导数典型例题讲解.doc

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资料一：

导数.知识点

1．导数的概念

例1．已知曲线y=上的一点P（0,0），求过点P的切线方程·

解析：

如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.

例2．求曲线y＝x2在点（2，4）处的切线方程·

解析：

∵y=x2,∴y=（x0＋x）2－x02＝2x0x＋（x）2=4x＋（x）2

∴k＝.

∴曲线y＝x2在点（2，4）处切线方程为y－4＝4（x－2）即4x－y－4＝0.

例3．物体的运动方程是S＝1＋t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋t]内相应的平均速度．

解析：

∵S=1+t+t2,∴S=1+（t+t）+（t+t）2－（1+t+t2）=2t·t+t+（t）2,

∴,即,∴,

即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为（t＋11）米／秒

∴v（t）=S’＝

即v（5）＝2×5＋1＝11.

∴物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．

例4．利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。

解析：

y=,∴=,

∴=.

例5．已知函数f（x）=,求函数f（x）在点x＝0处的导数

解析：

由已知f（x）=0，即f（x）在x=0处有定义，y=f（0+x）－f（0）=,

=,==0,即f’（0）＝0.

∴函数f（x）在x＝0处导数为0.

例6．已知函数f（x）=,判断f（x）在x＝1处是否可导？

解析：

f

（1）=1,,

∵,

∴函数y=f（x）在x＝1处不可导．

例7．已知函数y＝2x3＋3，求y’.

解析：

∵y=2x3+3,∴y=2（x+x）3+3－（2x3+3）=6x2·x+6x·（x）2+2（x）3,

∴=6x2+6x·x+2（x）2,∴y’==6x2.

例8．已知曲线y＝2x3＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．

解析：

∵x=1,∴y=5,P点的坐标为（1,5）,

利用例7的结论知函数的导数为y’=6x2,

∴y’＝6,∴曲线在P点处的切线方程为y－5＝6（x－1）

即6x－y－1＝0,又曲线在P点处法线的斜率为－，

∴曲线在P点处法线方程为y－5＝－（x－1），即6y＋x－31＝0.

例9．抛物线y＝x2在哪一点处切线平行于直线y＝4x－5？

解析：

∵y’==,

令2x＝4．∴x=2,y＝4,即在点P（2，4）处切线平行于直线y＝4x－5.

例10．设mt≠0，f（x）在x0处可导，求下列极限值

（1）；

（2）.

解析：

要将所求极限值转化为导数f’（x0）定义中的极限形式。

（1）=,

（其中－m·x0）

（2）=.

（其中）

例11．设函数f（x）在x＝1处连续，且，求f’

（1）.

解析：

∵f（x）在x＝1处连续，∴f

（1）.

而又×2=0.

∴f

（1）=0.

∴f’

（1）=（将x换成x－1）

即f’

（1）＝2.

例12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），通过点（1，1），且在点（2，－1）处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．

解析：

由y’＝=,

由函数在点（2，－1）处与直线y＝x－3相切,∴2a×2＋b＝1，

又函数过点（1，1），（2，－1）,∴a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，

由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.

例13．设曲线y＝sinx在点A（，）处切线倾斜角为θ，求tan（－θ）的值.

解析：

∵y=sinx，∴y=sin（x+x）－sinx=2cos（x+）sin,

∴y’==.

即y’＝（sinx）’＝cosx,

令在A点处切线斜率为k=cos=,∴tanθ=,θ∈（0,π）,

∴tan（－θ）＝H，

例14．设f（x）是定义在R上的函数，且对任何x1、x2∈R，都有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），若f（0）≠0，f’（0）＝1，证明：

对任何x∈R，都有f（x）=f’（x）

解析：

由f（x1＋x0）=f（x1）f（x2），令x1＝x2＝0得f（0）＝f（0）f（0）,又f（0）≠0

∴f（0）=1

由f’（0）=1即,

∴f’（x）＝

.

即f’（x）=f（x）成立．

2．几种常见函数的导数

例1．已知f（x）=x3，求f’（x），f’

（1），（f

（1））’，f’（0.5）

解析：

f（x）=x3,∴f’（x）＝3x2,f’

（1）=3,

f’（0.5）＝3×（0.5）2=0.75，（f

（1））’=

（1）’=0.

