故
，即f（x1）-f（x2）>0
∴x1f（x2）
上是减函数.
总结升华：
可以用同样的方法证明此函数在
上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间
2.判断下列函数的单调区间；
（1）y=x2-3|x|+2；
（2）
解：
（1）由图象对称性，画出草图
∴f（x）在
上递减，在
上递减，在
上递增.
（2）
∴图象为
∴f（x）在
上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
（1）y=|x+1|；
（2）
（3）
.
解：
（1）
画出函数图象，
∴函数的减区间为
，函数的增区间为（-1，+∞）；
（2）定义域为
，
其中u=2x-1为增函数，
在（-∞，0）与（0，+∞）为减函数，则
上为减函数；
（3）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
单调增区间为：
（-∞，0），单调减区间为（0，+∞）.
总结升华：
[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；
[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
[3]复合函数的单调性分析：
先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：
内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.
类型三、单调性的应用（比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值）
3.已知函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，比较f（a2-a+1）与
的大小.
解：
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，则
.
4.求下列函数值域：
（1）
；1）x∈[5，10]；2）x∈（-3，-2）∪（-2，1）；
（2）y=x2-2x+3； 1）x∈[-1，1]；2）x∈[-2，2].
思路点拨：
（1）可应用函数的单调性；
（2）数形结合.
解：
（1）
2个单位，再上移2个单位得到，如图
1）f（x）在[5，10]上单增，
；
2）
；
（2）画出草图
1）y∈[f
（1），f（-1）]即[2，6]；
2）
.
举一反三：
【变式1】已知函数
.
（1）判断函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，3]时，求函数f（x）的值域.
思路点拨：
这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.
，第二问即是利用单调性求函数值域.
解：
（1）
上单调递增，在
上单调递增；
（2）
故函数f（x）在[1，3]上单调递增
∴x=1时f（x）有最小值，f
（1）=-2
x=3时f（x）有最大值
∴x∈[1，3]时f（x）的值域为
.
5.已知二次函数f（x）=x2-（a-1）x+5在区间
上是增函数，求：
（1）实数a的取值范围；
（2）f
（2）的取值范围.
解：
（1）∵对称轴
是决定f（x）单调性的关键，联系图象可知
只需
；
（2）∵f
（2）=22-2（a-1）+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4
∴f
（2）=-2a+11≥-4+11=7
.
举一反三：
【变式1】（2011北京理13）已知函数
，若关于x的方程
有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
解：
单调递减且值域（0,1]，
单调递增且值域为
，
由图象知，若
有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.
类型四、判断函数的奇偶性
6.判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）f（x）=x2-4|x|+3 （4）f（x）=|x+3|-|x-3| （5）
（6）
（7）
思路点拨：
根据函数的奇偶性的定义进行判断.
解：
（1）∵f（x）的定义域为
，不关于原点对称，因此f（x）为非奇非偶函数；
（2）∵x-1≥0，∴f（x）定义域
不关于原点对称，∴f（x）为非奇非偶函数；
（3）对任意x∈R，都有-x∈R，且f（-x）=x2-4|x|+3=f（x），则f（x）=x2-4|x|+3为偶函数；
（4）∵x∈R，f（-x）=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f（x），∴f（x）为奇函数；
（5）
，∴f（x）为奇函数；
（6）∵x∈R，f（x）=-x|x|+x∴f（-x）=-（-x）|-x|+（-x）=x|x|-x=-f（x），∴f（x）为奇函数；
（7）
，∴f（x）为奇函数.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
（1）
；
（2）f（x）=|x+1|-|x-1|；（3）f（x）=x2+x+1；
（4）
.
思路点拨：
利用函数奇偶性的定义进行判断.
