高中数列知识点、解题方法和题型大全.doc

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高中数列知识点、解题方法和题型大全

一高中数列知识点总结

1.等差数列的定义与性质 2

2.等比数列的定义与性质 3

二解题方法 4

1求数列通项公式的常用方法 4

（1）求差（商）法 4

（2）叠乘法 4

（3）等差型递推公式 4

（4）等比型递推公式 5

（5）倒数法 5

2求数列前n项和的常用方法 6

（1）裂项法 6

（2）错位相减法 6

（3）倒序相加法 7

三方法总结及题型大全 9

一高中数列知识点总结

1.等差数列的定义与性质

定义：

（为常数），

等差中项：

成等差数列

前项和

性质：

是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：

当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

（6）项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

，.

2.等比数列的定义与性质

定义：

（为常数，），.

等比中项：

成等比数列，或.

前项和：

（要注意！

）

性质：

是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：

由求时应注意什么？

时，；

时，.

二解题方法

1求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：

数列，，求

解时，，∴ ①

时， ②

①—②得：

，∴，∴

［练习］数列满足，求

注意到，代入得；又，∴是等比数列，

时，

（2）叠乘法

如：

数列中，，求

解，∴又，∴.

（3）等差型递推公式

由，求，用迭加法

时，两边相加得

∴

［练习］数列中，，求（）

（4）等比型递推公式

（为常数，）

可转化为等比数列，设

令，∴，∴是首项为为公比的等比数列

∴，∴

（5）倒数法

如：

，求

由已知得：

，∴

∴为等差数列，，公差为，∴，

∴

（附：

公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法）

2求数列前n项和的常用方法

（1）裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：

是公差为的等差数列，求

解：

由

∴

［练习］求和：

（2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

如：

①

②

①—②

时，，时，

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

相加

［练习］已知，则

由

∴原式

（附：

a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：

等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：

首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f（n），其中f（n）是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f（n），代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。

f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

）

三方法总结及题型大全

方法技巧

数列求和的常用方法

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

4、

例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．

（1）求数列的等差数列．

（2）令求数列的前项和．

解：

（1）由已知得解得．

设数列的公比为，由，可得．

又，可知，即，

解得．由题意得．

．故数列的通项为．

（2）由于由

（1）得

，又

是等差数列．

故．

练习：

设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

解：

由等差数列求和公式得，（利用常用公式）

∴＝

＝＝

∴当，即n＝8时，

二、错位相减法

设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。

例2（07高考天津理21）在数列中，，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅰ）解：

由，，

可得，

所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．

（Ⅱ）解：

设，　　　①

　　　　　　　　②

当时，①式减去②式，

得，

．

这时数列的前项和．

当时，．这时数列的前项和．

例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

解：

（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得，．

所以，

．

（Ⅱ）．

，①

，②

②－①得，

．

三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

例4（07豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2），若,且点P的横坐标为.

（I）求证：

P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（II）若

（III）略

（I）∵,且点P的横坐标为.

∴P是的中点，且

由（I）知，

，

（1）+

（2）得：

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）等。

例5求数列的前n项和.

解：

设（裂项）

则（裂项求和）

＝

＝

例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

解：

（Ⅰ）设这二次函数f（x）＝ax2+bx（a≠0）,则f`（x）=2ax+b,由于f`（x）=6x－2,得

a=3,b=－2,所以f（x）＝3x2－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故Tn＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

评析：

一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：

首先考虑则=。

下列求和：

也可用裂项求和法。

五、分组求和法

所谓分组法求和就是：

对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例7数列{an}的前n项和，数列{bn}满.

（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

解析：

（Ⅰ）由，

两式相减得：

，

同定义知是首项为1，公比为2的等比数列.

（Ⅱ）

等式左、右两边分别相加得：

=

　例8求（）

解：

⑴　当为偶数时，

；

⑵　当为奇数时，

综上所述，．

点评：

分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.

六、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

例9求之和.

解：

由于（找通项及特征）

∴

＝（分组求和）

＝

＝

＝

例10已知数列{an}：

的值.

解：

∵（找通项及特征）

＝（设制分组）

＝（裂项）

∴（分组、裂项求和）

＝

＝

类型1

解法：

把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法）求解。

例:

已知数列满足，，求。

解：

由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

，

类型2

解法：

把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例:

已知数列满足，，求。

解：

由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

例:

已知，，求。

。

类型3（其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：

把原递推公式转化为：

，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:

已知数列中，，，求.

解：

设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且

.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则

所以.

变式:

递推式：

。

解法：

只需构造数列，消去带来的差异．

类型4（其中p，q均为常数，）。

（,其中p，q,r均为常数）。

解法：

一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：

再待定系数法解决。

例:

已知数列中，,，求。

解：

在两边乘以得：

令，则,解之得：

所以

类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法一（待定系数法）：

先把原递推公式转化为其中s，t满足

解法二（特征根法）：

对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。

若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列：

，，求数列的通项公式。

由，得

，且。

则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是

。

把代入，得，，

，

。

把以上各式相加，得

。

。

解法二（特征根法）：

数列：

，的特征方程是：

。

。

又由，于是

故

例:

已知数列中，,,，求。

解：

由可转化为

即或

这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则

是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即

又，所以

。

类型6递推公式为与的关系式。

（或）

解法：

这种类型一般利用与

消去或与消去

进行求解。

例：

已知数列前n项和.