说明：

导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．

例2．已知曲线y=x2上有两点A（1,1）,B（2,4），求①割线AB的斜率；②在[1，1＋x]内的平均变化率；③过点A处的切线斜率kAT；④点A处的切线方程．

解析：

①kAB＝＝3；

②平均变化率,

③y’＝2x,∴y’|x＝1＝2.即点A处的切线斜率为KAT＝2.

④点A处的切线方程为y－1＝2（x－1）即2x－y－1＝0.

说明：

通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系

y’=.

例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=在点P（1，1）处的切线倾斜角及该点处的法线方程．

解析：

解法一：

f（x）=,y=f（1+x）－f

（1）=,

∴y’|x=1==.

即在点P处斜率为k＝－1，∴倾斜角为135°，

法线方程y－1＝x－1即x－y＝0.

解法

（二）：

y=f（x）＝，y’=f’（x）=,∴y’|x=1＝－1.

即在点P处切线斜率为k=－1，以下同法

（一）

说明：

求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．

例4．已知曲线y=上的一点P（0，0），求过点P的切线方程.

解析：

由y=,∴y’=,在x=0处导数不存在，由图形知

过P点的切线方程是x=0.

例5．设曲线y＝cosx在A（，）点处的切线倾斜角为θ，求cot（－θ）的值

解析：

y=cosx,y’=－sinx,x=时,k=－sin=－,∴tanθ=－，

∴cot（－θ）=.

例6．求曲线y＝x3在点（3，27）处的切线与坐标轴所围成的三角形面积．

解析：

∵y=x3,∴y’=3x2,y’|x=3=27,

∴曲线y=x3在点（3，27）处的切线方程为y－27＝27（x－3）,

即y＝27x－54.其与x轴，y轴交点分别为（2，0），（0，－54）

∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=×2×54＝54.

例7．在抛物线y＝x2上取横坐标为x1＝1及x2＝3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？

解析：

已知两点A（1，1）B（3，9），割线斜率为kAB=4,

∵y’＝2x，令y’=2x＝4得x＝2,即在点（2，4）处切线平行于这一割线．

3．函数和、差、积、商的导数

例1．求下列函数的导数：

①y=3x2＋xcosx；②y=；③y=xtanx－；④y=.

解析：

①y’=6x+cosx－xsinx；

②y’=；

③y=,∴y’=

=.

④y=,y’=.

例2．已知函数f（x）=x3－7x+1，求f’（x），f’

（1），f’（1.5）.

解析：

f（x）=x3－7x+1,∴y’=f’（x）=3x2－7,f’

（1）=－4，f’（1.5）=－.

注意：

导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值．

例3．已知函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的值．

解析：

y’=3x2+2ax,令y’=0,则3x2+2ax=0,x1=0,x2=－a,

当x=0时，y=0=－a，∴a=0，即a＝0满足条件,

当x=－a时．y＝0=得a＝0或a＝±3

检验知a＝±3不满足条件，

∴常数的值为0.

例4．曲线y＝－x2＋4x上有两点A（4，0），B（2，4），求①割线AB的斜率kAB；

②过点A处的切线斜率kA；③点A处的切线方程。

解析：

①割线AB的斜率kAB==－2；

②y’=－2x+4，∴y’|x=4=－4，即kA=－4；

③过A点的切线方程为y－0＝－4（x－4），即y＝－4x＋16.

例5．已知F（x）=f（x）＋g（x），就下列两种情形判断F（x）在x＝x0处是否可导？

①f（x）在x＝x0处可导，g（x）在x＝x0处不可导．

②f（x），g（x）在x＝x0处均不可导．

解析：

①F（k）在x＝x0处不可导．

假设F（x）在x＝x0处可导，由F（x）=f（x）＋g（x）,∴g（x）＝F（x）－f（x）.

