高考文科数学复习函数与导数.doc

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数学

B单元函数与导数

B1　函数及其表示

5．B1[2016·江苏卷]函数y＝的定义域是________．

5．[－3，1]　[解析]令3－2x－x2≥0可得x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]．

11．B1、B4[2016·江苏卷]设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1）上，f（x）＝其中a∈R.若f（－）＝f（），则f（5a）的值是________．

11．－　[解析]因为f（x）的周期为2，所以f（－）＝f（－）＝－＋a，f（）＝f（）＝，

即－＋a＝，所以a＝，故f（5a）＝f（3）＝f（－1）＝－.

B2反函数

5．B2[2016·上海卷]已知点（3，9）在函数f（x）＝1＋ax的图像上，则f（x）的反函数f－1（x）＝________．

5．log2（x－1），x∈（1，＋∞）　[解析]将点（3，9）的坐标代入函数f（x）的解析式得a＝2，所以f（x）＝1＋2x，所以f－1（x）＝log2（x－1），x∈（1，＋∞）．

B3函数的单调性与最值

14．B3，B12[2016·北京卷]设函数f（x）＝

①若a＝0，则f（x）的最大值为________；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是________．

14．①2　②（－∞，－1）　[解析]由（x3－3x）′＝3x2－3＝0，得x＝±1，作出函数y＝x3－3x和y＝－2x的图像，如图所示．①当a＝0时，由图像可得f（x）的最大值为f（－1）＝2.②由图像可知当a≥－1时，函数f（x）有最大值；当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，且－2a>a3－3a，所以a<－1.

13．B3、B4[2016·天津卷]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足f（2|a－1|）>f（－），则a的取值范围是________．

13.（，）　[解析]由f（x）是偶函数，且f（x）在区间（－∞，0）上单调递增，得f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减．

又f（2|a－1|）>f（－），f（－）＝f（），∴2|a－1|<，即|a－1|<，∴

18．B3，B4[2016·上海卷]设f（x），g（x），h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：

①若f（x）＋g（x），f（x）＋h（x），g（x）＋h（x）均是增函数，则f（x），g（x），h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）＋g（x），f（x）＋h（x），g（x）＋h（x）均是以T为周期的函数，则f（x），g（x），h（x）均是以T为周期的函数．下列判断正确的是（　　）

A．①和②均为真命题

B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题

D．①为假命题，②为真命题

18．D　[解析]f（x）＝.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f（x）不一定为增函数，同理g（x），h（x）不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f（x）是以T为周期的函数，同理可得g（x），h（x）也是以T为周期的函数，所以②为真命题．

B4函数的奇偶性与周期性

11．B1、B4[2016·江苏卷]设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1）上，f（x）＝其中a∈R.若f（－）＝f（），则f（5a）的值是________．

11．－　[解析]因为f（x）的周期为2，所以f（－）＝f（－）＝－＋a，f（）＝f（）＝，

即－＋a＝，所以a＝，故f（5a）＝f（3）＝f（－1）＝－.

15．B4、B12[2016·全国卷Ⅲ]已知f（x）为偶函数，当x<0时，f（x）＝ln（－x）＋3x，则曲线y＝f（x）在点（1，－3）处的切线方程是________．

15．y＝－2x－1　[解析]设x>0，则－x<0.∵x<0时，f（x）＝ln（－x）＋3x，∴f（－x）＝lnx－3x，又∵f（－x）＝f（x），∴当x>0时，f（x）＝lnx－3x，∴f′（x）＝－3，即f′

（1）＝－2，∴曲线y＝f（x）在点（1，－3）处的切线方程为y＋3＝－2（x－1），整理得y＝－2x－1.

14．B4[2016·四川卷]已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f－＋f

（1）＝________．

14．－2　[解析]因为f（x）是周期为2的函数，所以f（x）＝f（x＋2）．

因为f（x）是奇函数，所以f（x）＝－f（－x），

所以f

（1）＝f（－1），f

（1）＝－f（－1），即f

（1）＝0.

又f＝f＝－f，f＝4＝2，

所以f＝－2，从而f＋f

（1）＝－2.

9．B4[2016·山东卷]已知函数f（x）的定义域为R.当x<0时，f（x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x）；当x>时，fx＋＝fx－.则f（6）＝（　　）

A．－2B．－1

C．0D．2

9．D　[解析]∵当x>时，f（x＋）＝f（x－），∴f（x）的周期为1，则f（6）＝f

（1）．

又∵当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x），∴f

（1）＝－f（－1）．

又∵当x<0时，f（x）＝x3－1，∴f（－1）＝（－1）3－1＝－2，∴f（6）＝－f（－1）＝2.

