贵州省贵阳市高三上期末数学试卷文科解析版.doc

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2015-2016学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．设集合M={﹣2，0，2}，N={x|x2=x}，则M∩N=（　　）

A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}

2．设i为虚数单位，则复数Z=的共轭复数为（　　）

A．2﹣3i B．﹣2﹣3i C．﹣2+3i D．2+3i

3．已知，sin，则tan（）=（　　）

A． B． C． D．

4．甲乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则（　　）

A．V甲＜V乙 B．V甲=V乙

C．V甲＞V乙 D．V甲、V乙大小不能确定

5．已知O是坐标原点，若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则目标函数z=﹣x+2y的最大值是（　　）

A．0 B．1 C．3 D．4

6．设m、n为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：

①若m∥α，m∥β，则α∥β；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．

上述命题中，所有真命题的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的表达式为（　　）

A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤6

8．设x，y∈R，则“x，y≥1”是“x2+y2≥2”的（　　）

A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．充分不必要条件

9．在[﹣3，4]上随机取一个实数m，能使函数f（x）=x2+mx+1在R上有零点的概率为（　　）

A． B． C． D．

10．若点A（a，b）在第一象限且在x+2y=4上移动，则log2a+log2b（　　）

A．最大值为2 B．最小值为1

C．最大值为1 D．没有最大值和最小值

11．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣3）f′（x）≤0，则必有（　　）

A．f（0）+f（6）≤2f（3） B．f（0）+f（6）＜2f（3） C．f（0）+f（6）≥2f（3） D．f（0）+f（6）＞2f（3）

12．已知双曲线与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣2，0），则双曲线的离心率是（　　）

A． B． C． D．

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题-第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答；第（22）题-第（24）题为选考题，考试根据要求选择一题作答．二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若（）∥（），则λ=　　　　　　．

14．已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为　　　　　　．

15．在△ABC中内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若a=﹣ccos（A+C），则△ABC的形状一定是　　　　　　．

16．在平面直角坐标系中，已知点P（3，0）在圆C：

（x﹣m）2+（y﹣2）2=40内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是　　　　　　．

三、解答题

17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=﹣3，S10=﹣40．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若从数列{an}中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图；

（Ⅰ）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？

请运用统计学的知识说明理由；

（Ⅱ）若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，求选出的成绩中至少有一个超过87分的概率．

19．如图，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=，SA=SC=SD=2．

（Ⅰ）求证：

AC⊥SD；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．

20．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点T（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB=90°，求直线l的斜率k的取值范围．

21．已知函数f（x）=2lnx﹣（x﹣1）2﹣2k（x﹣1）．

（Ⅰ）当k=1时，求f（x）的单调区间及极值；

（Ⅱ）确定实数k的取值范围，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞0．

请考生在第22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

选修4--1：

几何证明选讲

22．如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，作EF∥CB，并且交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．

（Ⅰ）求证：

△DEF∽△EFA；

（Ⅱ）如果FG=1，求EF的长．

选修4--4：

坐标系与参数方程

23．（2016永州模拟）选修4﹣4：

坐标系与参数方程．

极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．

（I）求证：

|OB|+|OC|=|OA|；

（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．

选修4--5：

不等式选讲

24．=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．

（Ⅰ）求m；

（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．

2015-2016学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．设集合M={﹣2，0，2}，N={x|x2=x}，则M∩N=（　　）

A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}

【分析】求出集合N，然后求解交集即可．

【解答】解：

集合M={﹣2，0，2}，N={x|x2=x}={0，1}，则M∩N={0}．

故选：

D．

【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．

2．设i为虚数单位，则复数Z=的共轭复数为（　　）

A．2﹣3i B．﹣2﹣3i C．﹣2+3i D．2+3i

【分析】直接利用复数代数形式的混合运算，化简求解即可．

【解答】解：

复数Z====2+3i．

复数Z=的共轭复数为：

2﹣3i．

故选：

A．

【点评】本题考查复数代数形式混合运算，考查计算能力．

3．已知，sin，则tan（）=（　　）

A． B． C． D．

【分析】求出余弦函数值，利用两角和的正切求解即可．

【解答】解：

，sin，可得cosα=，tanα=

tan（）===．

故选：

C．

【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，考查计算能力．

4．甲乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则（　　）

A．V甲＜V乙 B．V甲=V乙

C．V甲＞V乙 D．V甲、V乙大小不能确定

【分析】甲几何体为四棱锥，乙几何体为甲几何体切去一个三棱锥后剩下的三棱锥．

【解答】解：

由三视图可知甲几何体为四棱锥S﹣ABCD，乙几何体为三棱锥S﹣BCD．其中底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AD=1，

∴甲几何体的体积大于以几何体的体积．

故选C．

【点评】本题考查了空间几何体的三视图，作出几何体的直观图是解题关键．

5．已知O是坐标原点，若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则目标函数z=﹣x+2y的最大值是（　　）

