立体几何平行垂直问题专题复习.doc

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立体几何平行、垂直问题

【基础知识点】

一、平行问题

1．直线与平面平行的判定与性质

定义

判定定理

性质

性质定理

图形

条件

a∥α

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝

a∥b

2.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∥β，a⊂β

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

平行问题的转化关系：

二、垂直问题

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

推论

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

4.直线和平面垂直的常用性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

二、平面与平面垂直

1．平面与平面垂直的判定定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

2．平面与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

【典例探究】

类型一、平行与垂直

例1、如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且△为正三角形。

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求证：

平面平面；

（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积。

A

B

C

A1

B1

C1

M

N

例2.如图，已知三棱柱中，底面，，，，，分别是棱，中点.

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

【变式1】.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点。

（1）求证：

平面；

（2）求证：

平面；

（3）设，求三棱锥的体积。

二、线面平行与垂直的性质

例3、如图4，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．

（1）求证：

平面；

（2）求三棱锥的体积．

例4、如图，四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，（I）求证：

；（II）求三棱锥C—DEG的体积；

（III）AD边上是否存在一点M，使得平面MEG。

若存在，求AM的长；否则，说明理由。

【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.

（Ⅰ）求证：

AC平面BB1C1C；（Ⅱ）A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？

证明你的结论.

4

4

2

2

4

4

4

正视图

侧视图

俯视图

三、三视图与折叠问题

例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。

若为的中点，求证：

面；

（1）证明：

∥面；

（2）求三棱锥的体积。

A

B

E

P

D

C

例6.已知四边形是等腰梯形，（如图1）。

现将沿折起，使得（如图2），连结。

（I）求证：

平面平面；

（II）试在棱上确定一点，使截面把几何体分成两部分的体积比；

（III）在点满足（II）的情况下，判断直线是否平行于平面，并说明理由。

图1

图2

【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为PD中点.科网

（I）求证：

PB//平面AEC；（II）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）若F为侧棱PA上一点，且，则为何值时，平面BDF.

【变式4】如图1所示，正的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。

现将沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）

（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（2）求三棱锥C-DEF的体积。

四、立体几何中的最值问题

例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A=AB=2.

（1）求证:

BC⊥平面A1AC；

（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.

图4

A

B

C

A1

例8.如图，在交AC于点D,现将

（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为

【变式5】如图3，已知在中，，平面ABC，于E，于F，，，当变化时，求三棱锥体积的最大值。

高三文科数学专题复习:

立体几何平行、垂直问题（答案）

【典例探究】

例1解：

（Ⅰ）∵

∴∥，又∴

∴∥

（Ⅱ）∵△为正三角形,且为中点，∴

又由

（1）∴知∴

又已知∴，

∴，又∵

∴,∴平面平面,

（Ⅲ）∵，∴,∴

又，

∴

∴

例2.（Ⅰ）证明：

因为三棱柱中，底面

又因为平面，所以.………………………1分

A

B

C

A1

B1

C1

M

N

G

因为，是中点，

所以.　　　…………………………………………2分

因为，……………………………………………3分

所以平面．……………………………………………4分

（Ⅱ）证明：

取的中点，连结，，

因为，分别是棱，中点，

所以，.

又因为，，

所以，.

所以四边形是平行四边形.…………………………………………6分

所以.……………………………………………………………　7分

因为平面，平面，　……………………………8分

所以平面．………………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面.……………………………………………10分

所以.　…………………………13分

变式1.

（1）根据中点寻找平行线即可；

（2）易证，在根据勾股定理的逆定理证明；（3）由于点是线段的中点，故点到平面的距离是点到平面距离的，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。

【解析】

（1）取中点，连接

平行四边形，平面，平面，平面。

（4分）

（2）等腰直角三角形中为斜边的中点，

又直三棱柱，面面，

面，

设

又面。

（8分）

（3）由于点是线段的中点，故点到平面的距离是点到平面距离的。

，所以三棱锥的高为；在中，，所以三棱锥的底面面积为，故三棱锥的体积为。

（12分）

二、线面平行与垂直的性质

例3.

（1）证明：

在中，由于，，，

∴.……2分

∴．

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.……4分

（2）解：

过作交于.

又平面平面，∴平面．……6分

∵是边长为2的等边三角形，∴.

由

（1）知，，在中，

斜边边上的高为.……8分

∵，∴.……10分

∴.……14分

例4、（I）证明：

平面ABCD，

又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，

∵PDICE=D，∴BC⊥平面PCD

又∵PC面PBC，∴PC⊥BC

（II）解：

∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G—DEC的高。

∵E是PC的中点，

（III）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA//平面MEG。

下面证明之

∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO//平面PA，

又，∴PA//平面MEG

在正方形ABCD中，∵O是AC中点，≌

∴所求AM的长为

变式2.证明：

（Ⅰ）直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.

又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，

∴AC=，∠CAB=45°，∴BC=，∴BC⊥AC.

又BB1∩BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.

（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点。

证明：

由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1=AB.

又∵DC∥AB，DC=AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1，

∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP.又CB1∥ACB1,DP面ACB1，∴DP∥面ACB1.

同理，DP∥面BCB1.

4

4

2

2

4

4

4

正视图

侧视图

俯视图

A

B

E

P

D

C

例5、

（1）由几何体的三视图可知，底面是边长为4的正方形，面，

∥，

为中点，

又面。

（2）取的中点，与的交点为，∥，

∥，故为平行四边形，

∥，∥面。

（3）

例6.答案略

变式3.解：

（１）由三视图得，四棱锥底面ABCD为菱形,

棱锥的高为3,设,则即是棱锥

的高,底面边长是2，连接，分别

是的中点，∥，

∥

（2）

（3）过作----10分

---------------12分

---------------14分

变式4.解：

（1）判断：

AB//平面DEF………………………………………………..2分

M

证明：

因在中，E，F分别是

AC，BC的中点，有

EF//AB………………..5分

又因

AB平面DEF，

EF平面DEF…………..6分

所以

AB//平面DEF……………..7分

（2）过点E作EMDC于点M，

面ACD面BCD，面ACD面BCD＝CD，而EM面ACD

故EM平面BCD于是EM是三棱锥E-CDF的高……………………………..9分

又CDF的面积为

EM＝……………………………………………………………………11分

故三棱锥C-DEF的体积为

四、立体几何中的最值问题

例7.图4

A

B

C

A1

证明:

∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，

AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC,……2分

∵AA1⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，

∴AA1⊥BC，……4分

∵AA1∩AC=A，AA1Ì平面AA1C，ACÌ平面AA1C，

∴BC⊥平面AA1C.……6分

（2）解法1：

设AC=x，在Rt△ABC中，

（0

故（0

……9分

即.……11分

∵0

三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.……14分

解法2:

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=4，……7分

……9分

.……11分

当且仅当AC=BC时等号成立，此时AC=BC=.

例8.解：

（1）设，则

令

则

单调递增

极大值

单调递减

由上表易知：

当时，有取最大值。

证明：

（2）作得中点F，连接EF、FP

由已知得：

为等腰直角三角形，

所以.

变式6.解：

因为平面ABC

平面ABC，

所以

又因为，

所以平面PAC，

又平面PAC，

所以，

又，

所以平面PBC，即。

EF是AE在平面PBC上的射影，

因为，

所以，

即平面AEF。

在三棱锥中，

，

所以，

因为，

所以

因此，当时，取得最大值为。

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