江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三第二次调研数学试题.docx

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2018届高三模拟考试试卷（十三）

数　　学2018．3

（满分160分，考试时间120分钟）

参考公式：

柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，2}，则∁UA＝________．

2.已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为________．

3.某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．

（第3题）（第4题）

4.如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．

5.在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2的概率为________．

6.在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，B＝45°，则BC的长为________．

7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x2－＝1有公共的渐近线，且经过点P（－2，），则双曲线C的焦距为________．

8.在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A（1，2），B（5，1），则tan（α－β）的值为________．

9.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．

10.已知a，b，c均为正数，且abc＝4（a＋b），则a＋b＋c的最小值为________．

11.在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为______________．

12.设函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．

13.在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，则·的值为________．

14.已知a为常数，函数f（x）＝的最小值为－，则a的所有值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝（cosα，sinα），b＝（－sinβ，cosβ），c＝（－，）．

（1）若|a＋b|＝|c|，求sin（α－β）的值；

（2）设α＝，0＜β＜π，且a∥（b＋c），求β的值．

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上（均异于端点），且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.求证：

（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；

（2）BC∥平面AEF.

17.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y＝x＋3时，线段PB1的长为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点Q满足：

QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证：

△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．

18.（本小题满分16分）

将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：

方案①：

以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；

方案②：

以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

（2）设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

19.（本小题满分16分）

设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0.

记ci＝ai＋bi（i＝1，2，3，4）．

（1）求证：

数列c1，c2，c3不是等差数列；

（2）设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；

（3）数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？

并说明理由．

20.（本小题满分16分）

设函数f（x）＝x－asinx（a＞0）．

（1）若函数y＝f（x）是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；

（2）设a＝，g（x）＝f（x）＋blnx＋1（b∈R，b≠0），g′（x）是g（x）的导函数．

①若对任意的x＞0，g′（x）＞0，求证：

存在x0，使g（x0）＜0；

②若g（x1）＝g（x2）（x1≠x2），求证：

x1x2＜4b2.

2018届高三模拟考试试卷（十三）

数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A.（选修41：

几何证明选讲）

如图，A，B，C是圆O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D.求证：

DB·DC＋OD2＝OA2.

B.（选修42：

矩阵与变换）

在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）．设变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝，矩阵N＝，求对△ABC依次实施变换T1，T2后所得图形的面积．

C.（选修44：

坐标系与参数方程）

在极坐标系中，求以点P（2，）为圆心且与直线l：

ρsin（θ－）＝2相切的圆的极坐标方程．

D.（选修45：

不等式选讲）

已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝，求证：

≥2.

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22.在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：

由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X元．

（1）求概率P（X＝600）；

（2）求X的概率分布及数学期望E（X）．

23.已知（1＋x）2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N*.记Tn＝（2k＋1）an－k.

（1）求T2的值；

（2）化简Tn的表达式，并证明：

对任意的n∈N*，Tn都能被4n＋2整除．

2018届高三模拟考试试卷（十三）（六市联考）

数学参考答案及评分标准

1.{1，3}　2.　3.30　4.125　5.　6.　7.4　8.　9.－6　10.8

11.（x－1）2＋y2＝4　12.（1，＋∞）　13.10　14.4，

15.解：

（1）因为a＝（cosα，sinα），b＝（－sinβ，cosβ），c＝（－，），

所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝－cosαsinβ＋sinαcosβ＝sin（α－β）．（3分）

因为|a＋b|＝|c|，所以|a＋b|2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝1，

所以1＋2sin（α－β）＋1＝1，即sin（α－β）＝－.（6分）

（2）因为α＝，所以a＝（－，）．故b＋c＝（－sinβ－，cosβ＋）．（8分）

因为a∥（b＋c），所以－（cosβ＋）－（－sinβ－）＝0.