A．0 B．1 C．3 D．4

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．

【解答】解：

由z=﹣x+2y得y=x+z，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：

平移直线y=x+z，

由图象可知当直线y=x+z过点A时，

直线y=x+z的截距最大，此时z最大，

由，解得，

即A（0，2），代入目标函数z=﹣x+2y，

得z=0+2×2=4，

∴目标函数z=﹣x+2y的最大值是4．

故答案为：

0．

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

6．设m、n为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：

①若m∥α，m∥β，则α∥β；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．

上述命题中，所有真命题的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【分析】①利用线面平行的性质判断面面关系．②利用线面垂直的性质判断面面关系．③利用线面平行的性质判断线线关系．④利用线面垂直的性质判断线线关系．

【解答】解：

①若m∥α，m∥β，根据平行于同一条直线的两个平面不一定平行，也有可能相交，所以①错误．

②若m⊥α，m⊥β，则根据垂直于同一条直线的两个平面是平行的知α∥β正确，所以②为真命题．

③若m∥α，n∥α，则根据平行于同一个平面的两条直线不一定平行，也有可能是相交或异面，所以③错误．

④若m⊥α，n⊥α，则根据垂直于同一个平面的两条直线一定平行，可知④为真命题．

所以正确的命题是②④．

故选D．

【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，空间直线与平面的位置关系，要熟练掌握空间线面关系的判定方法．

7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的表达式为（　　）

A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤6

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．

【解答】解：

程序在运行过程中各变量的值如下表示：

Si是否继续循环

循环前11/

第一圈32是

第二圈73是

第三圈154是

第四圈315否

故最后当i≤4时退出，

故选：

B．

【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．

8．设x，y∈R，则“x，y≥1”是“x2+y2≥2”的（　　）

A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．充分不必要条件

【分析】若x，y≥1”，则“x2+y2≥2”；反之不成立，如取x=0，y=3．即可判断出．

【解答】解：

若“x，y≥1”，则“x2+y2≥2”；

反之不成立，如取x=0，y=3．

因此“x，y≥1”，则“x2+y2≥2”的充分不必要条件．

故选：

D．

【点评】本题考查了充分必要条件的判定，考查了推理能力，属于基础题．

9．在[﹣3，4]上随机取一个实数m，能使函数f（x）=x2+mx+1在R上有零点的概率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】求出函数f（x）有零点时对应的区域长度，再将其与[﹣3，4]比较，求出对应的概率

【解答】解：

若f（x）=f（x）=x2+mx+1有零点，

则△=m2﹣4≥0，解得﹣2≤a≤2，

则函数y=f（x）有零点的概率P==，

故选：

C．

【点评】本题考查了几何概型与二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．

10．若点A（a，b）在第一象限且在x+2y=4上移动，则log2a+log2b（　　）

A．最大值为2 B．最小值为1

C．最大值为1 D．没有最大值和最小值

【分析】由题意结合基本不等式的性质求得ab的最大值，再由对数的运算性质得答案．

【解答】解：

由题意可得，，

则4=a+2b，

∴ab≤2．

∴log2a+log2b=log2ab≤log22=1．

故选：

C．

【点评】本题考查对数的运算性质及基本不等式的应用，是基础题．

11．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣3）f′（x）≤0，则必有（　　）

A．f（0）+f（6）≤2f（3） B．f（0）+f（6）＜2f（3） C．f（0）+f（6）≥2f（3） D．f（0）+f（6）＞2f（3）

【分析】分x≥3和x＜3两种情况对（x﹣3）f′（x）≤0进行讨论，由极值的定义可得当x=3时f（x）取得极大值也为最大值，故问题得证．

【解答】解：

依题意，当x≥3时，f′（x）≤0，函数f（x）在（3，+∞）上是减函数；

当x＜3时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，3）上是增函数，

故当x=3时f（x）取得极大值也为最大值，即有

f（0）≤f（3），f（6）≤f（3），

∴f（0）+f（6）≤2f（3）．

故选：

A．

【点评】本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题．

12．已知双曲线与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣2，0），则双曲线的离心率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．

【解答】解：

设P（m，），

函数y=的导数为y′=，

可得切线的斜率为，

又在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣2，0），

可得=，解得m=2，

即P（2，），

可得﹣=1，又c2=a2+b2．c=2，

解得a=b=，

则双曲线的离心率是e==，

故选：

B．

【点评】本题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求．

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题-第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答；第（22）题-第（24）题为选考题，考试根据要求选择一题作答．二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若（）∥（），则λ=　0　．

【分析】利用向量坐标运算、向量共线定理即可得出．

【解答】解：

=（2λ+3，3），=（﹣1，﹣1），

∵（）∥（），

∴﹣3+（2λ+3）=0，

解得λ=0．

故答案为：

0．

【点评】本题考查了向量坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14．已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为　1+＜　．

