导数在研究函数中的应用(精编版).docx
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导数在研究函数中的应用（精编版）
【自主归纳，自我查验】
一．自主归纳
1．利用导函数判断函数单调性问题
函数f（x）在某个区间（a，b）内的单调性与其导数的正负有如下关系
（1）若_______，则f（x）在这个区间上是增加的．
（2）若_______，则f（x）在这个区间上是减少的．
（3）若_______，则f（x）在这个区间内是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
（1）求f′（x）．
（2）在定义域内解不等式f′（x）>0或f′（x）<0.
（3）根据结果确定f（x）的单调区间．
3．函数的极大值
在包含的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都_____点的函数值，称点为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（）为函数的极大值．
4．函数的极小值
在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都_____点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（）为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点．
5．函数的最值与导数
1．函数y＝f（x）在[a，b]上的最大值点指的是：
函数在这个区间上所有点的函数值都_________f（）．
2．函数y＝f（x）在[a，b]上的最小值点指的是：
函数在这个区间上所有点的函数值都_________f（）．
二．自我查验
1．函数f（x）＝x＋elnx的单调递增区间为（ ）
A．（0，＋∞） B．（－∞，0）
C．（－∞，0）和（0，＋∞） D．R
2．若函数f（x）＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．
3.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f ′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．若函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
5.函数的最大值为（）
A．B．
C．D．
【典型例题】
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】（高考全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝lnx＋a（1－x）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
【变式训练1】已知．
（1）若时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求函数的单调区间．
考点二 利用导函数研究函数极值问题
【例2】已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间.
【变式训练2】（安徽）设f（x）＝，其中a为正实数.当a＝时，求f（x）的极值点；
考点三 利用导函数求函数最值问题
【例3】已知为实数，.
（1）求导数；
（2）若，求在上的最大值和最小值.
【应用体验】
1.函数的单调递减区间为（）
A．B．
C．D．
2.函数的单调递减区间是（）
A．B．C．D．
3.函数的单调递增区间是（）
A．B．
C．D．
4.设函数，则（）
A．为的极大值点
B．为的极小值点
C．为的极大值点
D．为的极小值点
5．函数的极大值为，那么的值是（）
A．B．
C．D．
【复习与巩固】
A组夯实基础
一、选择题
1．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）
A．B．
C．D．
2.函数在处取得极值，则等于（）
A．B．
C．D．
3.函数（为自然对数的底数）在区间上的最大值是（）
A.1＋B.1
C.e＋1D.e－1
二、填空题
4.若函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是________________．
5.若函数在处取得极值，则的值为_________.
6.函数在上的最小值是_____________.
三、解答题
7.已知函数求函数的单调区间
8.已知函数．
（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，求函数的极小值.
B组能力提升
一、选择题
1．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
2.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
3.若函数在上有最大值3，则该函数在上的最小值是（）
A．B．0
C．D．1
二、填空题
4．已知函数f（x）＝x2＋2ax－lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
5．设x1，x2是函数f（x）＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<26．若函数f（x）＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
7．已知函数f（x）＝x－2lnx－＋1，g（x）＝ex（2lnx－x）．
（1）若函数f（x）在定义域上是增函数，求a的取值范围；
（2）求g（x）的最大值．
8．设函数f（x）＝（x－1）ex－kx2（其中k∈R）．
（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当k∈[0，＋∞）时，证明函数f（x）在R上有且只有一个零点．
第十三讲答案
一．自主归纳
1.
（1）f′（x）>0
（2）f′（x）<0（3）f′（x）＝03.小于
4.大于极值
5.不超过不小于
二．自我查验
1.解析：
函数定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1＋>0，故单调增区间是（0，＋∞）．
答案：
A
2.解析：
∵f（x）＝x3＋x2＋mx＋1，
∴f′（x）＝3x2＋2x＋m.
又∵f（x）在R上是单调增函数，∴f′（x）≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.
答案：
3.解析：
导函数f ′（x）的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.
答案：
A
4.解析：
f ′（x）＝3x2＋2ax＋3，由题意知f ′（－3）＝0，即3×（－3）2＋2×（－3）a＋3＝0，解得a＝5.
答案：
D
5..A【解析】，令，当时函数单调递增，当时函数单调递减，，故选A.
三．典型例题
【例题1】
（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝－a.若a≤0，则f′（x）>0，
所以f（x）在（0，＋∞）单调递增．若a>0，则当x∈时，f′（x）>0；
当x∈时，f′（x）<0.所以f（x）在单调递增，
在单调递减．
（2）由
（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）无最大值；当a>0时，f（x）在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.
因此f>2a－2等价于lna＋a－1<0.
令g（a）＝lna＋a－1，则g（a）在（0，＋∞）单调递增，g
（1）＝0.
于是，当01时，g（a）>0.
因此，a的取值范围是（0,1）．
【变式训练1】
（1）当时，，∴，
∴切线斜率为，又，∴切点坐标为，∴所求切线方程为，即．
（2），由，得或.由，得或，由，得
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和．
【例题2】
（1）当时，，，
令，解得，所以函数在上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减；
所以当时取极大值，极大值为，无极小值.
（2）函数的定义域为，.
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，令，解得，所以函数在上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.
【变式训练2】解 对f（x）求导得
f′（x）＝ex·. 当a＝时，若f′（x）＝0，则4x2－8x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝.结合①，可知
x
（－∞，）
（，）
（，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点.
【例题3】1）.
（2）由得，
故，
则，
由，，
故，.
【变式训练3】1）当时，函数，在上单调递增，当时，，令，得，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
（2）由
（1）可知，当时，函数，不符合题意.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
①当，即时，最小值为.
解，得，符合题意.
②当，即时，最小值为，
解，得，不符合题意.