13．B3、B4[2016·天津卷]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足f（2|a－1|）>f（－），则a的取值范围是________．

13.（，）　[解析]由f（x）是偶函数，且f（x）在区间（－∞，0）上单调递增，得f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减．

又f（2|a－1|）>f（－），f（－）＝f（），∴2|a－1|<，即|a－1|<，∴

18．B3，B4[2016·上海卷]设f（x），g（x），h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：

①若f（x）＋g（x），f（x）＋h（x），g（x）＋h（x）均是增函数，则f（x），g（x），h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）＋g（x），f（x）＋h（x），g（x）＋h（x）均是以T为周期的函数，则f（x），g（x），h（x）均是以T为周期的函数．下列判断正确的是（　　）

A．①和②均为真命题

B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题

D．①为假命题，②为真命题

18．D　[解析]f（x）＝.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f（x）不一定为增函数，同理g（x），h（x）不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f（x）是以T为周期的函数，同理可得g（x），h（x）也是以T为周期的函数，所以②为真命题．

B5二次函数

B6指数与指数函数

5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷]已知x，y∈R，且x>y>0，则（　　）

A.－>0

B．sinx－siny>0

C.x－y<0

D．lnx＋lny>0

5．C　[解析]选项A中，因为x>y>0，所以<，即－<0，故结论不成立；选项B中，当x＝，y＝时，sinx－siny<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝x是定义在R上的减函数，因为x>y>0，所以x

19．B6、B9、B12[2016·江苏卷]已知函数f（x）＝ax＋bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）．

（1）设a＝2，b＝.

①求方程f（x）＝2的根；

②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）－6恒成立，求实数m的最大值；

（2）若01，函数g（x）＝f（x）－2有且只有1个零点，求ab的值．

19．解：

（1）因为a＝2，b＝，所以f（x）＝2x＋2－x.

①方程f（x）＝2，即2x＋2－x＝2，亦即（2x）2－2×2x＋1＝0，

所以（2x－1）2＝0，于是2x＝1，解得x＝0.

②由条件知f（2x）＝22x＋2－2x＝（2x＋2－x）2－2＝[f（x）]2－2.

因为f（2x）≥mf（x）－6对于x∈R恒成立，且f（x）>0，

所以m≤对于x∈R恒成立．

而＝f（x）＋≥2＝4，且＝4，

所以m≤4，故实数m的最大值为4.

（2）因为函数g（x）＝f（x）－2只有1个零点，而g（0）＝f（0）－2＝a0＋b0－2＝0，

所以0是函数g（x）的唯一零点．

因为g′（x）＝axlna＋bxlnb，又由01知lna<0，lnb>0，

所以g′（x）＝0有唯一解x0＝log－.

令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝（axlna＋bxlnb）′＝ax（lna）2＋bx（lnb）2，

从而对任意x∈R，h′（x）>0，所以g′（x）＝h（x）是（－∞，＋∞）上的单调增函数．

于是当x∈（－∞，x0）时，g′（x）g′（x0）＝0.

因而函数g（x）在（－∞，x0）上是单调减函数，在（x0，＋∞）上是单调增函数．

下证x0＝0.

若x0<0，则x0<<0，于是g

又g（loga2）＝aloga2＋bloga2－2>aloga2－2＝0，且函数g（x）在以和loga2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间，loga2上存在g（x）的零点，记为x1.因为0

若x0>0，同理可得，在和logb2之间存在g（x）的非0的零点，矛盾．

因此，x0＝0.

于是－＝1，故lna＋lnb＝0，所以ab＝1.

6．B6[2016·全国卷Ⅲ]已知a＝2，b＝4，c＝25，则（　　）

A．b

C．b

6．A　[解析]b＝4＝2<2＝a，c＝5>4＝2＝a，故b

12．B6、B7[2016·浙江卷]已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．

12．4　2　[解析]设t＝logab，则logba＝.∵a>b>1，∴0

B7对数与对数函数

5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷]已知x，y∈R，且x>y>0，则（　　）

A.－>0

B．sinx－siny>0

C.x－y<0

D．lnx＋lny>0

5．C　[解析]选项A中，因为x>y>0，所以<，即－<0，故结论不成立；选项B中，当x＝，y＝时，sinx－siny<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝x是定义在R上的减函数，因为x>y>0，所以x

8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ]若a>b>1，0

A．ac

B．abc

C．alogbc

D．logac

8．C　[解析]根据幂函数性质，选项A中的不等式不成立；选项B中的不等式可化为bc－1＝＝logab，此时>1，0，进而lga

21．B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ]设函数f（x）＝αcos2x＋（α－1）（cosx＋1），其中α＞0，记|f（x）|的最大值为A.