∵f（x）在x＝x0处可导，∴g（x）在x=x0处可导，与条件g（x）在x＝x0处不可导矛盾，∴F（x）在x＝x0处不可导．

②F（x）在x＝x0处不一定可导．

如设f（x）=sinx+,g（x）=cosx－,则f（x），g（x）在x＝0处均不可导，

但F（x）=f（x）+g（x）＝sinx＋cosx在x＝0处可导．

另：

若．g（x）=tanx+上，在x＝0处不可导，

F（x）=f（x）+g（x）=sinx+tanx+在x＝0处也不可导．

例6．曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点切线与直线y=4x－7平行．

解析：

y’=（x3＋x－1）’＝3x2＋1，

由过P点切线与直线y＝4x－7平行，令3x2＋1＝4得x＝±1，

当x=1时，y=1，此时切线为y－1＝4（x－1），即y＝4x－3与直线y＝4x－7平行，∴P点坐标为（1，1）。

当x＝－1时，y＝－3，此时切线为y＋3=－3（x＋1），即y＝4x＋1也满足条件，∴P点坐标为（－1，－3）.

综上得P点坐标为（1，1）或（－1，－3）.

例7．证明：

过抛物线y＝a（x－x1）（x－x2）,（a≠0，x1＜x2）上两点A（x1，0），B（x2，0）的切线倾斜角互补．

解析：

y’=2ax－a（x1+x2）.

∴,即k1=a（x1－x2）,,即k2=a（x2－x1）,

∵k1=－k2，∴两切线倾斜角互补．

例8．已知曲线y=f（x）及y=f（x）sinax，（a≠0），其中f（x）＞0，且为可导函数，求证：

两曲线在公共点处彼此相切．

解析：

由f（x）=f（x）sinax,f（x）>0，∴sinax=1，ax=2kπ+（k∈Z）,

∴x=，设曲线交点（x0,y0），即x0=.

又两曲线y1=f（x），y1’=f’（x），y1=f（x）sinax，y2’=f’（x）sinax+a·cosx·f（x）

,

∴k1=k2，即两曲线在公共点处相切.

例9．已知直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．

解析：

由y’=3x2－6x+2=k,又由kx=x3－3x2+2x，∴3x3－6x2+2x=x3－3x2+2x,

即2x3－3x2＝0得x1＝0或x2=．∴k＝2或－．

4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数

例1．函数y＝（sinx2）是由函数y＝，u＝，v=三个函数复合而成．

解析：

答案分别为：

y=u,u=sinv.v=x2.

例2．求下列函数的导数：

①y=（x2+2x）3；②y=；③y=；④y＝（sinx2）；

⑤y＝ln（x＋）；⑥y＝x3lig3x；⑦y=；⑧y=xn,（x∈R+,n∈R）.

解析：

①y=（x2+2x）3，y’=3（x2+2x）2·（2x+2）=6（x+1）（x2+2x）2.

②y=,y’=·（8x）=8x·.

③y=,y’=·（2ax+b）.

④y=（sinx2）,y’=·cosx2·2x=.

⑤y＝ln（x＋）,y’==.

⑥y＝x3lig3x,y’=3x2·lig3x+x3·lig3e=3x2lig3x+x2lig3e=x2lig3（ex3）.

⑦y=,

y’=.

⑧y=xn=,y’==n··xn=.

说明：

本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记·

例3．求函数f（x）=的导数。

解析：

f’（x）=,

∴f’（x）=

例4．若f（x）=x＋ln（x－5），g（x）＝ln（x－1）,解不等式f’（x）>g’（x）.

解析：

f’（x）=1+,g’（x）=,由f’（x）>g（x），有

1+>,即,∴x>5或x<1.

又两函数定义域为x>5,所以，不等式f’（x）>g’（x）的解集为（5，＋∞）.

说明：

求导数有关问题时还要注意原函数定义域．

例5．证明：

可导奇函数的导数是偶函数。

解析：

法一：

定义法：

设f（x）为可导奇函数，则f（－x）＝－f（x）,

∴f’（－x）=

==f’（x）.

即f’（－x）=f’（x）．∴导函数为偶函数.