解：
（1）
；
（2）f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=-（|x+1|-|x-1|）=-f（x）∴f（x）为奇函数；
（3）f（-x）=（-x）2+（-x）+1=x2-x+1
∴f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x）∴f（x）为非奇非偶函数；
（4）任取x>0则-x<0，∴f（-x）=（-x）2+2（-x）-1=x2-2x-1=-（-x2+2x+1）=-f（x）
任取x<0，则-x>0f（-x）=-（-x）2+2（-x）+1=-x2-2x+1=-（x2+2x-1）=-f（x）
x=0时，f（0）=-f（0）∴x∈R时，f（-x）=-f（x）∴f（x）为奇函数.
举一反三：
【变式2】已知f（x），g（x）均为奇函数，且定义域相同，求证：
f（x）+g（x）为奇函数，f（x）·g（x）为偶函数.
证明：
设F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）·g（x）则
F（-x）=f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-[f（x）+g（x）]=-F（x）
G（-x）=f（-x）·g（-x）=-f（x）·[-g（x）]=f（x）·g（x）=G（x）
∴f（x）+g（x）为奇函数，f（x）·g（x）为偶函数.
类型五、函数奇偶性的应用（求值，求解析式，与单调性结合）
7．已知f（x）=x5+ax3-bx-8，且f（-2）=10，求f
（2）.
解：
法一：
∵f（-2）=（-2）5+（-2）3a-（-2）b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50∴f
（2）=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：
令g（x）=f（x）+8易证g（x）为奇函数
∴g（-2）=-g
（2）∴f（-2）+8=-f
（2）-8
∴f
（2）=-f（-2）-16=-10-16=-26.
举一反三：
【变式1】（2011湖南文12）已知
为奇函数，
，则
为：
．
解：
，又
为奇函数，所以
．
8.f（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f（x）=x2-x，求当x≥0时，f（x）的解析式，并画出函数图象.
解：
∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=（-x）2-（-x）
即y=-x2-x又f（0）=0，
，如图
9．设定义在[-3，3]上的偶函数f（x）在[0，3]上是单调递增，当f（a-1） 解：
∵f（a-1） 而|a-1|，|a|∈[0，3]
.
类型六、综合问题
10．定义在R上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间
的图象与f（x）的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.
①f（b）-f（-a）>g（a）-g（-b）；②f（b）-f（-a） ③f（a）-f（-b）>g（b）-g（-a）；④f（a）-f（-b） 答案：
①③.
11.求下列函数的值域：
（1）
（2）
（3）
思路点拨：
（1）中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；
（2）由单调性求值域，此题也可换元解决；（3）单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.
解：
（1）
；
（2）
经观察知，
，
；
（3）令
.
12.已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1.
（1）若函数f（x）在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的最小值g（a），并画出最小值函数y=g（a）的图象.
解：
（1）∵f（x）=（x-a）2-1∴a≤0或a≥2
（2）1°当a<-1时，如图1，g（a）=f（-1）=a2+2a
2°当-1≤a≤1时，如图2，g（a）=f（a）=-1
3°当a>1时，如图3，g（a）=f
（1）=a2-2a
，如图
13.已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，f
（2）=1，且定义域上任意x、y都满足f（xy）=f（x）+f（y），解不等式：
f（x）+f（x-2）≤3.
解：
令x=2，y=2，∴f（2×2）=f
（2）+f
（2）=2∴f（4）=2
再令x=4，y=2，∴f（4×2）=f（4）+f
（2）=2+1=3∴f（8）=3
∴f（x）+f（x-2）≤3可转化为：
f[x（x-2）]≤f（8）
.
14.判断函数
上的单调性，并证明.
证明：
任取0
∵00
（1）当
时
0 ∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2）
上是减函数.
（2）当x1，x2∈（1，+∞）时，
上是增函数.
难点：
x1·x2-1的符号的确定，如何分段.
15.设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f（x）的奇偶性，并求f（x）的最小值.
解：
当a=0时，f（x）=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；
当a≠0时，f（x）=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
（1）当x≥a时，
[1]
且
[2]
上单调递增，
上的最小值为f（a）=a2+1.
（2）当x [1]
上单调递减，
上的最小值为f（a）=a2+1
[2]
上的最小值为
综上：
.
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