（1）求f′（x）；

（2）求A；

（3）证明：

|f′（x）|≤2A.

21．解：

（1）f′（x）＝－2αsin2x－（α－1）sinx.

（2）当α≥1时，|f（x）|＝|αcos2x＋（α－1）（cosx＋1）|≤α＋2（α－1）＝3α－2＝f（0），

因此A＝3α－2.

当0<α<1时，将f（x）变形为f（x）＝2αcos2x＋（α－1）cosx－1.

令g（t）＝2αt2＋（α－1）t－1，则A是|g（t）|在[－1，1]上的最大值，g（－1）＝α，g

（1）＝3α－2，且当t＝时，g（t）取得极小值，极小值为g（）＝－－1＝－.

令－1<<1，解得α<－（舍去）或α>.

（i）当0<α≤时，g（t）在（－1，1）内无极值点，|g（－1）|＝α，|g

（1）|＝2－3α，|g（－1）|<|g

（1）|，所以A＝2－3α.

（ii）当<α<1时，由g（－1）－g

（1）＝2（1－α）>0，知g（－1）>g

（1）>g（）.

又|g（）|－|g（－1）|＝>0，所以A＝|g（）|＝.

综上，A＝

（3）证明：

由

（1）得|f′（x）|＝|－2αsin2x－（α－1）sinx|≤2α＋|α－1|.

当0<α≤时，|f′（x）|≤1＋α≤2－4α<2（2－3α）＝2A.

当<α<1时，A＝＋＋≥1，所以|f′（x）|≤1＋α<2A.

当α≥1时，|f′（x）|≤3α－1≤6α－4＝2A，所以|f′（x）|≤2A.

9．B7，E6[2016·四川卷]设直线l1，l2分别是函数f（x）＝图像上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（　　）

A．（0，1）B．（0，2）

C．（0，＋∞）D．（1，＋∞）

9．A　[解析]不妨设P1（x1，y1），P2（x2，y2），其中0

由l1，l2分别是点P1，P2处的切线，且f′（x）＝

得l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝.

又l1与l2垂直，且0

l1：

y＝－（x－x1）－lnx1①，

l2：

y＝（x－x2）＋lnx2②，

则点A的坐标为（0，1－lnx1），点B的坐标为（0，－1＋lnx2），

由此可得|AB|＝2－lnx1－lnx2＝2－ln（x1·x2）＝2.

联立①②两式可解得交点P的横坐标xP＝＝，

所以S△PAB＝|AB|·|xP|＝×2×＝≤1，当且仅当x1＝，即x1＝1时，等号成立．

而0

12．B6、B7[2016·浙江卷]已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．

12．4　2　[解析]设t＝logab，则logba＝.∵a>b>1，∴0

B8幂函数与函数的图像

7．B8，B12[2016·全国卷Ⅰ]函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图像大致为（　　）

图1­2

7．D　[解析]易知该函数为偶函数，只要考虑当x≥0时的情况即可，此时y＝2x2－ex.令f（x）＝2x2－ex，则f′（x）＝4x－ex，则f′（0）<0，f′

（1）>0，则f′（x）在（0，1）上存在零点，即f（x）在（0，1）上存在极值，据此可知，只能为选项B，D中的图像．当x＝2时，y＝8－e2<1，故选D.

8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ]若a>b>1，0

A．ac

B．abc

C．alogbc

D．logac

8．C　[解析]根据幂函数性质，选项A中的不等式不成立；选项B中的不等式可化为bc－1＝＝logab，此时>1，0，进而lga

12．B8[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y＝与y＝f（x）图像的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi＋yi）＝（　　）

A．0B．m

C．2mD．4m

12．B　[解析]由f（－x）＝2－f（x）得f（x）的图像关于点（0，1）对称，∵y＝＝1＋的图像也关于点（0，1）对称，

∴两函数图像的交点必关于点（0，1）对称，且对于每一组对称点（xi，yi）和（x′i，y′i）均满足xi＋x′i＝0，yi＋y′i＝2，

∴＝0＋2·＝m.

B9函数与方程

19．B6、B9、B12[2016·江苏卷]已知函数f（x）＝ax＋bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）．

（1）设a＝2，b＝.

①求方程f（x）＝2的根；

②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）－6恒成立，求实数m的最大值；

（2）若01，函数g（x）＝f（x）－2有且只有1个零点，求ab的值．

19．解：

（1）因为a＝2，b＝，所以f（x）＝2x＋2－x.

①方程f（x）＝2，即2x＋2－x＝2，亦即（2x）2－2×2x＋1＝0，

所以（2x－1）2＝0，于是2x＝1，解得x＝0.

