平面向量题型归纳.docx

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平面向量题型归纳

一．向量有关概念：

【任何时候写向量时都要带箭头】

1．向量的概念：

既有大小又有方向的量，记作：

或。

注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？

（向量可以平移）。

例：

已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是

2.向量的模：

向量的大小（或长度），记作：

或。

3．零向量：

长度为0的向量叫零向量，记作：

，注意零向量的方向是任意的；

4．单位向量：

单位向量：

长度为1的向量。

若是单位向量，则。

（与共线的单位向量是）；

5．相等向量：

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

6．平行向量（也叫共线向量）：

方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：

∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：

两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！

（因为有）；

④三点共线共线；

B

D

C

A

如图，在平行四边形中，下列结论中正确的是（）

A.B.

C.D.

7．相反向量：

长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－、。

例：

下列命题：

（1）若，则。

（2）若，则。

（6）若，则。

（3）若，则是平行四边形。

（4）若是平行四边形，则。

其中正确的是_______

题型1、基本概念

1：

给出下列命题：

①若||＝||，则=；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行；

④若=，=，则=；⑤若//，//，则//；⑥；⑦；

其中正确的序号是。

2、基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是。

（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若与共线，与共线，则与共线。

（8）若，则。

（9）若，则。

（10）若与不共线，则与都不是零向量。

（11）若，则。

（12）若，则。

二、向量加减运算

8.三角形法则：

；；（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。

题型2.向量的加减运算

1、化简。

2、已知,,则的最大值和最小值分别为、。

3、在平行四边形中，若，则必有（）

A.B.C.是矩形D.是正方形

题型3.向量的数乘运算

1、计算：

（1）

（2）

题型4.作图法求向量的和

1、已知向量，如下图，请做出向量和。

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1、已知在中，是的中点，请用向量表示。

2、在平行四边形中，已知，求。

题型6.向量的坐标运算

1、已知，则。

练习：

若物体受三个力,,,则合力的坐标为。

2、已知，，则点的坐标是。

3、.已知，，求，，。

2、已知,向量与相等，求的值。

5、已知是坐标原点，，且，求的坐标。

三．平面向量的基本定理：

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。

基底：

任意不共线的两个向量称为一组基底。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1、已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.B.C.D.

练习：

下列各组向量中，可以作为基底的是（）

（A）（B）

（C）（D）

2、.已知，能与构成基底的是（）

A.B.C.D.

3、知向量e1、e2不共线，实数（3x-4y）e1＋（2x-3y）e2=6e1+3e2,则x－y的值等于

4、设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.

5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1）,B（-1,3）,若点C（x,y）满足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（）

A．3x+2y-11=0B．（x-1）2+（y-2）2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=0

