高中数学圆锥曲线之抛物线的常见题型.docx

高中数学圆锥曲线之抛物线的常见题型.docx

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一、抛物线定义的应用

涉及到抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将其转化为点到准线的距离，反之也可以.

【2012四川】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。

若点到该抛物线焦点的距离为，则（）

A、B、C、D、

解析：

【2014成都三诊】已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，若线段的中点的横坐标为3，则线段的长度为

（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

答案：

B

解析：

根据抛物线定义来求解，设点的横坐标是，点的横坐标是，则

随堂练习

1、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，，则

解析：

，则

2、在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，其中点在轴上方，若直线的倾斜角为，则的面积为_________.

解析：

联立和可解得

二、抛物线标准方程

【2013全国II】设抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（　　）．

A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x

答案：

C

解析：

设点M的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.

又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为（x－x0）＋（y－y0）y＝0.

将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.

由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.

所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.

三、抛物线的几何性质

【2014全国I】设F为抛物线C:

的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则的面积为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【2015成都三诊】如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成.现欲在隧道抛物线拱顶上安装信息采集装置.若位置对隧道底的张角最大时，采集效果最好，则采集效果最好的为止到的距离是

（A） （B）

（C） （D）

答案：

A

解析：

建立如图所示直角坐标系，并过点作的垂线，垂足为，易知抛物线的方程为，设，则，

故当且仅当时，取最大值，故选.

随堂练习：

如图，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则

解析：

，，代入可求得

四、抛物线综合问题

【2015三诊】如图，在平面直角坐标系中，和分别是椭圆和椭圆上的动点，已知的焦距为2，点在直线上，且，又当动点在上的射影为焦点时，点恰在双曲线的渐近线上.

（I）求椭圆的标准方程

（II）若与共焦点，且的长轴与的短轴长度相等，求的取值范围

（III）若是常数，且，证明为定值.

解析：

（I）双曲线的渐近线方程为，

由题意知椭圆的半焦距，则

又点的坐标为，且在渐近线上，故

解之得

椭圆的标准方程为

（II）与共焦点，且的长轴与的短轴长度相等

则，，即的方程为

①当直线的斜率存在且不为零时，设为，则直线的解析式为，

直线的解析式为分别联立所在的椭圆解析式可得：

又，当且仅当时取等号.

②当直线的斜率为零或者不存在时，有

综上，的取值范围是

（III）当直线的斜率存在且不为零时，设为

所以

由（II）可得

，当是常数时，为定值

易知当直线的斜率不存在或者为零时，上述结论也成立.

【2015全国I】在直角坐标系中，曲线直线交与两点

（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程；

（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？

说明理由。

解析：

（Ⅰ）当时，直线，故两点的坐标分别为或者

又，所以曲线在点的切线方程为

在点的切线方程为

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下

设为符合题意的点，，直线的斜率分别为

则联立方程组可得

从而

当，即时，有

所以点符合题意.