昌平理科高三数学.docx
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昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷（理科）
（满分150分，考试时间120分钟）2017.1
考生须知：
1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I卷（选择题）必须用2B铅笔作答，第II卷（非选择题）必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
（1）已知全集,集合,那么
（A）（B）（C）（D）
（2）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是
（A）（B）（C）（D）
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为
（A）（B）（C）（D）
（4）设，则
（A）（B）（C）（D）
（5）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是
（A）（B）（C）（D）
x
y
O
（6）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）在焦距为的椭圆中，是椭圆的两个焦点，则“”是“椭圆上至少存在一点，使得”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）若函数满足：
集合中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数是等差源函数.判断下列函数：
①；②；③中，所有的等差源函数的序号是（）
（A）（B）（C）（D）
第二卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
（9）设，若，则______.
（10）已知正项等比数列中，为其前项和，,,则________.
（11）若满足则的最大值为.
（12）已知角终边经过点，则___________.
（13）在矩形中，，那么______；若为线段上的动点，则的取值范围是___________.
（14）设函数
①若，则的零点个数为；
②若恰有1个零点，则实数的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（15）（本小题满分13分）
已知是等边三角形，在的延长线上，且，.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求的值.
（16）（本小题满分13分）
A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：
个），用茎叶图记录如下：
（I）试估计B班的学生人数；
（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量.规定：
当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记，
当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记，
当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记.
求随机变量的分布列及期望.
（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：
个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不要求证明）.
（17）（本小题满分14分）
如图1，四边形为正方形，延长至，使得，将四边形沿折起到的位置，使平面平面，如图2.
（I）求证：
平面；
（II）求异面直线与所成角的大小；
（III）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
设函数，.
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行.
（i）求的值；
（ii）求实数的取值范围，使得对恒成立.
19.（本小题满分14分）
椭圆的焦点为,，且点在椭圆上.过点的动直线与椭圆相交于两点,点关于轴的对称点为点（不同于点）.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）证明：
直线恒过定点，并求出定点坐标.
20.（本小题满分13分）
已知是集合所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合.规定：
⑴对于任意的，，.
⑵对于任意的，序列，满足：
①，；
②，，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：
，；
（Ⅲ）若，写出满足条件的的最小值及相应的，，…，.
昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷（理科）参考答案及评分标准2017.1
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
A
D
B
C
C
B
A
D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）（10）
（11）（12）
（13）；（14）；
（第一空2分，第二空3分）
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（15）（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）设.
因为是等边三角形，
所以.
因为,
所以.
即.
所以（舍）.
所以.……………6分
（Ⅱ）因为,
所以.
所以.
在中，
因为,
所以.……………13分
（16）（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由题意可知，抽出的名学生中，来自班的学生有名.根据分层抽样方法，班的学生人数估计为（人）.……………3分
（Ⅱ）；；
则的概率分布为：
.……………11分
（Ⅲ）.……………13分
（17）（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）证明：
因为平面平面，且平面平面，
因为四边形为正方形，在的延长线上，
所以.
因为平面，
所以平面.……………4分
（Ⅱ）法一：
连接.
因为是正方形，
所以.
因为平面，
所以.
因为，
所以平面.
所以.
所以异面直线与所成的角是.……………9分
法二：
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示.
设则.
则.
所以.
因为，
所以.
所以异面直线与所成的角是.……………9分
（Ⅲ）因为平面，
所以平面的法向量.
设平面的法向量.
因为，
所以，即.
设，则.
所以.
因为
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.……………14分
（18）（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）当时，，
则.
当时，；
当时，；
所以的单调增区间为，单调减区间为.……………4分
（Ⅱ）（i）因为，
所以.
依题设有即
解得.……………8分
（ii）所以.
对恒成立，
即对恒成立.
令．
则有．
①当时，当时，，
所以在上单调递增.
所以，即当时，；
②当时，当时，，
所以在上单调递减，
故当时，，
即当时，不恒成立.
综上，．……………13分
（19）（本小题满分14分）
解：
（I）法一
设椭圆的标准方程为.
由已知得解得.
所以椭圆的方程为.…………6分
法二
设椭圆的标准方程为.
由已知得，.
所以，.
所以椭圆的方程为.…………6分
（II）法一
当直线的斜率存在时（由题意），设直线的方程为.
由得.
设，.
则
特殊地，当为时，，所以，，，即
.
所以点关于轴的对称点，则直线的方程为.
又因为当直线斜率不存时，直线的方程为，
如果存在定点满足条件，则.
所以，，
又因为，
所以，即三点共线.
即直线恒过定点，定点坐标为.…………14分
法二
（II）①当直线的斜率存在时（由题意），设直线的方程为.
由，可得.
设，则.
所以
因为，
所以直线的方程为：
.
所以
.
因为当，
所以直线恒过点.
②当不存在时，直线的方程为，过定点.
综上所述，直线恒过定点，定点坐标为.…………14分
（20）（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）对于任意的，，
若，则，或，
故，或.…………4分
（Ⅱ）证明：
假设命题不成立，即，使；
即，，…，，使，化简得，
所以存在，且，使.
又因为是偶数，而是奇数，与矛盾，
故假设不成立，即，.…………9分
（Ⅲ）解：
，，，，，.
…………13分
【各题若有其它解法，请酌情给分】
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