高中数学必修1函数的基本性质.doc

高中数学必修1函数的基本性质.doc

《高中数学必修1函数的基本性质.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修1函数的基本性质.doc（4页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高中数学必修1函数的基本性质

1．奇偶性

（1）定义：

如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）=－f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）=f（x），则称f（x）为偶函数。

如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f（x）既是奇函数，又是偶函数。

注意：

函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

确定f（－x）与f（x）的关系；

作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2．单调性

（1）定义：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

（2）如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。

（3）设复合函数y=f[g（x）]，其中u=g（x）,A是y=f[g（x）]定义域的某个区间，B是映射g:

x→u=g（x）的象集：

①若u=g（x）在A上是增（或减）函数，y=f（u）在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是增函数；

②若u=g（x）在A上是增（或减）函数，而y=f（u）在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

任取x1，x2∈D，且x1

作差f（x1）－f（x2）；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。

3．最值

（1）定义：

最大值：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）=M。

那么，称M是函数y=f（x）的最大值。

最小值：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）=M。

那么，称M是函数y=f（x）的最大值。

注意：

函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f（x0）=M；

函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

利用图象求函数的最大（小）值；

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

4．周期性

（1）定义：

如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数；

（2）性质：

①f（x+T）=f（x）常常写作若f（x）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期；②若周期函数f（x）的周期为T，则f（ωx）（ω≠0）是周期函数，且周期为。

四．典例解析

【奇偶性典型例题】

例1．以下五个函数：

（1）；

（2）；（3）；（4）；

（5），其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是_________

点评：

判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。

题型二：

奇偶性的应用

例2．设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=_____。

例3．已知奇函数，当∈（0，1）时，，那么当∈（－1，0）时，的表达式是．

例4．若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试求a的范围：

．

解：

由已知得

因f（x）是奇函数，故，于是．

又是定义在（1，1）上的增函数，从而

即不等式的解集是

【单调性典型例题】

例1．

（1）则a的范围为（）

　　　A．B．C．D．

（2）函数）是单调函数的充要条件是（）

A．B．C．D．

（3）已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（）

A．B．

C．D．

提示：

可转化为和在利用函数单调性可得.

（4）如右图是定义在闭区间上的函数的图象,该函数的单调增区间为

例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间

（1）

（2）

例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．

例4.设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。

（1）求证：

；

（2）证明：

时恒有；

（3）求证：

在R上是减函数；（4）若，求的范围。

解：

（1）取m=0，n=则，因为所以

（2）设则由条件可知

又因为，所以∴时，恒有

（3）设则

==

因为所以所以即

又因为，所以所以，即该函数在R上是减函数.

（4）因为，所以

所以，所以

例5：

（复合函数单调性）1.函数的增区间是（ ）.

　　A．[3,1] B．[1,1]C． D．

2.函数y＝的单调递增区间为（）

A．B．C．D．

题型五：

周期问题

例6．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。

①证明：

；

②求的解析式；

③求在上的解析式。

解：

∵是以为周期的周期函数，∴，

又∵是奇函数，∴，∴。

②当时，由题意可设，

由得，∴，∴。

③∵是奇函数，∴，

又知在上是一次函数，

∴可设，而，

∴，∴当时，，

从而当时，，故时，。

∴当时，有，

∴。

当时，，

∴

∴。

第4页共4页