高一数列通项公式常见求法.doc
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数列通项公式的常见求法
一、公式法
高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式
例1、已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10，求数列{an}的通项公式。
解：
（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得
解得
故数列的通项公式为
2、等比数列公式
例2、设是公比为正数的等比数列，，，求的通项公式。
解：
设q为等比数列的公比，则由，
即，解得（舍去），因此
所以的通项为
3、通用公式
若已知数列的前项和的表达式，求数列的通项可用公式
求解。
一般先求出，若计算出的中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列的前n项和，求的通项公式。
解：
，当时
由于不适合于此等式。
∴
二、当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：
和的关系时，我们可以根据具体情况采用下列方法：
1、累加法
一般地，对于形如类型的通项公式，且的和比较好求，我们可以采用此方法来求。
即：
。
例4、数列的首项为，为等差数列且．若则，，则
A．0 B．3 C．8 D．11
解：
由已知知由累加法
例5、已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
由题知：
2、累乘法
一般地对于形如“已知a1，且（为可求积的数列）”的形式可通过累乘法求数列的通项公式。
即：
；
例6、在数列｛｝中，=1,（n+1）·=n·，求的表达式。
解：
由（n+1）·=n·得，
=··…=所以
3、构造法
当数列前一项和后一项即和的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。
具体有以下几种常见方法。
（1）待定系数法：
形如,其中）型
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：
设,
得,与题设比较系数得
所以所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，
所以即：
.
例7、已知数列中，，求数列的通项公式。
解：
又是首项为2，公比为2的等比数列，即.
练习、已知数列中，求通项。
答案：
（2）倒数法
一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
例8、已知数列满足：
，求的通项公式。
解：
原式两边取倒数得：
，即
例9、在数列{}中，，并且对任意都有成立，令,求数列{}的通项公式.
解：
当n=1时，,
当时，由，等式两边取倒数得：
所以，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为
（3）对数法
当数列和an-1的递推关系涉及到高次时，形如：
anp=man-1q（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。
例10、若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁。
解：
由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即。
三、阶差法（逐项相减法）
1、递推公式中既有，又有（当题中给出的是和的关系时，我们一般通过作差法结合这个通用公式对原等式进行变形，消掉得到和的递推关系，或消掉得到和的递推关系，然后重新构造数列求通项公式）。
分析：
把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例11、已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
，求{}的通项公式；
解：
由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝Sn+1-Sn＝，
得an+1-an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。
因此an+1-an-3＝0。
从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。
例12、设数列的前项和为已知，
设，证明数列是等比数列
解：
由及，有
由，．．．① 则当时，有．．．．．②
②－①得
又，是首项，公比为２的等比数列．
练习、已知数列中,且,求数列的通项公式.
答案：
2、对无穷递推数列——逐项相减法（阶差法）：
有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减,进而求得通项公式.
例13、已知数列满足，求的通项公式。
解：
因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则，故
所以 ③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
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