综上，.
应用体验：
1.D
【解析】函数的定义域为，令，解得，又，所以，故选D.
考点：
求函数的单调区间.
2.A
【解析】导数为，令，得，所以减区间为.
考点：
利用导数求函数的单调区间．
3.C
【解析】，令，解得，所以函数的单调增区间为．故选C．
4.【解析】，由得，又函数定义域为，当时，，递减，当时，，递增，因此是函数的极小值点．故选D．
考点：
函数的极值点．
5.D
【解析】，令
可得，容易判断极大值为.
考点：
函数的导数与极值.
复习与巩固
A组
1.C
【解析】由图象可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，且，故．
考点：
利用导数求函数单调性并比较大小．
2.B
【解析】，由题意可得，.故选B.
考点：
极值点问题.
3.D
【解析】，令得.
又且＝，所以故选D.
考点：
利用导数求函数在闭区间上的最值.
4.
【解析】由题意得在上恒成立，则，即恒成立.令，则，因为为上的二次函数，所以，则的取值范围是.
5.0
【解析】，
由题意得．
考点：
导数与极值．
6.
【解析】因为，，所以在单调递减，在单调递增，从而函数在上的最小值是.
考点：
函数的最值与导数.
7.【解析】的定义域为，
，令，则或（舍去）.
∴当时，，递减，当时，，递增，
∴的递减区间是，递增区间是．
考点：
利用导数求函数的单调区间．
8.
（1）
（2）
【解析】
（1）函数，则，由题意可得在上恒成立，∴，
∵，时，函数取最小值，，
（2）当时，，，
令，得，解得或（舍去），即.
当时，，当时，，
∴的极小值为.
B组
1.D
【解析】因为函数在区间上不单调，所以
在区间上有零点，
由，得，则得，故选D．
考点：
函数的单调性与导数的关系．
2.C
【解析】，①当时，，所以在上单调递增，在内无极值，所以符合题意；②当时，令，即，解得，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，当时原函数取得极大值，当时，原函数取得极小值，要满足原函数在内无极值，需满足，解得.综合①②得，的取值范围为，故选C.
考点：
导函数，分类讨论思想.
3.C
【解析】，当时，或，当时，，所以在区间上函数递增，在区间上函数递减，所以当时，函数取得最大值，则，所以，，所以最小值是．
考点：
利用导数求函数在闭区间上的最值.
4.解析：
由题意知f′（x）＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，∵max＝，∴2a≥，即a≥.
答案：
5.解析：
本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f′（x）＝3x2－4ax＋a2＝0得x1＝，x2＝a.又∵x1<2答案：
（2,6）
6.解析：
∵f（x）＝x2－ex－ax，∴f′（x）＝2x－ex－a，
∵函数f（x）＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，
∴f′（x）＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，设g（x）＝2x－ex，则g′（x）＝2－ex，令g′（x）＝0，解得x＝ln2，则当x0，g（x）单调递增，当x>ln2时，g′（x）<0，g（x）单调递减，∴当x＝ln2时，g（x）取得最大值，且g（x）max＝g（ln2）＝2ln2－2，∴a≤2ln2－2.
答案：
（－∞，2ln2－2）
7.解：
（1）由题意得x>0，f′（x）＝1－＋.
由函数f（x）在定义域上是增函数，得f′（x）≥0，即a≥2x－x2＝－（x－1）2＋1（x>0）．
因为－（x－1）2＋1≤1（当x＝1时，取等号），所以a的取值范围是[1，＋∞）．
（2）g′（x）＝ex，由
（1）得a＝2时，f（x）＝x－2lnx－＋1，
且f（x）在定义域上是增函数，又f
（1）＝0，
所以，当x∈（0,1）时，f（x）<0，当x∈（1，＋∞）时，f（x）>0.
所以，当x∈（0,1）时，g′（x）>0，当x∈（1，＋∞）时，g′（x）<0.
故当x＝1时，g（x）取得最大值－e.
8.解：
（1）当k＝1时，f（x）＝（x－1）ex－x2，f′（x）＝ex＋（x－1）ex－2x＝xex－2x＝x（ex－2），
令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝ln2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
（－∞，0）
0
（0，ln2）
ln2
（ln2，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
由表可知，函数f（x）的单调递减区间为[0，ln2]，单调递增区间为（－∞，0]，[ln2，＋∞）．
f（x）的极大值为f（0）＝－1，极小值为f（ln2）＝
－（ln2）2＋2ln2－2.
（2）f′（x）＝ex＋（x－1）ex－2kx＝xex－2kx＝x（ex－2k），
当x<1时，f（x）<0，所以f（x）在（－∞，1）上无零点．
故只需证明函数f（x）在[1，＋∞）上有且只有一个零点．
①若k∈，则当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，＋∞）上单调递增．
∵f
（1）＝－k≤0，f
（2）＝e2－4k≥e2－2e>0，
∴f（x）在[1，＋∞）上有且只有一个零点．
②若k∈，则f（x）在[1，ln2k]上单调递减，在[ln2k，＋∞）上单调递增．
f
（1）＝－k<0，f（k＋1）＝kek＋1－k（k＋1）2＝k[ek＋1－（k＋1）2]，
令g（t）＝et－t2，t＝k＋1>2，则g′（t）＝et－2t，
g″（t）＝et－2，
∵t>2，∴g″（t）>0，g′（t）在（2，＋∞）上单调递增．
∴g′（t）>g′
（2）＝e2－4>0，∴g（t）在（2，＋∞）上单调递增．
∴g（t）>g
（2）＝e2－4>0.
∴f（k＋1）>0.
∴f（x）在[1，＋∞）上有且只有一个零点．
综上，当k∈[0，＋∞）时，f（x）在R上有且只有一个零点．
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