高中数学完整讲义排列与组合8.排列组合问题的常用方法总结2.docx

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高中数学讲义

排列组合问题的常用方法总结2

知识内容

1．基本计数原理

⑴加法原理

分类计数原理：

做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：

做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2．排列与组合

⑴排列：

一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：

从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．

排列数公式：

，，并且．

全排列：

一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．

的阶乘：

正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：

．

⑵组合：

一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．

组合数：

从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．

组合数公式：

，，并且．

组合数的两个性质：

性质1：

；性质2：

．（规定）

⑶排列组合综合问题

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：

1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：

先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：

先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：

对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：

某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：

某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6．插板法：

个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．

7．分组、分配法：

分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！

，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！

8．错位法：

编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

①元素分析法：

以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②位置分析法：

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：

先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2．具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；

③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；

⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；

⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

典例分析

挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）

【例1】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有种．

【例2】某校准备组建一个由人组成篮球队，这个人由个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种．

【例3】有多少项？

【例4】有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？

【例5】不定方程中不同的正整数解有组，非负整数解有组．

【例6】5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．

【例7】将个完全相同的小球任意放入个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？

【例8】一个楼梯共个台阶步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．

【例9】有个三好学生名额，分配到高三年级的个班里，要求每班至少个名额，共有多少种不同的分配方案．

【例10】某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，

每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．

【例11】10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？

插空法（当需排的元素不能相邻时）

【例12】从个自然数中任取个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．

【例13】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）

A．B．16C．24D．32

【例14】三个人坐在一排个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．

【例15】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．

【例16】马路上有编号为l，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种．（用数字作答）

【例17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为．（用数字作答）

【例18】一排个座位有个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．

【例19】某班班会准备从甲、乙等名学生中选派名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（）

A． B． C． D．

【例20】在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

【例21】某人连续射击次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）

【例22】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

【例23】四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种．

【例24】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有

【例25】停车站划出一排个停车位置，今有辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．

【例26】四个不同的小球放入编号为的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）

除序法

（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）

【例27】6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

【例28】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

【例29】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，

⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？

⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？

【例30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？

【例31】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）

A．种 B．种 C．种 D．种

【例32】某考生打算从所重点大学中选所填在第一档次的个志愿栏内，其中校定为第一志愿，再从所一般大学中选所填在第二档次的个志愿栏内，其中校必选，且在前，问此考生共有种不同的填表方法（用数字作答）．

递推法

【例33】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？

用转换法解排列组合问题

【例34】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

【例35】6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．

【例36】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．

【例37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．

【例38】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．

【例39】求的展开式的项数．

【例40】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

【例41】圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？

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思维的发掘能力的飞跃