高三文科数学一轮复习之名校解析试题分类汇编10概率.doc
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2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编10：
概率
一、选择题
．（【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学文（a））已知集合,在区间上任取一实数,则“”的概率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C【解析】,
所以,因为,所以.根据几何概型可知的概率为,选C.
．（【解析】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）从中随机选取一个数为a从中随机选取一个数b,则的概率是
A. B. C. D.
【答案】C从两个集合中各选1个数有15种,满足的数有,共有6个,所以的概率是,选C.
．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）设上随机地取值,则关于x的方程有实数根的概率为
A. B. C. D.
【答案】C方程有实根,则,解得或（舍去）.所以由几何概型可知所求的概率为,选C.
二、填空题
．（【解析】山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则的值为________________.
【答案】1【解析】由题意知,所以.第三列和第五列的公比都为,所以,所以,即.,所以
.
．（【解析】山东省临沂市2013届高三3月教学质量检测考试（一模）数学（文）试题）已知向量a=（1,-2）,b=（x,y）,若x,y∈[1,4],则满足的概率为_____.
【答案】因为,所以,又.做出可行域如图,当时,,即.当时,,即,所以,即三角形BCD的面积为.所以由几何概型可知满足的概率为.
三、解答题
．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）某校从高一年级学生中随机抽取50名学生,将他们的期中考试数学成绩（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）分成六段:
得到如图所示的频率分布直方图.
（I）若该校高一年级共有学生1000人,试估计成绩不低于60分的人数;
（II）为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组,即从成绩中选两位同学,共同帮助中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分,乙同学的成绩为95分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.
【答案】解:
（Ⅰ）根据频率分布直方图,
成绩不低于60分的频率为
由于该校高一年级共有学生1000人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数为
人
（Ⅱ）成绩在分数段内的人数为人
成绩在分数段内的人数为人,
[40,50）内有2人,记为甲、A.[90,100）内有5人,记为乙、B、C、D、.
则“二帮一”小组有以下20种分组办法:
甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙,甲BC,
甲BD,甲B,甲CD,甲C,甲DE,A乙B,A乙C,A乙D,A乙E,ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE
其中甲、乙两同学被分在同一小组有4种办法:
甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙
所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为
．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试文科数学）某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了40名学生的政治成绩,这40名学生的成绩全部在40分至l00分之间,据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图.
（I）求成绩在[80,90）的学生人数;
（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生,求至少有l名学生成绩在[90,100]的概率.
【答案】解:
（Ⅰ）因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间的频率为
所以,40名学生中成绩在区间的学生人数为（人）
（Ⅱ）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生,至少有一
名学生成绩在区间内”,
由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间内的学生有4人,
记这四个人分别为,
成绩在区间内的学生有2人,记这两个人分别为
则选取学生的所有可能结果为:
基本事件数为15,
事件“至少一人成绩在区间之间”的可能结果为:
基本事件数为9,
S
B
C
D
A
M
N
所以
．（【解析】山东省济南市2013届高三3月高考模拟文科数学）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以x表示.
甲组
0
1
x
8
2
9
2
1
9
乙组
第18题图
（1）如果x=7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差;
（2）如果x=9,从学习次数大于8的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.
【答案】解
（1）当x=7时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:
7,8,9,12,所以平均数为
方差为
（2）记甲组3名同学为A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数依次为9,12,11;乙组4名同学为B1,B2,B3,B4,他们去图书馆学习次数依次为9,8,9,12;从学习次数大于8的学生中人选两名学生,所有可能的结果有15个,它们是:
A1A2,A1A3,A1B1,A1B3,A1B4,A2A3,A2B1,A2B3,A2B4,A3B1,A3B3,A3B4,
B1B3,B1B4,B3B4
用C表示:
“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件,则C中的结果有5个,它们是:
A1B4,A2B4,A2B3,A2B1,A3B4,
故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为
．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学）某普通高中共有教师人,分为三个批次参加研修培训,在三个批次中男、女教师人数如下表所示:
第一批次
第二批次
第三批次
女教师
男教师
已知在全体教师中随机抽取1名,抽到第二、三批次中女教师的概率分别是、.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）为了调查研修效果,现从三个批次中按的比例抽取教师进行问卷调查,三个批次被选取的人数分别是多少?
（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈,求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率.