化简得sinβ－cosβ＝，所以sin（β－）＝.（12分）

因为0<β<π，所以－<β－<.所以β－＝，即β＝.（14分）

16.证明：

（1）在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1∥CC1.因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1.（2分）

又AE⊥BB1，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以BB1⊥平面AEF.（5分）

因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C.（7分）

（2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE＝∠ACF，AB＝AC，

所以Rt△AEB≌Rt△AFC.所以BE＝CF.（9分）

又由

（1）知，BE∥CF，所以四边形BEFC是平行四边形．故BC∥EF.（11分）

又BC⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BC∥平面AEF.（14分）

17.解：

设P（x0，y0），Q（x1，y1）．

（1）在y＝x＋3中，令x＝0，得y＝3，从而b＝3.（2分）

由得＋＝1，所以x0＝－.（4分）

因为PB1＝＝|x0|,所以4＝·，解得a2＝18.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.（6分）

（2）（方法1）直线PB1的斜率为kPB1＝，由QB1⊥PB1，所以直线QB1的斜率为kQB1＝－.

于是直线QB1的方程为y＝－x＋3.

同理，QB2的方程为y＝－x－3.（8分）

联立两直线方程，消去y，得x1＝.（10分）

因为P（x0，y0）在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y－9＝－.

所以x1＝－.（12分）

所以＝＝2.（14分）

（证法2）设直线PB1，PB2的斜率为k，k′，则直线PB1的方程为y＝kx＋3.

由QB1⊥PB1，直线QB1的方程为y＝－x＋3.

将y＝kx＋3代入＋＝1，得（2k2＋1）x2＋12kx＝0，

因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以x0≠0，从而x0＝－.（8分）

因为P（x0，y0）在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y－9＝－.

所以k·k′＝·＝＝－，得k′＝－.（10分）

由QB2⊥PB2，所以直线QB2的方程为y＝2kx－3.

联立则x＝，即x1＝.（12分）

所以＝＝＝2.（14分）

18.解：

（1）设所得圆柱的半径为rdm,则（2πr＋2r）×4r＝100，（4分）

解得r＝.（6分）

（2）设所得正四棱柱的底面边长为adm，则即（9分）

（方法1）所得正四棱柱的体积V＝a2x≤（11分）

记函数p（x）＝则p（x）在（0，2]上单调递增，在[2，＋∞）上单调递减，所以当x＝2时，pmax（x）＝20.

所以当x＝2，a＝时，Vmax＝20（dm3）．（14分）

（方法2）2a≤x≤，从而a≤.（11分）

所得正四棱柱的体积V＝a2x≤a2（）＝20a≤20.

所以当a＝，x＝2时，Vmax＝20（dm3）．（14分）

答：

（1）圆柱的底面半径为dm；

（2）当x为2时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．（16分）

【评分说明】

①直接“由x·（2x＋）＝100得x＝2时正四棱柱的体积最大”给2分；

②方法1中的求解过程要体现V≤p（x）≤2，凡写成V＝p（x）≤2的最多得5分，

其他类似解答参照给分．

19.

（1）证明：

假设数列c1，c2，c3是等差数列，则2c2＝c1＋c3，即2（a2＋b2）＝（a1＋b1）＋（a3＋b3）．

因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2＝b1＋b3，从而2a2＝a1＋a3.（2分）

因为a1，a2，a3是等比数列，所以a＝a1a3.

所以a1＝a2＝a3，这与q≠1矛盾，从而假设不成立．

所以数列c1，c2，c3不是等差数列．（4分）

（2）解：

因为a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1.

因为c＝c1c3，所以（2＋b2）2＝（1＋b2－d）（4＋b2＋d），即b2＝d2＋3d.（6分）

由c2＝2＋b2≠0，得d2＋3d＋2≠0，所以d≠－1且d≠－2.

又d≠0，所以b2＝d2＋3d，定义域为{d∈R|d≠－1，d≠－2，d≠0}．（8分）

（3）解：

（解法1）设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，

则（10分）

将①＋③－2×②，得a1（q－1）2＝c1（q1－1）2　⑤，

将②＋④－2×③，得a1q（q－1）2＝c1q1（q1－1）2　⑥，（12分）

因为a1≠0，q≠1，由⑤得c1≠0，q1≠1.

由⑤⑥得q＝q1，从而a1＝c1.（14分）

代入①得b1＝0.再代入②得d＝0，与d≠0矛盾．

所以c1，c2，c3，c4不成等比数列．（16分）

（解法2）假设数列c1，c2，c3，c4是等比数列，则＝＝.（10分）

所以＝，即＝.

