不等式的综合
1．设在上是单调函数.
（1）求实数的取值范围；
（2）设≥1，≥1，且，求证：
.
解：
（1）若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.
若在上是单调递增函数，则≤，
由于.从而0（2）方法1、可知在上只能为单调增函数.若1≤，则若1≤矛盾，故只有成立.
方法2：
设，两式相减得≥1,u≥1，
，
2．已知为实数，函数
（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围
（2）若，（Ⅰ）求函数的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的，不等式恒成立
解：
，
函数的图象有与轴平行的切线，有实数解
，，所以的取值范围是
，，，
由或；由
的单调递增区间是；单调减区间为
易知的最大值为，的极小值为，又
在上的最大值，最小值
对任意，恒有
题型八：
导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。
试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：
设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：
，（单位：
）
故底面正六边形的面积为：
=，（单位：
）
帐篷的体积为：
（单位：
）
求导得。
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数。
∴当时，最大。
答：
当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？
最少为多少升？
解：
（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）。
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得
令得
当时，是减函数；
当时，是增函数。
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值。
答：
当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
题型九：
导数与向量的结合
1．设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使
（1）求函数关系式；
（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。
解：
（1）
（2）
则在上有
由；
由。
因为在t∈上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。
故k的取值范围是。
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