四．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：

对于非零向量，，作，

称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

实数与向量的积：

实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：

当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：

≠0。

例1、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____

例2、已知中，点在边上，且，，则的值是

2．平面向量的数量积：

如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：

，即＝。

规定：

零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

3．向量的运算律：

1．交换律：

，，；

2．结合律：

，；

3．分配律：

，。

题型8：

有关向量数量积的判断

1：

判断下列各命题正确与否：

（1）；

（2）若，则当且仅当时成立；

（3）；（4）对任意向量都成立；

（5）若，则；（6）对任意向量，有。

（7）m（）=m+m其中正确的序号是。

2、下列命题中：

①；②；③

；④若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。

其中正确的是______

题型9、求单位向量【与平行的单位向量：

】

1.与平行的单位向量是。

2.与平行的单位向量是

题型10、数量积与夹角公式：

；

向量的模：

若，则，，

1、△ABC中，，，，则_________

2、已知，与的夹角为，则等于____

3、已知，且与的夹角为，求

（1），

（2），

（3），（4）。

4、已知是两个非零向量，且，则的夹角为____

5、已知，求与的夹角。

6、已知，，，求。

7、已知非零向量满足，则的夹角为

8：

已知中,,则与的夹角为

9：

已知向量与向量的夹角为120°，若向量=+，且⊥，则的值为

10：

★已知||＝1||＝2，|＋|＝2，则与2-的夹角余弦值为．

11：

已知向量｜｜=，｜｜=2，和的夹角为，当向量+与+的夹角为锐角时，求的取值范围。

题型11、求向量的模的问题如向量的模：

若，则，，

1、已知零向量

2、已知向量满足

3、已知向量，

4、已知向量的最大值为

5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，

（A）8（B）4（C）2（D）1

6、设向量，满足及，求的值

练习：

已知向量满足求

7、设向量，满足

8、已知向量、满足，，则|－|的最大值是最小值是。

题型12、结合三角函数求向量坐标

1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。

2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标。

五、平行与垂直知识点：

；

题型13：

向量共线问题

1、已知平面向量，平面向量若∥，则实数

2、设向量若向量与向量共线，则

3、已知向量若平行，则实数的值是（）

A．-2 B．0 C．1 D．2

练习：

设，则k＝_____时，A,B,C共线

5、已知不共线，，如果∥，那么k=,与的方向关系是

练习：

已知，，，且，则x＝______

6、已知向量∥，则

题型14、向量的垂直问题

1、已知向量，则实数的值为

2、已知向量

练习：

已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值

3、已知单位向量

4、

练习：

∥，

5、以原点O和A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________

题型15、在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。

1、已知，，且，则向量在向量上的投影为______

2、已知，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为。

练习：

已知，的夹角，则向量在向量上的投影为

题型16、三点共线问题

1.已知，，，求证：

三点共线。

2.设，求证：

三点共线。

练习：

已知，则一定共线的三点是。

3.已知，，若点在直线上，求的值。

4.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立？

5：

是平面内不共线两向量，已知，若

三点共线，则=

6：

★设O是直线外一定点，A、B、C在直线上，且,则=

7：

设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t=时，，t，

（＋）三向量的终点在一条直线上。

8：

如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同

的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__________________．

9:

在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，||∶||＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量.

练习：

如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.

（1）用a、b表示；

（2）已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：

＋＝1.

六、线段的定比分点：

1．定比分点的概念：

设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；

2．的符号与分点P的位置之间的关系：

当P点在线段PP上时>0；当P点在线段PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；

例1、若点分所成的比为，则分所成的比为_______

3．线段的定比分点公式：

设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。

题型17、定比分点

2、若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______

3、已知，直线与线段交于，且，则等于

七、平移公式：

如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：

（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？

（2）向量平移具有坐标不变性，

题型18、平移

1、按向量把平移到，则按向量把点平移到点______

2、函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________

八、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2），特别地，当同向或有

；当反向或有；当不共线（这些和实数比较类似）.

（3）在中，①若，则其重心的坐标为。

如

1、若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______

②为的重心，特别地为的重心；

③为的垂心；

④向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；

⑤的内心；

（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；

（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如

2、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______

题型19、判断多边形的形状

1.若，，且,则四边形的形状是。

2.已知，，，，证明四边形是梯形。

3.已知，，，求证：

是直角三角形。

4、在△ABC中，若，则△的形状为 （）

A．等腰三角形B．等边三角形 C．等腰直角三角形D．直角三角形

5、在平面直角坐标系内，,求证：

是等腰直角三角形。

6、平面四边形中，，，，，且

，判断四边形的形状．

题型20：

三角形四心

1、已知的三个顶点A、B、C及所在平面内的一点P，若则点P是DABC的（）

A．重心B．垂心C．内心D．外心

2.已知点是三角形所在平面上一点，若,则是三角形的（）

（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心

3、已知点是三角形所在平面上一点，若，则是三角形的（）

（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心

练习、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（）

（A）重心外心垂心（B）重心外心内心

（C）外心重心垂心（D）外心重心内心

4、★在平面内有DABC和点O，若，则点O是DABC的

A．重心B．垂心C．内心D．外心

5、已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（）

（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心

6、已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（）

（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心

7、已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（）

（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心

8、已知平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（）

（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心

题型21.平面向量与三角函数结合题

1、已知向量，，设函数

⑴求函数的解析式

（2）求的最小正周期；

（3）若，求的最大值和最小值．

练习：

已知向且

（1）求函数的解析式；

（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出相应的的值

练习2、.已知向量,，且

⑴求的值

（2）求函数的值域

2、已知，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为

、、。

（I）若，求角的值；

（II）当时，求的值。

5、已知向量，，设函数

的图象关于直线对称，其中，为常数，且.

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.

6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足=+.

（1）求证:

A,B,C三点共线;

（2）求的值;

（3）已知A（1,cosx）,B（1+cosx,cosx）,x∈,f（x）=·-||的最小值为-,求实数m的值.