两边同时减1，得＝.（12分）

因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q（q≠1），所以＝.

又a3－2a2＋a1＝a1（q－1）2≠0，所以q（a2－a1＋d）＝a3－a2＋d，即（q－1）d＝0.（14分）

这与q≠1，且d≠0矛盾，所以假设不成立．

所以数列c1，c2，c3，c4不能为等比数列．（16分）

20.

（1）解：

由题意，f′（x）＝1－acosx≥0对x∈R恒成立．

因为a>0，所以≥cosx对x∈R恒成立．

因为（cosx）max＝1，所以≥1，从而0

（2）证明：

①g（x）＝x－sinx＋blnx＋1，所以g′（x）＝1－cosx＋.

若b<0，则存在－>0，使g′（－）＝－1－cos（－）<0，不合题意，

所以b>0.（5分）

取x0＝e－，则0

此时g（x0）＝x0－sinx0＋blnx0＋1<1＋＋blne－＋1＝－<0.

所以存在x0>0，使g（x0）<0.（8分）

②依题意，不妨设01.

由

（1）知函数y＝x－sinx单调递增，所以x2－sinx2>x1－sinx1.

从而x2－x1>sinx2－sinx1.（10分）

因为g（x1）＝g（x2），所以x1－sinx1＋blnx1＋1＝x2－sinx2＋blnx2＋1，

所以－b（lnx2－lnx1）＝x2－x1－（sinx2－sinx1）>（x2－x1），

所以－2b>>0.（12分）

下面证明>，即证明>，只要证明lnt－<0　（*）．

设h（t）＝lnt－（t>1），所以h′（t）＝<0在（1，＋∞）上恒成立．

所以h（t）在（1，＋∞）上单调递减，故h（t）

（1）＝0，从而（*）得证．

所以－2b>，即x1x2<4b2.（16分）

2018届高三模拟考试试卷（十三）（六市联考）

数学附加题参考答案及评分标准

21.A.证明：

延长AO交圆O于点E，则BD·DC＝DE·DA＝（OD＋OE）·（OA－OD）．（5分）

因为OE＝OA，所以DB·DC＝（OA＋OD）·（OA－OD）＝OA2－OD2.

所以DB·DC＋OD2＝OA2.（10分）

B.解：

依题意，依次实施变换T1，T2所对应的矩阵NM＝＝.（5分）

则＝，＝，＝.

所以A（0，0），B（3，0），C（2，2）分别变为点A′（0，0），B′（6，0），C′（4，4）．

从而所得图形的面积为×6×4＝12.（10分）

C.解：

以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy.

则点P的直角坐标为（1，）．（2分）

将直线l：

ρsin＝2的方程变形为ρsinθcos－ρcosθsin＝2，

化为普通方程，得x－y＋4＝0.（5分）

所以P（1，）到直线l：

x－y＋4＝0的距离为＝2.

故所求圆的普通方程为（x－1）2＋（y－）2＝4.（8分）

化为极坐标方程，得ρ＝4sin.（10分）

D.证明：

因为a，b，c为正实数，所以＝＝≥＝2（当且仅当a＝b＝c取“＝”）．（10分）

22.解：

（1）从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C种不同情形，

则事件“X＝600”包含两类情形：

第一类是3格各得奖200元；

第二类是1格得奖300元，1格得奖200元，1格得奖100元．

其中第一类包含C种情形，第二类包含C·C·C种情形，

所以P（X＝600）＝＝.（3分）

（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700，则

P（X＝300）＝＝＝，P（X＝400）＝＝＝，

P（X＝500）＝＝＝，P（X＝700）＝＝＝.

所以X的概率分布列为

X

300

400

500

600

700

P

（8分）

所以E（X）＝300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝500.（10分）

23.解：

由二项式定理，得ai＝C（i＝0，1，2，…，2n＋1）．

（1）T2＝a2＋3a1＋5a0＝C＋3C＋5C＝30.（2分）

（2）因为（n＋1＋k）C＝（n＋1＋k）·＝＝（2n＋1）C，（4分）

（8分）

Tn＝（2n＋1）C＝（2n＋1）（C＋C）＝2（2n＋1）C.

因为C∈N*，所以Tn能被4n＋2整除．（10分）