贵州省贵阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷.doc

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贵州省贵阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）

A． {0，1} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，1} D． {﹣1，0}

2．（4分）函数y=sin2x是（）

A． 周期为π的奇函数 B． 周期为π的偶函数

C． 周期为的偶函数 D． 周期为的奇函数

3．（4分）已知向量=（2，3），=（cosθ，sinθ）且∥，则tanθ=（）

A． B． ﹣ C． D． ﹣

4．（4分）函数f（x）=log（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点为（）

A． （3，2） B． （2，1） C． （2，2） D． （2，0）

5．（4分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）

A． c＞b＞a B． b＞c＞a C． a＞b＞c D． b＞a＞c

6．（4分）已知tan（α+β）=，tanβ=，则tanα的值为（）

A． B． C． D．

7．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是（）

A． B． ﹣ C． D． ﹣

8．（4分）若向量，满足：

||=，||=2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）

A． B． C． D． π

9．（4分）函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）

A． B． C． D．

10．（4分）若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）

A． （1，+∞） B． （1，8） C．

17．（8分）在梯形中ABCD，AB∥CD，AB=2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设=，=．

（1）在图上作出向量+（不要求写出作法）

（2）请将用，表示．

18．（8分）已知函数f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2﹣x），设h（x）=f（x）+g（x）

（1）求函数h（x）的定义域．

（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由．

19．（8分）设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈

（1）若||=||，求x的值；

（2）设函数f（x）=•，求f（x）的最大值，并指出对应x的值．

20．（8分）已知二次函数f（x）=ax（x﹣1）（a≠0）且其图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数h（x）=|f（x）|+m恰有两个零点，求m的取值范围．

贵州省贵阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）

A． {0，1} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，1} D． {﹣1，0}

考点：

交集及其运算．

专题：

集合．

分析：

根据集合的基本运算进行求解即可．

解答：

解：

∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，

∴A∩B={﹣1，0}，

故选：

D

点评：

本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．（4分）函数y=sin2x是（）

A． 周期为π的奇函数 B． 周期为π的偶函数

C． 周期为的偶函数 D． 周期为的奇函数

考点：

正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．

专题：

三角函数的图像与性质．

分析：

根据三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答：

解：

函数的周期T=，且函数为奇函数，

故选：

A

点评：

本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础．

3．（4分）已知向量=（2，3），=（cosθ，sinθ）且∥，则tanθ=（）

A． B． ﹣ C． D． ﹣

考点：

同角三角函数间的基本关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．

专题：

计算题．

分析：

根据两个向量共线的性质，得到2sinθ﹣3cosθ=0，再同角三角函数的基本关系求得tanθ的值．

解答：

解：

∵向量=（2，3），=（cosθ，sinθ），且∥，∴2sinθ﹣3cosθ=0，

∴tanθ=，故选A．

点评：

本题考查同角三角函数的基本关系，两个向量共线的性质，得到2sinθ﹣3cosθ=0，是解题的关键．

4．（4分）函数f（x）=log（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点为（）

A． （3，2） B． （2，1） C． （2，2） D． （2，0）

考点：

对数函数的图像与性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

由loga1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．

解答：

解：

∵loga1=0，

∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，

则函数y=loga（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．

故选：

C

点评：

本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，属于基础题．

5．（4分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）

A． c＞b＞a B． b＞c＞a C． a＞b＞c D． b＞a＞c

考点：

对数值大小的比较．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

利用指数与对数函数的单调性即可得出．

解答：

解：

∵a=log20.3＜0，b=20.3＞1，0＜c=0.30.2＜1，

∴b＞c＞a．

故选：

B．

点评：

本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．

6．（4分）已知tan（α+β）=，tanβ=，则tanα的值为（）

A． B． C． D．

考点：

两角和与差的正切函数．

专题：

计算题；三角函数的求值．

分析：

由两角和与差的正切函数展开代入已知即可求值．

解答：

解：

∵tan（α+β）===，

∴可解得：

tanα=．

故选：

B．

点评：

本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用，属于基础题．

7．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是（）

A． B． ﹣ C． D． ﹣

考点：

函数的值．

专题：

计算题．

分析：

由函数的解析式求出f（）的，再求出f（f（））的值．

解答：

解：

由题意得，函数f（x）=，

则f（）==﹣1，所以f（f（））=2﹣1=，

故选：

C．

点评：

本题考查分段函数的函数值，以及对数、指数的运算，对于多层函数值，应从内到外依次求值，注意自变量对应的范围．

8．（4分）若向量，满足：

||=，||=2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）

A． B． C． D． π

考点：

平面向量数量积的运算．

专题：

平面向量及应用．

分析：

利用向量垂直，数量积为0，得到（﹣）•=0，展开得到夹角的余弦值的等式解之．

解答：

解：

因为||=，||=2且（﹣）⊥，所以（﹣）•=0，即，

所以2﹣×2cos＜＞=0，

解得cos＜＞=，

所以与的夹角是；

故选B．

点评：

本题考查了向量垂直的性质以及向量的数量积公式的运用求向量的夹角，属于基础题．

9．（4分）函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）

A． B． C． D．

考点：

函数的图象．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．

解答：

解：

函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移个单位得到的．

当a＞1时，函数y=ax﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．

当1＞a＞0时，函数y=ax﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，

故选D．

点评：

本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

10．（4分）若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）

A． （1，+∞） B． （1，8） C．

分析：

由图知，T=π，从而可得ω=2；又y=2sin（2x+φ）的图象经过（，2），可得2×+φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，于是可得φ的值．

