湖南省衡阳市2017届高三数学第三次质检试题(实验班)理.doc
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湖南省衡阳市2017届高三数学第三次质检试题（实验班）理
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷，分两卷。
其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合M={x|log3x≤1}，N={x|x2+x﹣2≤0}，则M∩N等于（ ）
A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|1≤x≤3} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0＜x≤3}
2.已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知等比数列{an}的前n项和Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则=（ ）
A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1
4.已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）
A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c
5.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称
6.已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
8.已知数列{an}满足an+an﹣1=（﹣1）n，Sn是其前n项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（ ）
A．3﹣2B．3 C．2 D．3+2
9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（ ）（参考数据：
sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）
A．3.10 B．3.11 C．3.12 D．3.13
10.已知函数fM（x）的定义域为实数集R，满足（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=∅，则的值域为（ ）
A． B．{1} C． D．
11.设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为（）
A．B．3C．D．
12.设函数是的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
都有对称中心，其中满足.已知函数，则（）
A．B．C．D．
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为 ．
14.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为________.
15.已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为 ．
16.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F1（﹣c，0）是左焦点，圆x2+y2=c2与双曲线左支的一个交点是P，若直线PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
三.解答题（共8题，共70分）
17.（本题满分12分）
已知数列{an}、{bn}满足：
a1=，an+bn=1，bn+1=．
（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；
（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的通项公式；
（Ⅲ）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数a的取值范围．
18.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．
（I）求证：
平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
19.（本题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求X的分布列；
（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
20.（本题满分12分）
如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为A1（﹣2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线l与该椭圆相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：
是否存在实数λ，使得k2=λk1？
若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
21.（本题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，令，求在的最大值和最小值；
（3）当时，函数图像上的点都在不等式组所表示的区域内，求实数a的取值范围.
选做题：
考生从22、23题中任选一题作答，共10分。
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
（2）已知点P，Q分别是线C1，C2的动点，求|PQ|的最小值．
23.已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣a|+m．
（1）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．
2017届高三年级第三次质检参考答案理科数学
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
B
D
C
B
D
B
B
A
D
13.16
14.
15.
16.（，+∞）
17.
（Ⅰ），
∵[lg（Sn﹣m）+lg（Sn+2﹣m）]=2lg（Sn+1﹣m），
∴．
（Ⅱ）∵，
∴，
∴数列{cn}是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列．
∴cn=﹣4+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣3．
（Ⅲ）由于，
所以，
从而..…
∴
∴…
由条件知（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可满足条件，
设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，
当a=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，
当a＜1时，对称轴，
f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．
f
（1）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8=（a﹣1）+（3a﹣6）﹣8=4a﹣15＜0，
∴，
∴a＜1时4aSn＜bn恒成立
综上知：
a≤1时，4aSn＜bn恒成立
18.
（I）证明：
∵PC⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PC⊥AC．
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，
∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（II）解：
取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，
可得：
C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），
设P（0，0，a）（a＞0），则E，
=（1，1，0），=（0，0，a），=，
取=（1，﹣1，0），则=0，
∴为平面PAC的法向量．
设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即，
取=（a，﹣a，﹣4），
∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，
∴===，解得a=4，
∴=（4，﹣4，﹣4），=（1，1，﹣4）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||===，
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．
19.
（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
P（X=16）=0.2×0.2=0.04；
P（X=17）=2×0.2×0.4=0.16；
P（X=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；
P（X=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；
P（X=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；
P（X=21）=2×0.2×0.2=0.08；
P（X=22）=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P（X≤18）=0.44，P（X≤19）=0.68，故n的最小值为19.
（Ⅲ）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：
元）.
当n=19时，
EY=19×200×0.68+（19×200+500）×0.2+（19×200+2×500）×0.08+（19×200+3×500）×0.04=4040.
当n=20时，
EY=20×200×0.88+（20×200+500）×0.08+（20×200+2×500）×0.04=4080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19.
20.
（Ⅰ）依题意可知a=2．
∵，∴c=，得．
∴椭圆C的方程为：
；
（Ⅱ）设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线NA2的方程为y=k2（x﹣2）．
联立方程组，得．
解得点M的坐标为（，），
同理，可解得点N的坐标为（，）．
由M，D，N三点共线，得=，化简有（4k1k2+1）（k2﹣3k1）=0．
∵k1，k2同号，∴4k1k2+1＞0，则k2=3k1．
故存在λ=3，使得结论成立．
21.
（1）递增区间是（0,2），递减区间是
（2），=（3）
22.
（1）曲线C1的参数方程为为参数），
可得：
，sinα=y，
则，
故得C1直角坐标方程，
曲线C2的极坐标方程为．
则ρsinθ+ρcosθ=4
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴x+y=4．
故得C2的直角坐标方程为：
x+y﹣4=0．
（2）设．
即|PQ|的最小值为．
23.
（1）由g[f（x）]+2﹣m＞0得||x|﹣a|＜2，
∴﹣2＜|x|﹣a＜2，∴a﹣2＜|x|＜a+2
故：
当a≥2时，不等式的解集为{x|﹣a﹣2＜x＜﹣a+2或a﹣2＜x＜a+2}
当﹣2＜a＜2时，不等式的解集为{x|﹣a﹣2＜x＜a+2}
当a≤﹣2时，不等式的解集为空集．
（2）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方
∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣a|+|x|恒成立
∵|x﹣a|+|x|≥|（x﹣a）﹣x|=|a|．
∴m的取值范围为（﹣∞，|a|）．
12
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