②由条件知f（2x）＝22x＋2－2x＝（2x＋2－x）2－2＝[f（x）]2－2.

因为f（2x）≥mf（x）－6对于x∈R恒成立，且f（x）>0，

所以m≤对于x∈R恒成立．

而＝f（x）＋≥2＝4，且＝4，

所以m≤4，故实数m的最大值为4.

（2）因为函数g（x）＝f（x）－2只有1个零点，而g（0）＝f（0）－2＝a0＋b0－2＝0，

所以0是函数g（x）的唯一零点．

因为g′（x）＝axlna＋bxlnb，又由01知lna<0，lnb>0，

所以g′（x）＝0有唯一解x0＝log－.

令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝（axlna＋bxlnb）′＝ax（lna）2＋bx（lnb）2，

从而对任意x∈R，h′（x）>0，所以g′（x）＝h（x）是（－∞，＋∞）上的单调增函数．

于是当x∈（－∞，x0）时，g′（x）g′（x0）＝0.

因而函数g（x）在（－∞，x0）上是单调减函数，在（x0，＋∞）上是单调增函数．

下证x0＝0.

若x0<0，则x0<<0，于是g

又g（loga2）＝aloga2＋bloga2－2>aloga2－2＝0，且函数g（x）在以和loga2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间，loga2上存在g（x）的零点，记为x1.因为0

若x0>0，同理可得，在和logb2之间存在g（x）的非0的零点，矛盾．

因此，x0＝0.

于是－＝1，故lna＋lnb＝0，所以ab＝1.

15．B9[2016·山东卷]已知函数f（x）＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

15．（3，＋∞）　[解析]画出函数f（x）的图像如图所示，根据已知得m>4m－m2，又m>0，解得m>3，故实数m的取值范围是（3，＋∞）．

B10函数模型及其应用

B11导数及其运算

21．B11，B12，E8[2016·四川卷]设函数f（x）＝ax2－a－lnx，其中a∈R.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞－e1－x在区间（1，＋∞）内恒成立（e＝2.718…为自然对数的底数）．

21．解：

（1）f′（x）＝2ax－＝（x>0）．

当a≤0时，f′（x）<0，f（x）在（0，＋∞）内单调递减．

当a>0时，由f′（x）＝0，有x＝，

此时，当x∈（0，）时，f′（x）<0，f（x）单调递减；当x∈（，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）单调递增．

（2）令g（x）＝－，s（x）＝ex－1－x，

则s′（x）＝ex－1－1.

而当x>1时，s′（x）>0，

所以s（x）在区间（1，＋∞）内单调递增．

又s

（1）＝0，所以当x>1时，s（x）>0，

从而当x>1时，g（x）>0.

当a≤0，x>1时，f（x）＝a（x2－1）－lnx<0，

故当f（x）>g（x）在区间（1，＋∞）内恒成立时，必有a>0.

当01.

由

（1）有f（）

（1）＝0，而g（）>0，

所以此时f（x）>g（x）在区间（1，＋∞）内不恒成立．

当a≥时，令h（x）＝f（x）－g（x）（x≥1）．当x>1时，h′（x）＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0.

因此，h（x）在区间（1，＋∞）内单调递增．

又因为h

（1）＝0，所以当x>1时，h（x）＝f（x）－g（x）>0，即f（x）>g（x）恒成立．

综上，a∈[，＋∞）.

B12导数的应用

14．B3，B12[2016·北京卷]设函数f（x）＝

①若a＝0，则f（x）的最大值为________；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是________．

14．①2　②（－∞，－1）　[解析]由（x3－3x）′＝3x2－3＝0，得x＝±1，作出函数y＝x3－3x和y＝－2x的图像，如图所示．①当a＝0时，由图像可得f（x）的最大值为f（－1）＝2.②由图像可知当a≥－1时，函数f（x）有最大值；当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，且－2a>a3－3a，所以a<－1.

17．G1、G7、B12[2016·江苏卷]现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1（如图1­5所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

（1）若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

图1­5

17．解：

（1）由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.

因为A1B1＝AB＝6，

所以正四棱锥P­A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24（m3），

正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288（m3）．

所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312（m3）．

（2）设A1B1＝a（m），PO1＝h（m），则0

因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，

所以2＋h2＝36，即a2＝2（36－h2）．

于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝（36h－h3），0

从而V′＝（36－3h2）＝26（12－h2）．

令V′＝0，得h＝2或h＝－2（舍）．

当00，V是单调增函数；

当2

故h＝2时，V取得极大值，也是最大值．

因此，当PO1＝2m时，仓库的容积最大．

19．B6、B9、B12[2016·江苏卷]已知函数f（x）＝ax＋bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）．

（1）设a＝2，b