【答案】解:
（Ⅰ）
（Ⅱ）由题意知,三个批次的人数分别是,所以被选取的人数分别为
（Ⅲ）第一批次选取的三个教师设为,第二批次的教师为,第三批次的教师设为,则从这名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为共15个
“来自两个批次”的事件包括
共11个,
所以“来自两个批次”的概率
．（【解析】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学）从某学校的名男生中随机抽取名测量身高,被测学生身高全部介于cm和cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:
第一组[,）,第二组[,）,,第八组[,],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为人.
（Ⅰ）求第七组的频率;
（Ⅱ）估计该校的名男生的身高的中位数以及身高在cm以上（含cm）的人数;
（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,事件{},事件{},求.
身高（cm）
频率/组距
【答案】（Ⅰ）第六组的频率为,所以第七组的频率为
;
（Ⅱ）身高在第一组[155,160）的频率为,
身高在第二组[160,165）的频率为,
身高在第三组[165,170）的频率为,
身高在第四组[170,175）的频率为,
由于,
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为,则
由得
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为
由直方图得后三组频率为,
所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为人
（Ⅲ）第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人,设为,则有共15种情况,
因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件包含的基本事件为共7种情况,故
由于,所以事件{}是不可能事件,
由于事件和事件是互斥事件,所以
．（【解析】山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（文））（本小题满分l2分）
为了增强学生的环保意识,某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛,本次竞赛的成绩（得分均为整数,满分100分）整理得到的频率分布直方图如下图.若图中第一组（成绩为[40,50））对应矩形高是第六组（成绩为[90,100]）对应矩形高的一半.
（1）试求第一组、第六组分别有学生多少人?
（2）若从第一组中选出一名学生,从第六组中选出2名学生,共3名学生召开座谈会,求第一组中学生A1和第六组中学生B1同时被选中的概率.
【答案】
．（【解析】山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（文）试题）有编号为A1,A2,A3,,A6的6位同学,进行100米赛跑,得到下面的成绩:
其中成绩在13秒内的同学记为优秀.
（l）从上述6名同学中,随机抽取一名,求这名同学成绩优秀的概率;
（2）从成绩优秀的同学中,随机抽取2名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率.
【答案】
．（【解析】山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学）某班名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒与秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:
第一组,第二组,,第五组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）若成绩大于或等于秒且小于秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数;
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于的概率.
频率/组距
0.08
0.24
0.28
0.36
0.04
秒
131415161718
（第20题）
【答案】解:
（1）由频率分布直方图知,成绩在内的人数为:
（人）
所以该班成绩良好的人数为人
（2）由频率分布直方图知,成绩在的人数为人,设为、;
成绩在的人数为人,设为、、、
若时,有种情况;
若时,有种情况;
若分别在和内时,
A
B
C
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
共有种情况
所以基本事件总数为种,事件“”所包含的基本事件个数有种.
∴（）
．（【解析】山东省烟台市2013届高三5月适应性练习
（一）文科数学）有一个不透明的袋子,装有3个完全相同的小球,球上分别编有数字l,2,3.
（1）若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率;
（2）若先从袋中随机取一个球,该球的编号为a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为b,求直线ax+by+1=0与圆x2+y2=有公共点的概率.
【答案】
．（【解析】山东省临沂市2013届高三5月高考模拟文科数学）某高校组织的自主招生考试,共有1000名同学参加笔试,成绩均介于60分到100分之间,从中随机抽取50名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分为4组:
第1组[60,70）,第2组[70,80）,第3组[80,90）,第4组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.
（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中,有面试资格的人数;
（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格,且甲的笔试比乙的高;面试时,要求每人回答两个问题,假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均为;
若甲答对题的个数不少于乙,则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.
第20题图
得分
100
90
80
70
60
o
0.036
0.03
0.014
频率/组距
【答案】解:
（Ⅰ）设第组的频率为,则由频率分布直方图知
所以成绩在85分以上的同学的概率P≈
故这1000名同学中,取得面试资格的约有1000×0.38=380人.