【分析】从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律．

【解答】解：

由已知三个不等式可以写成1+，

1+，

1+，

照此规律得到第n个不等式为

1+＜；

故答案为：

1+＜（n∈N+）．

【点评】本题考查了归纳推理；关键是由已知的三个不等式发现与序号的关系，总结规律．

15．在△ABC中内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若a=﹣ccos（A+C），则△ABC的形状一定是　直角三角形　．

【分析】由已知利用余弦定理化简可得a2+b2=c2，根据勾股定理即可判断△ABC的形状一定是直角三角形．

【解答】解：

∵a=﹣ccos（A+C）=﹣ccos（π﹣B）=ccosB=c×，

∴整理可得：

a2+b2=c2，

∴△ABC的形状一定是直角三角形．

故答案为：

直角三角形．

【点评】本题主要考查了余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，属于基础题．

16．在平面直角坐标系中，已知点P（3，0）在圆C：

（x﹣m）2+（y﹣2）2=40内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是　﹣3＜m≤﹣1或7≤m＜9　．

【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．

【解答】解：

圆C：

（x﹣m）2+（y﹣2）2=40，圆心C（m，2），半径r=2，

S△ABC=r2sin∠ACB=20sin∠ACB，

∴当∠ACB=90时S取最大值20，

此时△ABC为等腰直角三角形，AB=r=4，

则C到AB距离=2，

∴2≤PC＜2，即2≤＜2，

∴20≤（m﹣3）2+4＜40，即16≤（m﹣3）2＜36，

∵圆C：

（x﹣m）2+（y﹣2）2=40内，

∴|OP|=，即（m﹣3）2＜36，

∴16≤（m﹣3）2＜36，

∴﹣3＜m≤﹣1或7≤m＜9，

故答案为：

﹣3＜m≤﹣1或7≤m＜9．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

三、解答题

17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=﹣3，S10=﹣40．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若从数列{an}中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn．

【分析】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{an}的通项公式．

（Ⅱ）由已知得bn==﹣2×2n+7=﹣2n+1+7，由此能求出数列{bn}的前n项和Tn．

【解答】解：

（Ⅰ）∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=﹣3，S10=﹣40，

∴，解得a1=5，d=﹣2，

∴an=﹣2n+7．

（Ⅱ）∵数列{an}中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，

∴bn==﹣2×2n+7=﹣2n+1+7，

∴Tn=﹣（22+23+…+2n+1）+7n

=﹣+7n

=4+7n﹣2n+2．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．

18．在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图；

（Ⅰ）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？

请运用统计学的知识说明理由；

（Ⅱ）若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，求选出的成绩中至少有一个超过87分的概率．

【分析】（Ⅰ）由茎叶图分别求出学生甲、乙的平均成绩和成绩的方差，由=，＞，得选择乙参加知识竞赛．

（Ⅱ）从甲的6次模拟成绩中随机抽取2个，利用列举法能求出选出的成绩中至少有一个超过87分的概率．

【解答】解：

（Ⅰ）由茎叶图，得：

学生甲的平均成绩：

==82，

学生乙的平均成绩：

==82，

学生甲的成绩的方差：

=[（68﹣82）2+（76﹣82）2+（79﹣82）2+（86﹣82）2+（88﹣82）2+（95﹣82）2]=77，

学生乙的成绩的方差：

=[（71﹣82）2+（75﹣82）2+（82﹣82）2+（84﹣82）2+（86﹣82）2+（94﹣82）2]=，

∵=，＞，

∴甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥稳定，故可选择乙参加知识竞赛．

（Ⅱ）从甲的6次模拟成绩中随机抽取2个，有以下15种情况：

（68，76），（68，79），（68，86），（68，88），（68，95），（76，79），（76，86），（76，88），

（76，95），（79，86），（79，88），（79，95），（86，88），（86，95），（88，95），

其中选出的成绩中至少有一个超过87分的有9种情况，

故选出的成绩中至少有一个超过87分的概率p=．

【点评】本题考查平均数、方差的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

19．如图，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=，SA=SC=SD=2．

（Ⅰ）求证：

AC⊥SD；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．

【分析】

（1）取AC中点O，连结OD，SO，由等腰三角形的性质可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD；

（2）由△ASC是等边三角形可求得SO，AC，利用勾股定理的逆定理可证明AD⊥CD，SO⊥OD，故而SO⊥平面ABCD，代入体积公式计算即可．

【解答】证明：

（1）取AC中点O，连结OD，SO，

∵SA=SC，∴SO⊥AC，

∵AD=CD，∴OD⊥AC，

又∵OS⊂平面SOD，OD⊂平面SOD，OS∩OD=O，

∴AC⊥平面SOD，∵SD⊂平面SOD，

∴AC⊥SD．

（2）∵SA=SC=2，∠ASC=60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC=2，OS=，

∵AD=CD=，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，OD==1．

∵SD=2，∴SO2+OD2=SD2，∴SO⊥OD，

又∵SO⊥AC，AC⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，AC∩OD=O，

∴SO⊥平面ABCD，

∴V棱锥B﹣SAD=V棱锥S﹣ABD=S△ABDSO==．

【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．

20．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C