法二：

复合函数求导法：

设f（x）为可导奇函数，则f（－x）＝－f（x），两边对x求导

得：

[f（－x）]’=－f’（x）即－f’（－x）＝－f’（x）,

∴f’（－x）＝f’（x）．∴f’（x）为偶函数，即命题成立．

同理可证：

可导偶函数的导数是奇函数．

例6．石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am/s，问在b秒末波扰动水面积的增大速度是多少？

解析：

设b秒末最外一圈波纹的半径为R，则R=ab,

∴S＝πR2，又R’＝a，

∴S’|R=ab=2πR·R’（t）|R=ab=2πa2b.

即b秒末波扰动水面积的增大率为2πa2bm2/s.

例7．将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度．（如图）

解析：

设注入水t分钟后，水深为h米，

由相似三角形对应过之比可得水面直径为h米，

这时水的体积温V=π（h）2·h=，由于水面高度h随时间t而变化，因此h是t的函数h＝h（t），由此可得水的体积关于时间t的导数为V’t＝V’h·h’t，∴V’t=，

由假设，注水的速度为4米3／分．

∴Vt’==4,即h’t=,

∴当h＝5米时，水面上升的速度为h’|h=5=（米/分）.

5．函数的单调性和极值

1．求函数y＝ex－x＋1的单调区间

解析：

y’=（ex－x+1）’=ex－1,由ex－1>0得x>0，即函数在（0,+∞）上为增函数；

由ex－1<0得x<0，即函数在（－∞，0）上为减函数．

∴函数的单增区间为（0，＋∞），单减区间为（－∞，0）.

例2．证明：

函数y＝在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减．

解析：

∵y’=,

当x∈（0，1）时，y’>0，∴f（x）在（0，1）上递增；

当x∈（1，2）时，y’<0，∴f（x）在（1，2）上递减．

例3．讨论函数y=x－2sinx在（0，2π）内的单调性.

∵y’=1－2cosx,x∈（0,2π），由y’>0，得

∴y=f（x）在（0,）和（,2π）内都是单调递减。

例4．设f（x）＝（a＞0），求a的范围，使函数f（x）在（0，＋∞）上是单调函数．

解析：

f’（x）=，当x∈（0,+∞）时，0<<1,

∵a＞0，且f（x）在（0，＋∞）上是单调函数，

则必有f’（x）<0，∴a≥1.

即a≥1时，函数f（x）在（0，＋∞）上是单调函数．

例5．已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）在定义域（0，1）上是减函数，求a的取值范围．

解析：

∵定义域要求2－ax>0,x<,又函数在（0,1）上都有意义，

∴≥1，∴a≤2,

∵y’=，

由y’<0，得，

若00，则x>>2与定义域x∈（0,1）矛盾，

∴只有a>1，此时lga>0,<0,x<<2,∴1

例6．当x＞0时，证明不等式

解析：

设f（x）==,

则f’（x）=,

当x>0时，f’（x）=<0,即f（x）在（0，＋∞）上是递减函数，

又当x＝0时，f（0）＝0．∴f（x）

即<0,∴.

令g（x）＝ln（1＋x）－x,g’（x）＝

当x>0时，g’（x）

又当x＝0时，g（x）＝0，∴g（x）

∴

例7．右图是函数y＝x3＋x2－5x－5的图象，试结合图形说明函数的极值情况：

解析：

f’（x）=3x2+2x－5=（3x+5）（x－1）,

令f’（x）=0,得x1=－,x2=1，

∴x=－和x＝1是f（x）可能的极值点，

又由图象可以看出，f（－）比它临近点的函数值大，f

（1）比它临近点的函数值要小，

∴f（－），f

（1）分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值点．

例8．设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1与x＝－1处有极值，且f

（1）＝－1，求f（x）表达式.

解析：

∵f（x）＝ax3＋bx2＋cx，∴f’（x）=3ax2+2bx+c,x∈（－∞,+∞），

由已加f（x）在x=一1与x＝1时有极值．

∴f’

（1）＝f’（－1）＝0，又f

（1）＝－1，

∴，解得a=,b=0,c=－.

∴f（x）=x3－x.