（Ⅱ）设答对记为1,打错记为0,则所有可能的情况有:
甲00乙00,甲00乙10,甲00乙01,甲00乙11,甲10乙00,甲10乙10,甲10乙01,
甲10乙11,甲01乙00,甲01乙10,甲01乙01,甲01乙11,甲11乙00,甲11乙10,
甲11乙01,甲11乙11,共16个
甲答对题的个数不少于乙的情况有:
甲00乙00,甲10乙00,甲10乙10,甲10乙01,甲01乙00,甲01乙10,甲01乙01,
甲11乙00,甲11乙01,甲11乙10,甲11乙11,共11个
故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为.
．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试文科数学）若人们具有较强的节约意识,到饭店就餐时吃光盘子里的东西或打包带走,称为“光盘族”,否则称为“非光盘族”某班几位同学组成研究性学习小组,从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查得到如下统计表:
（I）求a、b的值并估计本社区[25,55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例;
（Ⅱ）从年龄段在[35,45）的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动,并从这8人中选取2人作为领队,求选取的2名领队分别来自[35,40）与[40,45）两个年龄段的概率.
【答案】解:
（1）第一组的人数为50,第一组的频率为,所以人
所以光盘族占比为
．（【解析】山东省德州市2013届高三3月模拟检测文科数学）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率颁直方图如下:
（1求出表中M,p及图中a的值;
（2）在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30]内的概率.
【答案】
．（【解析】山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
X
1
2
3
4
5
频率
a
0.2
0.45
b
c
（1）若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;
（2）在
（1）的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同）,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
【答案】解答:
（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,a+b+c=0.35
因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b==0.15
等级系数为5的恰有2件,所以c==0.1
从而a=0.35-b-c=0.1
所以a=0.1b=0.15c=0.1
（2）从日用品,,,,中任取两件,所有可能结果（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）共10种,
设事件A表示“从日用品,,,,中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为（,）,（,）,（,）,（,）共4个,
故所求的概率P（A）==0.4
．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学文）某学校组织500名学生体检,按身高（单位:
cm）分组:
第1组[155,160）,第2组[160,165）,第3组[165,170）,第4组[170,175）,第5组[175,180],得到的频率分布直方图如图所示.
（1）下表是身高的频数分布表,求正整数m,n的值;
（2）现在要从第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,第1,2,3组应抽取的人数分别是多少?
（3）在
（2）的前提下,从这6人中随机抽取2人,求至少有1人在第3组的概率.
【答案】
．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题）有六张纸牌,上面分别写有1,2,3,4,5,6六个数字,甲、乙两人玩一种游戏:
甲先取一张牌,记下点数,放回后乙再取一张牌,记下点数.如果两个点数的和为偶数就算甲胜,否则算乙胜.
（1）求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率;
（2）这种游戏规则公平吗?
说明理由.
【答案】解:
（1）设“甲胜且点数的和为6”为事件A,甲的点数为x,乙的点数为y,则（x,y）表示一个基本事件
两人取牌结果包括（1,1）,（1,2）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（6,1）,（6,6）共36个基本事件;
A包含的基本事件有（1,5）,（2,4）,（3,3）（4,2）,（5,1）共5个,
所以
所以,编号之和为6且甲胜的概率为
（2）这种游戏公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.甲胜即两个点数的和为偶数
所包含基本事件为以下18个:
（1,1）,（1,3）,（1,5）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,1）,（3,3）,（3,5）,（4,2）,（4,4）,（4,6）,（5,1）,（5,3）（5,5）,（6,2）,（6,4）,（6,6）
所以甲胜的概率为
．（【解析】山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（文）试题）甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了、、、四所需要面试的院校,这四所院
校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设每位
同学选择各个院校是等可能的,试求:
（Ⅰ）甲、乙选择同一所院校的概率;
（Ⅱ）院校、至少有一所被选择的概率.
【答案】
．（【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学文（a））M公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位:
分）,公司规定:
成绩在180分以上者到“甲部门”工作;180分以下者到“乙部门”工作.
（I）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值;
（II）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?
【答案】
．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试文科数学）为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、18人、36人.
（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数;
（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比,求这2人中至少有一人是高三学生家长的慨率.
【答案】解:
（Ⅰ）家长委员会人员总数为54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为,故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为3,1,2人
（Ⅱ）设为从高一抽得的3个家长,为从高二抽得的1个家长,为从高三抽得的2个家长.
则抽取的全部结果有:
（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）共15种,
令“至少有一人是高三学生家长”,结果有（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）共9种
所以这2人中至少有1人是高三学生家长的概率是
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