必修一函数的单调性专题讲解(经典).doc

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高一升高二个辅资料第三课时第二次课

第一章函数的基本性质之单调性

一、基本知识

1．定义：

对于函数，对于定义域内的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是增（或减）函数。

重点2．证明方法和步骤：

（1）取值：

设是给定区间上任意两个值，且；

（2）作差：

；

（3）变形：

（如因式分解、配方等）；

（4）定号：

即；

（5）根据定义下结论。

3．常见函数的单调性

时，在R上是增函数；k<0时，在R上是减函数

（2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数，

（k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数，

（3）二次函数的单调性：

对函数，

当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；

当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小；

4．复合函数的单调性：

复合函数在区间具有单调性的规律见下表：

增↗

减↘

增↗

减↘

增↗

减↘

增↗

减↘

减↘

增↗

以上规律还可总结为：

“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

在函数、公共定义域内，

增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数．

5．函数的单调性的应用：

判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

例题分析

例1：

证明函数f（x）=在（0，+∞）上是减函数。

例2：

证明在定义域上是增函数。

例3：

证明函数f（x）=x3的单调性。

例4：

讨论函数y＝在[－1,1]上的单调性．

例5：

讨论函数f（x）＝的单调性．

例6：

讨论函数的单调性

例7：

求函数的单调区间。

习题：

求函数的单调区间。

例8：

设f（x）在定义域内是减函数，且f（x）＞0，在其定义域内判断函数y＝[f（x）]2.的单调性

例9：

若f（x）＝，则f（x）的单调增区间是________，单调减区间是________．

例10：

对于任意x＞0，不等式x2+2x-a＞0恒成立，求实数a的取值范围。

例11：

若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数m的值为

习题：

若函数,在上是增函数，则实数m的范围为;

例12：

若定义在R上的单调减函数f（x）满足，求a的取值范围。

习题：

若定义在上的单调减函数f（x）满足，求a的取值范围。

针对性训练

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．函数y＝－x2的单调减区间为（　　）

A．（－∞，0]　　B．[0，＋∞）C．（－∞，0）D．（－∞，＋∞）

2．若函数y＝kx＋b是R上的减函数，那么（　　）

A．k<0B．k>0C．k≠0D．无法确定

3．下列函数在指定区间上为单调函数的是（　　）

A．y＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）

B．y＝，x∈（1，＋∞）

C．y＝x2，x∈R

D．y＝|x|，x∈R

4．已知函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则（　　）

A．f（－1）

（1）

（2）B．f

（1）

（2）

C．f

（2）

（1）D．f

（1）

（2）

二、填空题（每小题5分，共10分）

5．若f（x）是R上的增函数，且f（x1）＞f（x2），则x1与x2的大小关系是________．

6．设函数f（x）是（－∞，＋∞）上的减函数，则f（a2＋1）与f（a）的大小是________．

三、解答题（每小题10分，共20分）

7．求函数f（x）＝的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．

8．定义在（－1,1）上的函数f（x）是减函数，且满足f（1－a）＜f（a），求实数a的取值范围．

9．（10分）函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求a的取值范围．