解答：

解：

由图知，T=π﹣（﹣）=π，

所以ω===2；又y=2sin（2x+φ）的图象经过（，2），

所以2×+φ=2kπ+，k∈Z．

所以φ=2kπ+，k∈Z．

又|φ|＜，

所以φ=，

故ω和φ的值分别是：

ω=2，φ=；

故答案为：

ω=2，φ=．

点评：

本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，由周期确定ω，再由曲线过定点确定φ是解决问题的关键，属于中档题．

15．（5分）已知向量=（1，7）=（5，1）（O为坐标原点），设M是函数y=x所在直线上的一点，那么•的最小值是﹣8．

考点：

平面向量数量积的运算．

专题：

平面向量及应用．

分析：

设出M的坐标，求出，的坐标，求出•的表达式，结合二次函数的性质从而得到答案．

解答：

解：

设M的坐标是（x，x），

则=（1﹣x，7﹣x），=（5﹣x，1﹣x），

∴•=（1﹣x）（5﹣x）+（x﹣1）（x﹣7）

=x2﹣10x+12

=（x﹣4）2﹣8，

故答案为：

﹣8．

点评：

本题考查了平面向量数量积的运算，考查了二次函数的性质，是一道基础题．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）

16．（8分）已知f（α）=．

（1）化简f（α）．

（2）若α为第三象限角，且cos（π﹣α）=，求f（α）的值．

考点：

同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．

专题：

三角函数的求值．

分析：

（1）f（α）解析式利用诱导公式化简，约分即可得到结果；

（2）已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，即可确定出f（α）的值．

解答：

解：

（1）f（α）==﹣cosα；

（2）∵α为第三象限角，且cos（π﹣α）=﹣sinα=，

即sinα=﹣，

∴cosα=﹣=﹣，

则f（α）=﹣cosα=．

点评：

此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

17．（8分）在梯形中ABCD，AB∥CD，AB=2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设=，=．

（1）在图上作出向量+（不要求写出作法）

（2）请将用，表示．

考点：

平面向量的基本定理及其意义．

专题：

平面向量及应用．

分析：

（1）如图所示，连接NC，在四边形ANCD中，由AB∥CD，AB=2CD，N是AB的中点，可得AN=CD，四边形ANCD是平行四边形，可得=．

（2）由M，N分别是CD，AB的中点，可得=﹣，，代入即可得出．

解答：

解：

（1）如图所示，连接NC，在四边形ANCD中，

∵AB∥CD，AB=2CD，N是AB的中点，

∴AN=CD，

∴四边形ANCD是平行四边形，

∴==+．

（2）∵M，N分别是CD，AB的中点，

∴=﹣，

，

∴

=

=．

点评：

本题考查了向量的多边形法则、平行四边形的判定与性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（8分）已知函数f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2﹣x），设h（x）=f（x）+g（x）

（1）求函数h（x）的定义域．

（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由．

考点：

函数奇偶性的判断；对数函数的定义域．

专题：

综合题．

分析：

（1）根据对数函数的性质可知，使真数大于0即可，分别求出f（x）与g（x）的定义域，然后求出它们的交集即可；

（2）根据定义域是对称的，求出f（﹣x）与f（x）的关系，再根据奇偶性的定义进行判定即可．

解答：

解：

（1）由，得﹣2＜x＜2

所以函数h（x）的定义域是{x|﹣2＜x＜2}

（2）∵h（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=h（x）

∴函数h（x）为偶函数

点评：

本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及对数函数的定义域，属于基础题．

19．（8分）设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈

（1）若||=||，求x的值；

（2）设函数f（x）=•，求f（x）的最大值，并指出对应x的值．

考点：

两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的最值．

专题：

三角函数的图像与性质；平面向量及应用．

分析：

（1）求出||2，||2，利用向量的模相等，即可求x的值；

（2）通过•以及两角和与差的三角函数化简函数为一个简单一个三角函数的形式，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求f（x）的最大值，并指出对应x的值．

解答：

解：

（1）由||2=（sinx）2+sin2x=4sin2x，

||2=cos2x+sin2x=1，及||=||，得4sin2x=1．

又x∈，从而sinx=，所以x=．…（6分）

（2）f（x）=•=sinx•cosx+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，

当x=∈时，sin（2x﹣）取最大值1．

所以f（x）的最大值为．…（12分）

点评：

本题考查两角和与差的三角函数以及向量的数量积、向量的模，考查分析问题解决问题的能力．

20．（8分）已知二次函数f（x）=ax（x﹣1）（a≠0）且其图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数h（x）=|f（x）|+m恰有两个零点，求m的取值范围．

考点：

二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）先求出函数的顶点，根据顶点在函数y=log2x的图象上，顶点﹣=，解出a的值，从而求出函数的表达式；

（2）根据f（x）的解析式，由函数图象的对折变换得到函数y=|f（x）|的图象，再由h（x）=|f（x）|+m恰有2个零点，则函数y=|f（x）|的图象与直线y=﹣m有且只有两个交点，数形结合得到m的取值范围．

解答：

解：

（1）设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），

顶点坐标为（，﹣），

∵顶点在函数y=log2x的图象上，

∴﹣=，解得a=4，

∴f（x）=4x2﹣4x．

（2）由

（1）得：

f（x）=4x（x﹣1），

则函数y=|f（x）|的图象如下图所示：

若h（x）=|f（x）|+m恰有2个零点，

则函数y=|f（x）|的图象与直线y=﹣m有且只有两个交点，

故﹣m＞1，或﹣m=0，

则m＜﹣1或m=0．

点评：

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，函数图象的对折变换，函数的零点，是函数的综合应用，难度中档．