（1）求与的关系；

（2）求通项公

式.

解：

（1）由得：

于是

所以.

（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））

的方法，上式两边同乘以得：

由

.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

类型7

解法：

这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。

例:

设数列：

，求.

解：

设，将代入递推式，得

…（１）则,又，故

代入（１）得

说明：

（1）若为的二次式，则可设

;

（2）本题也可由

（）两式相减得转化为

求之.

【知识点】：

1.等差数列前N项和

公式S=（A1+An）N/2            即：

      [（首项+末项）*项数]/2

等差数列公式求和公式Sn=n（a1+an）/2或Sn=na1+n（n-1）d/2    即：

 项数*首项+项数*（项数-1）*公差/2

2.等比数列前n项和

设a1,a2,a3...an构成等比数列　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^（n-2）+a1*q^（n-1）（这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解）

 　　Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=（a1-an*q）/（1-q）;    q:

公比 

【例】、已知数列满足，，则通项公式

an=3^（n-1）+a（n-1）

--->an-a（n-1）=3^（n-1）

同样a（n-1）-a（n-2）=3^（n-2）

……a（n-2（-a（n-3）=3^（n-3）

……………………

……a3-a2=3^2

……a2-a1=3^1

以上的n个等式的两边相加得到

An-a1=3+3^2+……+3^（n-1）=3（1-3^n-1）/（1-3）=（3^n-1）/2

1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

（1）定义法：

对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

（2）通项公式法：

①若 = +（n-1）d= +（n-k）d，则为等差数列；

②若 ，则为等比数列。

（3）中项公式法：

验证中项公式成立。

2.在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：

（1）当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.

（2）当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：

公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

注意事项

1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

3．注意与之间关系的转化。

如：

=，=．

4．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题

例1.数列的前项和记为（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。

解：

（Ⅰ）由可得，两式相减得

又∴故是首项为，公比为得等比数列∴

（Ⅱ）设的公比为由得，可得，可得

故可设又

由题意可得解得

∵等差数列的各项为正，∴∴∴

例2.设数列的前项和为，且对任意正整数，。

（1）求数列的通项公式？

（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？

.解

（1）∵an+Sn=4096,∴a1+S1=4096,a1=2048.

当n≥2时,an=Sn－Sn－1=（4096－an）－（4096－an－1）=an－1－an∴=an=2048（）n－1.

（2）∵log2an=log2[2048（）n－1]=12－n,∴Tn=（－n2+23n）.

由Tn<－509,解得n>,而n是正整数,于是,n≥46.∴从第46项起Tn<－509.

【问题2】等差、等比数列的判定问题．

例3.已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．

（1）求证：

数列是等比数列；

（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；

（3）若

（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．

（1）[证明]当n=1时,a2=2a,则=a；

2≤n≤2k－1时,an+1=（a－1）Sn+2,an=（a－1）Sn－1+2,

an+1－an=（a－1）an,∴=a,∴数列{an}是等比数列.

（2）解：

由

（1）得an=2a,∴a1a2…an=2a=2a=2,

bn=（n=1,2,…,2k）.

（3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时,bn<；

当n≥k+1时,bn>.

原式=（－b1）+（－b2）+…+（－bk）+（bk+1－）+…+（b2k－）

=（bk+1+…+b2k）－（b1+…+bk）

==.

当≤4,得k2－8k+4≤0,4－2≤k≤4+2,又k≥2,

∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

例4。

已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：

数列是等比数列；⑵设数列，求证：

数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。

分析：

由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．

解：

（1）由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4（a-a），即a=4a-4a．（根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练）

a-2a=2（a-2a），又b=a-2a，所以b=2b　　　①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　②

由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．

当n≥2时，S=4a+2=2（3n-4）+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为S=2（3n-4）+2．

说明：

1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。

解决本题的关键在于由条件得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

【问题3】函数与数列的综合题

数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。

注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.

例5已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

点评：

本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：

（Ⅰ）设这二次函数f（x）＝ax2+bx（a≠0）,则f`（x）=2ax+b,由于f`（x）=6x－2,得

a=3,b=－2,所以f（x）＝3x2－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故Tn＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

例6．设，定义，其中n∈N*.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）若，

解：

（1）＝2，，，

∴

∴，∴数列｛an｝上首项为，公比为的等比数列，

（2）

两式相减得：

例7．设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。

解：

（I）依题意得，即。

当n≥2时，a;

当n=1时，×-2×1-1-6×1-5

所以。

（II）由（I）得，

故=。

因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。

【问题4】数列与解析几何

数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解.

例8．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列.

⑴求点的坐标；子⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：

.

解：

（1）

（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：

把代入上式，得，的方程为：

。

，

=

点评：

本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。

（1）、

（2）两问运用几何知识算出.

例9．已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点．

（Ⅰ）令，求证：

数列是等比数列．并求数列的前项和为

解：

（1）因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得，故是以

为公比的等比数列；，

【问题5】数列创新题

例10.数列的前项和为，已知

（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和。

解：

由得：

，即，所以，对成立。

由，，…，相加得：

，又，所以，当时，也成立。

（Ⅱ）由，得。

而，

，

例11.已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1,bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；