例9．已知f（x）=x2＋c，且g（x）=f[f（x）]=f（x2＋1），设φ（x）＝g（x）－λf（x），问：

是否存在实数λ，使φ（x）在（－∞，－1）上是减函数，并且在（－1，0）上是增函数．

解析：

由f[f（x）]＝f（x2＋1）得（x2＋c）2＋c＝（x2＋1）2＋1，得c＝1，

∴φ（x）＝g（x）－λf（x）＝x4＋（2－λ）x2＋（2－λ）是连续函数，

φ’（x）＝2x（2x2＋2－λ）

由φ（x）在（－∞，－1）上是减函数，且在（－1，0）上是增函数，

∴φ’（x）|x=－1=φ’（－1）=0，∴λ=4，

即存在实数λ＝4，使φ（x）满足条件．

说明：

本题若用函数单调性定义太繁！

6．函数的最大值和最小值

例1．求函数f（x）＝5x＋2的值域.

解析：

由得f（x）的定义域为－3≤x≤4，原问题转化为求f（x）在区间[－3,4]上的最值问题。

∵y’＝f’（x）＝,

在[－3，4]上f’（x）＞0恒成立,∴f（x）在[－3，4]上单调递增．

∴当x＝－3时ymin＝－15－，当x=4时ymax=20＋2，

∴函数的值域为[－15－，20＋2].

例2．设

解析：

f’（x）=3x2－3ax=3x（x－a），当x变化时，f’（x）,f（x）的变化情况列表如下：

当x=0时,f（x）取极大值b，而f（0）>f（a），f（－1）

（1），

∴需要比较f（0）与f

（1）的大小，

∵f（0）－f

（1）＝a－1>0，∴f（x）的最大值为f（0）＝b－1，

又f（－1）－f（a）=（a3－3a－2）=（a+1）2（a－）<0，

∴f（x）|min=f（－1），∴－a－1+b=－a=－,∴a=，b=1.

例3．若函数f（x）在[0，a]上单调递增且可导，f（x）<0，f（x）是严格单调递增的，求在（0，a]上的最大值。

解析：

，∵f（x）是严格单调递增的，

∴f’（x）>0，∵f（x）<0，x>0，∴f’（x）·x－f（x）>0，

∴>0，∴在（0，a]上是增函数。

∴在（0，a]上最大值为．

例4．设g（y）＝1－x2＋4xy3－y4在y∈[－1，0]上最大值为f（x），x∈R，

①求f（x）表达式；②求f（x）最大值。

解析：

g’（y）=－4y2（y－3x）,y∈[－1,0]，

当x≥0时，g’（y）≥0，∴g（y）在[－1,0]上递增,∴f（x）=g（0）=1－x2.

当－0，在[－1，3x]上恒成立，在（3x，0）上恒成立，

∴f（x）=g（3x）=1－x2+27x4.

当x≤－时，g’（y），g（y）在[－1，0]上递减,∴f（x）=g（－1）=－x2－4x,

∴f（x）=.

②当x≥0时，f（x）≤f（0）=1，

当x∈（－，0）时，f（x）=27[（x－）2－]+1

当x≤－时，f（x）＝－（x＋2）2＋4≤f（－2）＝4,

∵1<<4，∴f（x）|max＝f（－2）＝4.

例5．设函数f（x）＝3x2+（x∈（0，＋∞）），求正数a的范围，使对任意的x∈（0，＋∞），都有不等式f（x）＞20成立。

解析：

f’（x）＝6x－，令f’（x）=0得x＝，

当0时f’（x）＞0，

∴x＝是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点.

要使f（x）≥20恒成立，∴f（x）|min≥20,

∴,解得a≥64.

例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？

解析：

设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2πRh+2πR2，

∴h=,∴V（R）＝S底面·h=,

由V’（R）=0得S－3πR2=0得S=6πR2，∴6πR2=2πRh+2πR2，∴h=2R，

即当罐的高和底面直径相等时容积最大．

例7．已知三次函数f（x）=x（x－a）（x－b），其中0＜a＜b．

（1）设f（x）在x＝s及x=t处取最值，其中s＜t，求证：

0＜s＜a＜t＜b；

（2）设A（s，f（s）），B（t，f（t）），求证：

AB中点C在曲线y＝f（x）上；

（3）若a＋b＜2，求证